2022年高考数学一轮复习之平面解析几何

这是一份2022年高考数学一轮复习之平面解析几何，共41页。
2022年高考数学一轮复习之平面解析几何
一．选择题（共12小题）
1．（2021•全国Ⅲ卷模拟）已知直线l1：a2x+y﹣2＝0与直线l2：x﹣（2a+3）y+1＝0垂直，则a＝（　　）
A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1
2．（2021•海淀区校级模拟）已知点P与点（3，4）的距离不大于1，则点P到直线3x+4y+5＝0的距离最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2021•北京）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（　　）
A．±2 B．± C．± D．±3
4．（2021•浙江）已知a，b∈R，ab＞0，函数f（x）＝ax2+b（x∈R）．若f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（　　）
A．直线和圆 B．直线和椭圆
C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
5．（2021•庐阳区校级模拟）已知圆和点M（5，t），若圆C上存在两点A，B使得∠AMB＝60°，则实数t的取值范围是（　　）
A．[﹣1，6] B．[1，7] C．[0，8] D．[2，5]
6．（2021•宁江区校级三模）圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝9与圆C2：（x﹣5）2+y2＝16的公切线条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021•天津）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
8．（2021•新高考Ⅰ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
9．（2021•甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
10．（2021•安徽一模）若直线y＝kx与曲线（x﹣）2+（|y|﹣1）2＝1有交点，则k的取值范围是（　　）
A．[﹣，] B．[﹣1，1] C．[﹣，] D．[﹣，]
11．（2021•全国模拟）设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k＝（　　）
A． B． C． D．
12．（2019•新余二模）如图，已知抛物线的方程为x2＝2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．（2021•酉阳县校级模拟）若正方形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 　 　，　 　．
14．（2021•九龙坡区质检）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0，直线l：ax+y﹣2a﹣1＝0（a为参数）截圆C的弦长为2，则a＝　 　．
15．（2021•辽宁模拟）已知圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，圆C2：x2+y2+x﹣y﹣m2＝0（m≥0），若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为 　 　．
16．（2021•上海）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 　 　．
17．（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　 　．
三．解答题（共5小题）
18．（2020•江苏模拟）过直线y＝﹣1上的动点A（a，﹣1）作抛物线y＝x2的两切线AP，AQ，P，Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．
（2）求证：直线PQ过定点．
19．（2019•江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．

20．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．
21．（2021•浙江）如图，已知F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|＝2．
（Ⅰ）求抛物线的方程：
（Ⅱ）设过点F的直线交抛物线于A，B两点，若斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且满足|RN|2＝|PN|•|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围．

22．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣，0），F2（，0），点M满足|MF1|﹣|MF2|＝2．记M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|•|TB|＝|TP|•|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．

