（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点一、直线和曲线联立
（1）椭圆与直线相交于两点，设，
，
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
（2）抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
知识点二、根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．
同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；
焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
知识点三、弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为，时，；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
知识点四、已知弦的中点，研究的斜率和方程
（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，
运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，
所以，两式相减得
所以
即，故
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
【变式1-1】命题p：直线与抛物线有且仅有一个公共点，命题q：直线与抛物线相切，则命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
【变式1-2】过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
【例2-1】过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是
【变式2-1】已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .
【变式2-2】双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为 .
【变式2-3】已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ．
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
【例2-2】已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是 .
【变式2-4】直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 .
方向3：斜率之积问题
【例2-3】已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-6】过点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，若直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则等于（ ）.
A． B．2 C． D．
【变式2-7】过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型三：弦长问题
【例3】已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则 ．
【变式3-1】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ．
【变式3-2】已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ．
【变式3-3】已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，则 ．
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
【例题4-1】椭圆的左右顶点分别为是栯圆上一点，．
(1)求椭圆方程；
(2)动直线交椭圆于两点，求面积取最大时的的值．
方向2：四边形问题
【例4-2】已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知A是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在第二象限，直线分别与轴交于，求四边形面积的最大值．
第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系
1．过抛物线的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若，则直线AB的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（ ）
A． B． C． D．
3．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A． B． C． D．
4．已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
5．已知抛物线的焦点为为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（ ）
A．5 B．-4 C．3 D．-3
6．已知直线l过抛物线C：的的焦点且与C交于A，B两点，线段AB中点的横坐标3，则 ．
7．已知点为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，若，则 .
8．已知双曲线：（）的离心率为3，焦点分别为，，点在双曲线上.若的周长为，则的面积是 .
9．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
10．已知椭圆过点两点，椭圆的离心率为，为坐标原点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为椭圆上第一象限内任意一点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.