（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 平面解析几何 章节测试（2份，原卷版+教师版）

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一、单选题：
1．已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，联立可得，消去整理可得：，则恒成立，则直线与抛物线必定有两个交点，则显然成立，不成立，故选：A.
2．已知双曲线的右顶点为P，过点P的直线l垂直于x轴，并且与两条渐近线分别相交于A，B两点，则（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】C
【解析】双曲线的右顶点，直线l的方程为，双曲线的两条渐近线方程为或，
当时，或，即，，则.故选：C．
3．已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】设该弦为， 设，则有，两式相减，得，因为双曲线C的一条弦的中点为，所以，因此由，即这条弦所在直线的斜率为，方程为，
代入双曲线方程中，得，因为，所以该弦存在，故选：D
4．我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】B
【解析】设点的坐标为，因为，则，即，
所以点的轨迹方程为，因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是.故选：B.
5．已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】因为点在抛物线上，，所以，所以，所以，所以，解得.故选：C
6．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．故选：C.
7．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意知：，又，直线方程为：，即；
由得：或，即或，为靠近轴的切点，；设飞行轨迹的抛物线方程为：，则，在点处的切线斜率为，，解得：，，解得：，，即抛物线方程为：.故选：A.
8．已知双曲线的左，右顶点分别为，，点M在直线上运动，若的最大值为，则双曲线的离心率（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】不妨设在第一象限，则，又，分别是双曲线的左右焦点，
所以，，，，设,，则，
，，所以
，当且仅当，即时，等号成立，故，
由题意可得，所以离心率.故选：A
二、多选题：
9．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；
对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；
对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D正确．
故选：BCD
10．已知点，是双曲线：的左、右焦点，是双曲线位于第一象限内一点，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．的面积为
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为
D．若双曲线的焦距为，则双曲线的方程为
【答案】BD
【解析】对于选项A：由定义可得，因为，所以，，
由已知，所以的面积为，故A错误；
对于选项B：由勾股定理得，即，所以，故B正确；
对于选项C：因为，所以，即，所以双曲线的渐近线方程为：，故C错误；
对于选项D：由双曲线的焦距为得，从而，，所以双曲线的方程为，故D正确.故选：BD.
11．已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则（ ）
A．B．直线l的斜率为
C．，，成等差数列D．的内切圆半径
【答案】AC
【解析】
如图1：因为，设，则，所以，所以，故，故A正确.
设，，，由椭圆离心率为可得：，，故椭圆方程可化为：，联立直线l方程整理得：.设，，则有：，，又，所以，，所以 ，解得：，故，故B错误.
如图2：设椭圆上顶点为，则，因为所以，
所以与重合，所以为上顶点，故，，，易知满足，故C正确
对于D：由知：是以A为直角的直角三角形，故内切圆半径，故D错误.故选：AC.
三、填空题：
12．抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为 ．
【答案】
【解析】抛物线焦点为，点在准线上，在等边中，，因此长等于点到准线的距离，即有与抛物线准线垂直，
令抛物线准线与x轴交于点，则，由轴，得，
于是，令，则，解得，
所以点坐标为.故答案为：
13．点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】
由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则，
∴，，，
．
故答案为：
14．过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是 .
【答案】.
【解析】设，不妨设，由，可得，可得，则，
可得切线的方程为因为点在直线上，可得，
同理可得：，所以直线的方程为，可得直线过定点，
又因为在直线上的射影为，可得且，所以点的轨迹为以为直径的圆，其方程为，当与相切时，由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为，可得切线方程为，则，解得或，所以实数的范围为.故答案为：.
四、解答题：
15．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.
【解析】（1）∵抛物线的焦点为，∴椭圆的半焦距为，
又，得，.∴椭圆的方程为
（2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
联立，得.，即，
设，，则，，
∴，∴.∴为定值
16．已知为坐标原点，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，若过点的直线与抛物线交于，两点．
(1)证明：；
(2)若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，圆，证明：直线恒与圆相交．
【解析】（1）证明：因为点到抛物线焦点的距离为，所以，解得或，
又因为，所以，故抛物线方程为，当直线轴时，可得，
此时，所以；
当直线与轴不垂直时，设的方程为，设，
代入得，则，，所以，
所以，综上，．
（2）证明：由于关于轴对称，结合（1），故的坐标为，
所以直线的方程为，即，
由（1）得，所以，可得直线恒过点，
因为圆的方程，且，所以点在圆内部，
所以直线恒与圆相交．
17.已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求的面积.
【解析】（1）由题意知，又，则，
，解得(负值舍去)，
由在椭圆上及得，解得，椭圆的方程为；
（2）由（1）知，右焦点为，据题意设直线的方程为，
则，于是由得，化简得（*）由消去整理得，
，由根与系数的关系得：，
代入（*）式得：，解得，直线的方程为，
方法一：，
由求根公式与弦长公式得：，
设点到直线的距离为，则，.
方法二：由题意可知，
代入消去得，
，
.
18.已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.
(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；
(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.
【解析】（1）由题意点处的切线为，所以过点处的切线方程为，
交轴于点，则，即，所以为的角平分线；
（2）过的切线，当时，即不为右顶点时，，
即，（或由直线与单支有两个交点，则也可）
联立设，则
所以又
所以，
当时，即点为右顶点时，，
所以，
所以的最小值为.
19.已知抛物线（为常数，）.点是抛物线上不同于原点的任意一点.
(1)若直线与只有一个公共点，求；
(2)设为的准线上一点，过作的两条切线，切点为，且直线，与轴分别交于，两点.
①证明：
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）将直线与抛物线联立，
消去可得，由题意可知该方程只有一个实数根，
所以，又点在抛物线上，即；
可得，解得
（2）①易知抛物线的准线方程为；
不妨设，切点，如下图所示：
将求导可得，则切线的斜率，切线的方程为，
又，的方程可化为；同理可得的方程可化为；
又两切线交于点，所以，因此可得是方程的两根，因此；所以；因此
②设直线和的倾斜角为，直线的倾斜角为，
所以；
又；；
；
所以，
将代入可得
，
则可得，即；
又，所以，可得，则为定值.