2022年高考数学一轮复习之平面解析几何
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021•全国Ⅲ卷模拟）已知直线l1：a2x+y﹣2＝0与直线l2：x﹣（2a+3）y+1＝0垂直，则a＝（　　）
A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法可得a2﹣（2a+3）＝0，解可得a的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l1：a2x+y﹣2＝0与直线l2：x﹣（2a+3）y+1＝0垂直，
则有a2﹣（2a+3）＝0，
解可得：a＝3或﹣1；
故选：D．
【点评】本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
2．（2021•海淀区校级模拟）已知点P与点（3，4）的距离不大于1，则点P到直线3x+4y+5＝0的距离最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】点到直线的距离公式．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】设P（x，y），则（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，即P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1内或在圆上，然后结合圆的性质及点到直线的距离公式可求．
【解答】解：设P（x，y），则（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，
∴P在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1内或在圆上，
则点P到直线3x+4y+5＝0的距离最小值为﹣1＝5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式及点到直线的距离公式，属于基础题．
3．（2021•北京）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（　　）
A．±2 B．± C．± D．±3
【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；逻辑推理．
【分析】将直线被圆C所截的弦长的最小值，转化为圆心到直线l的距离的最大值，结合点到直线的距离公式，得到等式关系，求解即可得到答案．
【解答】解：圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，
直线被圆C所截的弦长的最小值为2，设弦长为a，
则圆心C到直线l的距离d＝，
当弦长取得最小值2时，则d有最大值，
又，因为k2≥0，则，
故d的最大值为，解得m＝．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查了直线被圆所截得的弦长问题，点到直线距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
4．（2021•浙江）已知a，b∈R，ab＞0，函数f（x）＝ax2+b（x∈R）．若f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（　　）
A．直线和圆 B．直线和椭圆
C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【考点】轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用等比中项的定义得到f（s）2＝f（s﹣t）f（s+t），代入解析式中整理化简，可得t2（at2﹣2as2+2b）＝0，分两种情况分别求解轨迹方程，由此判断轨迹即可．
【解答】解：函数f（x）＝ax2+b，因为f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比数列，
则f2（s）＝f（s﹣t）f（s+t），即（as2+b）2＝[a（s﹣t）2+b][a（s+t）2+b]，
即a2s4+2abs2+b2＝a2[（s﹣t）2（s+t）2]+ab（s﹣t）2+ab（s+t）2+b2，
整理可得a2t4﹣2a2s2t2+2abt2＝0，
因为a≠0，故at4﹣2as2t2+2bt2＝0，即t2（at2﹣2as2+2b）＝0，
所以t＝0或at2﹣2as2+2b＝0，
当t＝0时，点（s，t）的轨迹是直线；
当at2﹣2as2+2b＝0，即，因为ab＞0，故点（s，t）的轨迹是双曲线．
综上所述，平面上点（s，t）的轨迹是直线或双曲线．
故选：C．
【点评】本题考查了等比中项的应用，动点轨迹方程的求解，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
5．（2021•庐阳区校级模拟）已知圆和点M（5，t），若圆C上存在两点A，B使得∠AMB＝60°，则实数t的取值范围是（　　）
A．[﹣1，6] B．[1，7] C．[0，8] D．[2，5]
【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学抽象；数学运算．
【分析】通过将圆与两条切线的夹角转化成直角三角形中的边角关系，结合两点间的距离公式求解．
【解答】解：当MA，MB是圆C的切线时，∠AMB取得最大值．
若圆C上存在两点A，B使得∠AMB＝60°，则MA，MB是圆C的切线时，∠AMB≥60°，即∠AMC≥30°，且∠AMC＜90°，
∴|MC|≤＝，
即，
∴16+（t﹣4）2≤32，解得0≤t≤8，
即实数t的取值范围是[0，8]．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是将问题转化为直线与圆相切，从而转化成直角三角形中的计算问题，是中档题．
6．（2021•宁江区校级三模）圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝9与圆C2：（x﹣5）2+y2＝16的公切线条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】两圆的公切线条数及方程的确定．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】根据题意，求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分析可得两圆相交，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝9，其圆心为（2，4），半径R＝3，
