高考数学精品讲义练习【一轮复习】第十章　10．6　离散型随机变量的分布列及其数字特征

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第十章　10．6　离散型随机变量的分布列及其数字特征，共14页。试卷主要包含了离散型随机变量的分布列的性质，离散型随机变量的均值与方差，均值与方差的性质等内容，欢迎下载使用。
1．了解离散型随机变量及其分布列的概念．
2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1，2，…，n).
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1．
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E（X)）2p1＋(x2－E（X)）2p2
＋…＋(xn－E（X)）2pn＝ eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E（X)）2pi为随机变量X的方差，并称 eq \r(D(X))为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．（a，b为常数）
教材拓展
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).
(3)D(X)＝E(X2)－(E（X)）2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
(3)随机试验的结果与随机变量有对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．( √ )
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．( √ )
2．（人教A版选择性必修第三册P66T1改编）已知离散型随机变量X的分布列为
则E(X)＝( A )
A． eq \f(19,10) B．2
C． eq \f(5,2) D． eq \f(9,10)
解析：由题意可得E(X)＝1× eq \f(2,5)＋2× eq \f(3,10)＋3× eq \f(3,10)＝ eq \f(19,10).故选A.
3．（人教A版选择性必修第三册P70T1改编）随机变量X与Y满足Y＝2X＋1，若D(X)＝2，则D(Y)＝( A )
A．8 B．5
C．4 D．2
解析：D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)＝4×2＝8.故选A.
4．（人教A版选择性必修第三册P67T3改编）有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E（X甲）＝E（X乙），方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以估计( B )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析：已知样本方差D（X乙）＝3.4，D（X甲）＝11，由此估计，乙种水稻的方差约为3.4，甲种水稻的方差约为11.因为3.43)＝0.5
C．若m＝0.9，则n＝－0.2
D．P(X＝1)＝2P(X＝6)
【解析】 由分布列的性质，可得0.2＋m＋n＋0.1＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正确；若m＝0.3，可得n＝0.4，则P(X>3)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝0.5，所以B正确；由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正确；由P(X＝1)＝0.2，P(X＝6)＝0.1，得P(X＝1)＝2P(X＝6)，所以D正确．故选ABD.
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
【对点训练1】 （多选）若随机变量X的分布列如下，则( AD )
A.t＝10 B．P(X>1)＝0.8
C．t＝11 D．P(X≥3)＝0.6
解析：因为 eq \f(1,t)(1＋2＋3＋4)＝1，解得t＝10，故A正确，C错误；由分布列可知P(X>1)＝1－P(X＝1)＝1－0.1＝0.9，故B错误；P(X≥3)＝0.4＋0.2＝0.6，故D正确．故选AD.
考点2 离散型随机变量的分布列及数字特征
命题角度1 离散型随机变量的分布列及数字特征
【例2】 已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元．
在总体中抽样100单，以频率估计概率．
(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率．
(2)(ⅰ)毛利润是保费与赔偿金额之差，设毛利润为X，估计X的数学期望；
(ⅱ)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%，估计保单下一保险期毛利润的数学期望．
【解】 (1)设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得
P(A)＝ eq \f(60＋30＋10,800＋100＋60＋30＋10)＝ eq \f(1,10).
(2)(ⅰ)设一单的赔偿金额为ξ万元，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，
由题设中的统计数据可得P(ξ＝0)＝ eq \f(800,1 000)＝ eq \f(4,5)，P(ξ＝0.8)＝ eq \f(100,1 000)＝ eq \f(1,10)，P(ξ＝1.6)＝ eq \f(60,1 000)＝ eq \f(3,50)，P(ξ＝2.4)＝ eq \f(30,1 000)＝ eq \f(3,100)，P(ξ＝3)＝ eq \f(10,1 000)＝ eq \f(1,100)，
故E(ξ)＝0× eq \f(4,5)＋0.8× eq \f(1,10)＋1.6× eq \f(3,50)＋2.4× eq \f(3,100)＋3× eq \f(1,100)＝0.278（万元），故E(X)＝0.4－0.278＝0.122（万元）.
(ⅱ)由题设保费的变化为0.4× eq \f(4,5)×96%＋0.4× eq \f(1,5)×1.2＝0.403 2（万元），
设保单下一保险期毛利润为Y万元，故E(Y)＝0.122＋0.403 2－0.4＝0.125 2（万元）.
命题角度2 均值（数学期望）与方差的性质应用
【例3】 （多选）设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量Y满足Y＝2X＋1，则( AB )
A．q＝0.1 B．D(X)＝1.8
C．E(Y)＝2 D．D(Y)＝3.6
【解析】 因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，解得q＝0.1，故A正确；E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝0.1×(0－2)2＋0.4×(1－2)2＋0.1×(2－2)2＋0.2×(3－2)2＋0.2×(4－2)2＝1.8，故B正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝2×2＋1＝5，故C错误；D(Y)＝4D(X)＝4×1.8＝7.2，故D错误．故选AB.
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．
(2)求ξ取每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ).
【对点训练2】 (1)（多选）已知随机变量X，Y，且Y＝3X＋1，X的分布列如下：
若E(Y)＝10，则( AC )
A．m＝ eq \f(3,10) B．n＝ eq \f(1,5)
C．E(X)＝3 D．D(Y)＝ eq \f(7,3)
解析：E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝10，解得E(X)＝3，故C正确；由m＋ eq \f(1,10)＋ eq \f(1,5)＋n＋ eq \f(3,10)＝1，可得m＋n＝ eq \f(2,5)①，又因为E(X)＝m＋2× eq \f(1,10)＋3× eq \f(1,5)＋4n＋5× eq \f(3,10)＝3，则m＋4n＝ eq \f(7,10)②，所以由①②可得n＝ eq \f(1,10)，m＝ eq \f(3,10)，故A正确，B错误；D(X)＝(1－3)2× eq \f(3,10)＋(2－3)2× eq \f(1,10)＋(3－3)2× eq \f(1,5)＋(4－3)2× eq \f(1,10)＋(5－3)2× eq \f(3,10)＝4× eq \f(3,10)＋1× eq \f(1,10)＋1× eq \f(1,10)＋4× eq \f(3,10)＝ eq \f(13,5)，D(Y)＝D(3X＋1)＝9D(X)＝9× eq \f(13,5)＝ eq \f(117,5)，故D错误．故选AC.
(2)“学习强国”新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为 eq \f(1,4)，设他参加一次答题活动得分为ξ，则D(ξ)＝ eq \f(15,16)．
解析：由题意知，ξ的所有可能取值为5，4，3，2，P(ξ＝5)＝ eq \f(1,4)× eq \f(1,4)＝ eq \f(1,16)，
P(ξ＝4)＝ eq \f(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝ eq \f(3,16)，
P(ξ＝3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))× eq \f(1,4)＝ eq \f(3,16)，
P(ξ＝2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝ eq \f(9,16)，
则E(ξ)＝5× eq \f(1,16)＋4× eq \f(3,16)＋3× eq \f(3,16)＋2× eq \f(9,16)＝ eq \f(11,4)，D(ξ)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(11,4))) eq \s\up12(2)× eq \f(1,16)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(11,4))) eq \s\up12(2)× eq \f(3,16)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(11,4))) eq \s\up12(2)× eq \f(3,16)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(11,4))) eq \s\up12(2)× eq \f(9,16)＝ eq \f(15,16).
考点3 均值与方差中的决策问题
【例4】 （2024·新课标Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设0