圆C2：（x﹣5）2+y2＝16，其圆心为（5，0），半径r＝4，
圆心距|C1C2|＝＝5，则有r﹣R＜|C1C2|＜r+R，两圆相交，
则两圆有2条共切线；
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆位置关系的判断，涉及两圆位置关系和共切线数目的关系，属于基础题．
7．（2021•天津）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】由题意可得p，c的关系，再由双曲线及渐近线的对称性，将双曲线的方程和渐近线的方程与抛物线的准线联立求出|AB|，|CD|的一半的表达式，由题意可得a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．
【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，CD与x轴分别交于M，N，
由|CD|＝|AB|，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|CN|＝|AM|，
由题意可得：＝c，即p＝2c，
可得解得：|y|＝，所以|AM|＝，
可得：|y|＝，所以|CN|＝，
所以可得＝•，可得c＝b，
所以c2＝2b2＝2（c2﹣a2），
解得：c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的对称性及直线与双曲线的综合，属于中档题．
8．（2021•新高考Ⅰ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
【考点】基本不等式及其应用；椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
【解答】解：F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|＝6，
所以|MF1|•|MF2|≤＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，取等号，
所以|MF1|•|MF2|的最大值为9．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
9．（2021•甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】设出|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由双曲线的定义可得m＝a，再通过∠F1PF2＝60°，由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率．
【解答】解：F1，F2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，|PF1|＝3|PF2|，
设|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2m＝2a，即m＝a，
所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因为∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，
所以4c2＝9a2+a2﹣2×3a×a×cos60°，整理得4c2＝7a2，
所以e＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查方程思想、转化思想与运算求解能力，属于中档题．
10．（2021•安徽一模）若直线y＝kx与曲线（x﹣）2+（|y|﹣1）2＝1有交点，则k的取值范围是（　　）
A．[﹣，] B．[﹣1，1] C．[﹣，] D．[﹣，]
【考点】直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】先讨论y的范围，分别写出曲线方程，然后根据曲线方程可知曲线方程表示以M（，1）为圆心，半径为1的圆和以N（）为圆心，半径为1的圆，然后根据直线与圆有公共点建立不等式关系即可求解．
【解答】解：当y≥0时，曲线方程为：（x﹣）2+（y﹣1）2＝1，表示的是以M（，1）为圆心，半径为1的圆，
当y＜0时，曲线方程为：（x﹣）2+（y+1）2＝1，表示的是以N（）为圆心，半径为1的圆，
所以圆心M，N分别到直线y＝kx的距离为d，d，
因为直线y＝kx与曲线有交点，只需直线与圆M或圆N有公共点即可，
则d1≤1或d2≤1，即或，
化简可得k或k，
解得0或﹣，
所以实数k的取值范围为[﹣]，
故选：A．
【点评】本题考查了曲线方程以及直线与圆的位置关系的应用，考查了学生的分析问题的能力以及运算能力，属于中档题．
11．（2021•全国模拟）设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题意可得直线AB的方程 y﹣0＝k （x+1），k＞0，代入抛物线y2＝4x化简求得x1+x2 和x1•x2，进而得到y1+y2和y1•y2，由 ，解方程求得k的值．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），直线AB的方程 y﹣0＝k （x+1），k＞0．
代入抛物线y2＝4x化简可得 k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，
∴x1+x2＝，x1•x2＝1．
∴y1+y2＝k（x1+1）+k（x2+1）＝+2k＝，
y1•y2＝k2（x1+x2+x1•x2+1）＝4．
又 ＝（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2＝8﹣，
∴k＝，
故选：B．
【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，得到 8﹣＝0，是解题的难点和关键．
12．（2019•新余二模）如图，已知抛物线的方程为x2＝2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于（　　）

A． B． C． D．
【考点】直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设直线PQ的方程为：y＝kx﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线PQ方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，根据韦达定理及斜率公式可求得kBP+kBQ＝0，再由已知kBP•kBQ＝﹣3可解得，，由此可知∠BNM与∠BMN的大小，由三角形内角和定理可得∠MBN．
【解答】解：设直线PQ的方程为：y＝kx﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由得x2﹣2pkx+2p＝0，△＞0，
则x1+x2＝2pk，x1x2＝2p，
，，
＝
＝＝＝0，即kBP+kBQ＝0①
又kBP•kBQ＝﹣3②，
联立①②解得，，
所以，，
故∠MBN＝π﹣∠BNM﹣∠BMN＝，
故选：D．
【点评】本题考查直线、抛物线方程及其位置关系等知识，解决本题的关键是通过计算发现直线BP、BQ斜率互为相反数．
二．填空题（共5小题）
13．（2021•酉阳县校级模拟）若正方形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 　　，　﹣2　．
【考点】直线的斜率．菁优网版权所有
【专题】数形结合；定义法；直线与圆；数学运算．
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用正方形的结构特征与两条直线所成的角的正切值，即可求出结果．
【解答】解：正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3，建立直角坐标系，如图所示：

设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝3，
由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为θ﹣45°，直线OB的倾斜角为θ+45°，
所以，
．
故答案为：；﹣2．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的计算问题，是基础题．
14．（2021•九龙坡区质检）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0，直线l：ax+y﹣2a﹣1＝0（a为参数）截圆C的弦长为2，则a＝　1　．
【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算．
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由弦长可得圆心到直线的距离，进一步由点到直线的距离公式列式求解．
【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣3＝0，得（x﹣1）2+y2＝4，
则圆心坐标为C（1，0），半径r＝2．
又直线l截圆C所得弦长为2，可得圆心到直线l的距离d＝，
∴，解得a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题．
15．（2021•辽宁模拟）已知圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，圆C2：x2+y2+x﹣y﹣m2＝0（m≥0），若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为 　3　．
【考点】圆方程的综合应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】根据题意，联立两个圆的方程可得两圆的公共弦所在的直线，分析可得圆C1的圆心在公共弦上，由此可得关于m的方程，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，圆C2：x2+y2+x﹣y﹣m2＝0（m≥0），
联立可得：3x﹣5y﹣m2﹣4＝0，即两圆的公共弦所在的直线为3x﹣5y﹣m2﹣4＝0，
圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，即（x﹣1）2+（y+2）2＝1，其圆心为（1，﹣2），
若圆C2平分圆C1的圆周，则圆心在（1，﹣2）直线3x﹣5y﹣m2﹣4＝0上，即3+10﹣m2﹣4＝0，
解可得m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程和标准方程，属于基础题．
16．（2021•上海）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 　　．
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；直观想象；数学运算．
【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线AB的斜率即可．
【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为l，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，AE⊥BD于点E，

由抛物线的定义，可得AC＝AF＝2，BD＝BF＝4，
∴，
∴直线AB的斜率．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题．
17．（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　（3，）　．
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【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设M（m，n），m，n＞0，求得椭圆的a，b，c，e，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，运用椭圆的焦半径公式，可得所求点的坐标．
【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：+＝1的a＝6，b＝2，c＝4，
e＝＝，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，
即有6+m＝8，即m＝3，n＝；
6﹣m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
可得M（3，）．
故答案为：（3，）．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查分类讨论思想方法，以及椭圆焦半径公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
三．解答题（共5小题）
18．（2020•江苏模拟）过直线y＝﹣1上的动点A（a，﹣1）作抛物线y＝x2的两切线AP，AQ，P，Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．
（2）求证：直线PQ过定点．
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【专题】证明题；压轴题．
【分析】（1）设过A作抛物线y＝x2的切线的斜率为k，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k的一元二次方程，k1，k2必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k1•k2为定值
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标都适合方程2ax﹣y+1＝0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2ax﹣y+1＝0，该线过定点（0，1）故证得．
【解答】解：（1）设过A作抛物线y＝x2的切线的斜率为k，
则切线的方程为y+1＝k（x﹣a），
与方程y＝x2联立，消去y，得x2﹣kx+ak+1＝0．
因为直线与抛物线相切，所以△＝k2﹣4（ak+1）＝0，
即k2﹣4ak﹣4＝0．由题意知，此方程两根为k1，k2，
∴k1k2＝﹣4（定值）．（5分）
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由y＝x2，得y′＝2x．
所以在P点处的切线斜率为：，
因此，切线方程为：y﹣y1＝2x1（x﹣x1）．
由y1＝x12，化简可得，2x1x﹣y﹣y1＝0．
同理，得在点Q处的切线方程为2x2x﹣y﹣y2＝0．
因为两切线的交点为A（a，﹣1），故2x1a﹣y1+1＝0，2x2a﹣y2+1＝0．
∴P，Q两点在直线2ax﹣y+1＝0上，即直线PQ的方程为：2ax﹣y+1＝0．
当x＝0时，y＝1，所以直线PQ经过定点（0，1）．（10分）
【点评】本题考查转化的技巧，（I）将两斜率之积为定值的问题转化 成了两根之积来求，（II）中将求两动点的连线过定点的问题 转化成了求直线系过定点的问题，转化巧妙，有艺术性．
19．（2019•江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．

【考点】直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有
【专题】方程思想；分析法；直线与圆．
【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）
设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；
（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；
（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．
【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，
AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，
即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，
以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）
（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，
则kBP•kAB＝﹣1，
即•＝﹣1，
解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；
（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），
则kQA•kAB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），
由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，
所以P，Q中不能有点选在D点；
（3）设P（a，0），Q（b，0），由（1）（2）可得a≤﹣17，b≥﹣，
由两点的距离公式可得PB2＝（a+8）2+144≥225，当且仅当a＝﹣17时，d＝|PB|取得最小值15，
又QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，a＝﹣17，b＝3，PQ＝17+3．

【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．
20．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．
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【专题】方程思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）利用离心率以及焦点的坐标，求出a和c的值，结合a2＝b2+c2，即可求出b的值，从而得到椭圆的标准方程；
（Ⅱ）先证明充分性，设直线MN的方程，利用圆心到直线的距离公式求出m的值，联立直线与椭圆的方程，求出|MN|即可；再证明必要性，设直线MN的方程，由圆心到直线的距离公式求出m和t的关系，联立直线与椭圆的方程，求出|MN|，得到方程，求出m和t的值，从而得到直线MN必过点F，即可证明必要性．
【解答】（Ⅰ）解：由题意可得，椭圆的离心率＝，又，
所以a＝，则b2＝a2﹣c2＝1，
故椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）证明：先证明必要性，
若M，N，F三点共线时，设直线MN的方程为x＝my+，
则圆心O（0，0）到直线MN的距离为，解得m2＝1，
联立方程组，可得，
即，
所以；
所以必要性成立；
下面证明充分性，
当|MN|＝时，设直线MN的方程为x＝ty+m，
此时圆心O（0，0）到直线MN的距离，则m2﹣t2＝1，
联立方程组，可得（t2+3）y2+2tmy+m2﹣3＝0，
则△＝4t2m2﹣4（t2+3）（m2﹣3）＝12（t2﹣m2+3）＝24，
因为，
所以t2＝1，m2＝2，
因为直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切，
所以m＞0，则，
则直线MN的方程为恒过焦点F（），
故M，N，F三点共线，
所以充分性得证．
综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．

【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．
21．（2021•浙江）如图，已知F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|＝2．
（Ⅰ）求抛物线的方程：
（Ⅱ）设过点F的直线交抛物线于A，B两点，若斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且满足|RN|2＝|PN|•|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围．

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【专题】数形结合；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据题意求得p，进而求得抛物线方程；
（Ⅱ）设直线AB：y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，利用韦达定理求得两根之和及两根之积，设直线AM及直线BM方程，将它们分别与直线l方程y＝2（x﹣t）联立，可得点R及点Q的横坐标，再根据题意，可得，化简将含t的式子用k表示，进而得到关于t的不等式，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x；
（Ⅱ）由题意得，直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB：y＝k（x﹣1），
将直线AB方程代入抛物线方程可得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
则由韦达定理有，，则yAyB＝﹣4，
设直线AM：y＝k1（x+1），其中，设直线BM：y＝k2（x+1），其中，
则＝＝＝，
，
设直线l：y＝2（x﹣t），
联立，可得，则，
联立，可得，则，
同理可得，，
又|RN|2＝|PN|•|QN|，
∴，即，
∴＝（t≠1），
∴4（t2+2t+1）≥3（t2﹣2t+1），即t2+14t+1≥0，解得或（t≠1）；
当直线AB的斜率不存在时，则直线AB：x＝1，A（1，2），B（1，﹣2），M（﹣1，0），
∴直线MA的方程为y＝x+1，直线MB的方程为y＝﹣x﹣1，
设直线l：y＝2（x﹣t），则P（1+2t，2+2t），，R（1，2﹣2t），N（t，0），
又|RN|2＝|PN|•|QN|，故，
解得t满足．
∴直线l在x轴上截距的取值范围为．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题．
22．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣，0），F2（，0），点M满足|MF1|﹣|MF2|＝2．记M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|•|TB|＝|TP|•|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
【考点】直线与双曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）M的轨迹C是双曲线的右支，根据题意建立关于a，b，c的方程组，解出即可求得C的方程；
（2）（法一）设出直线AB的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得|TA|•|TB|，同理求得|TP|•|TQ|，再根据|TA|•|TB|＝|TP|•|TQ|，即可得出答案．
（法二）设直线AB方程，将其与CD的方程联立，求出两根之和及两根之积，再表示出|AT|及|BT|，同理设出直线PQ的方程，表示出|PT|及|QT|，根据|TA|•|TB|＝|TP|•|TQ|，代入化简后可得出结论．
【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，M的轨迹C是双曲线的右支，设C的方程为，
根据题意，解得，
∴C的方程为；
（2）（法一）设，直线AB的参数方程为，
将其代入C的方程并整理可得，（16cos2θ﹣sin2θ）t2+（16cosθ﹣2msinθ）t﹣（m2+12）＝0，
由参数的几何意义可知，|TA|＝t1，|TB|＝t2，则，
设直线PQ的参数方程为，|TP|＝λ1，|TQ|＝λ2，同理可得，，
依题意，，则cos2θ＝cos2β，
又θ≠β，故cosθ＝﹣cosβ，则cosθ+cosβ＝0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．
（法二）设，直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），设，
将直线AB方程代入C的方程化简并整理可得，，
由韦达定理有，，
又由可得，
同理可得，
∴＝，
设直线PQ的方程为，设，
同理可得，
又|AT||BT|＝|PT||QT|，则，化简可得，
又k1≠k2，则k1＝﹣k2，即k1+k2＝0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．
【点评】本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中档题．

考点卡片
1．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
2．直线的斜率
【考点归纳】
1．定义：当直线倾斜角α≠时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα．
2．斜率的求法
（1）定义：k＝tanα（α≠）
（2）斜率公式：k＝．
3．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：
①当α≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；
②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大．
【命题方向】
直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．
常见题型：
（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；
（2）已知斜率求倾斜角的问题．
（3）斜率在数形结合中的应用．
3．直线的一般式方程与直线的垂直关系
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
4．恒过定点的直线
【概念】
如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成．
【直线表达式】
假如有一定点A的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m．
【例题解析】
例：方程kx+y﹣3＝0所确定的直线必经过的定点坐标是
解：方程kx+y﹣3＝0所确定的直线必经过的定点坐标满足，解得，故定点坐标为（0，3），
故答案为 （0，3）．
这是个典型的考查本知识点的例题，所用的方法其实就是待定系数法，也可以说就是套公式，正如前面所言，过A点的坐标的直线可以写成y＝k（x﹣m）+n，这里的m＝0，n＝3，所以必过（0，3）点．
【考点解析】
从上面的例题可以看出，这是一个比较简单的考点，所以请大家都要掌握，知道为什么就过定点，过定点的直线怎么求．
5．点到直线的距离公式
【知识点的知识】
从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d＝．
【例题解析】
例：过点P（1，1）引直线使A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程．
解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，
当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k＝＝1，
故直线方程为y﹣1＝（x﹣1），即x﹣y＝0；
当直线过AB的中点（3，4）时，斜率为k＝＝，
故直线方程为y﹣1＝（x﹣1），即3x﹣2y﹣1＝0；
故答案为：x﹣y＝0或3x﹣2y﹣1＝0．
这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是一个好题．
【考点分析】
正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解析几何中可能会涉及到点到直线的距离．
6．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
7．直线与圆相交的性质
【知识点的知识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
【例题解析】
例：写出直线y＝x+m与圆x2+y2＝1相交的一个必要不充分条件：　　
解：直线x﹣y+m＝0若与圆x2+y2＝1相交，
则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，
即d＝，
∴|m|，
即，
∴满足的必要不充分条件均可．
故答案为：满足的必要不充分条件均可．
这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．
【考点解析】
本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．
8．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系

2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
9．两圆的公切线条数及方程的确定
【概念】
之前谈到过圆外一点可以做两条圆的相切，那么当有两个圆的时候，他们的公切线有几条呢？这里面不得不考虑两个圆的位置关系．①当两圆相离时，公切线有四条；②当两圆外切时，公切线有三条；③当两圆内切时，公切线仅有一条；④当两圆的关系为内含时，没有公切线．
【考点解析】
初中知识，在高考中较少涉及，求切线的方法无外乎先设出切线方程，然后根据切线的性质求出切线的参数即可．
10．直线和圆的方程的应用
【知识点的知识】
1、直线方程的形式：

2、圆的方程：
（1）圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
（2）圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心（﹣，﹣），半径r＝．
11．圆方程的综合应用
【知识点的知识】
圆的方程：
（1）圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
（2）圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心（﹣，﹣），半径r＝．
12．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
13．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

14．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
15．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则
＝
当，
解得
此时对∀k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
16．直线与双曲线的综合
v．
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