（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第4章 第03讲 复数 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
题型一：复数的概念
【例1】已知的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于,的实部与虚部互为相反数，
故，故选：A
【变式1-1】已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以所以的虚部为.故选：A.
【变式1-2】若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．2或 C． D．
【答案】C
【解析】因为复数为纯虚数，则有，解得，所以实数的值为.
故选：C
【变式1-3】若是纯虚数，，则的实部为______.
【答案】1
【解析】是纯虚数，且，则有，故，实部为1.故答案为：1.
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
【例2】已知复数，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，则，所以.故选：A
【变式2-1】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，故.故选：B.
【变式2-2】已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以．故选：A.
【变式2-3】已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一：由得，所以，故选．
解法二：由得，所以，即，故选：．
【解题方法总结】
设，则
（1）
（2）
（3）
题型三：复数的几何意义
【例3】复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由题得，即复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A．
【变式3-1】已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，所以，
所以．故选：B．
【变式3-2】在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【解析】由题意，知，，所以，所以．故选：C.
【解题方法总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．
题型四：复数的相等与共轭复数
【例4】已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A．9 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，
则，即，即，解得，故.故选：．
【变式4-1】已知，，，若，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】由已知可得，，，
所以，所以有，解得或.故选：C.
【变式4-2】已知复数，且，其中a是实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
所以，解得.故选:B.
【变式4-3】已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】设，则，则，即，
所以，解得，所以，所以的共轭复数的虚部为.故选：B.
【解题方法总结】
复数相等：
共轭复数：．
题型五：复数的模
【例5】若，则_______．
【答案】
【解析】由可得，
故，则，故答案为：
【变式5-1】已知复数满足，则__________．
【答案】
【解析】设，则，所以，解得，
当时，，故，
；
当时，，故，
，故答案为：-8
【变式5-2】设复数，满足，，则=_______.
【答案】
【解析】方法一：设，，
，，又，所以，，
.故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，
∴，
∴.
题型六：复数的三角形式
【例6】1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；
对于B，，故选项B正确；
对于C，由，，所以,得出，故选项C正确；
对于D，由C的分析得，推不出，故选项D错误．故选：D．
【变式6-1】任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（ ）
A．1 B． C． D．i
【答案】B
【解析】，
；故选：B．
【变式6-2】欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由欧拉公式知：，，
，的虚部为．故选：B
【变式6-3】棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由棣莫弗公式知，
，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．
【解题方法总结】
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
题型七：与复数有关的最值问题
【例7】若，则的最大值与最小值的和为___________.
【答案】
【解析】由几何意义可得：复数表示以（）为圆心的半径为1的圆，
则.故答案为：
【变式7-1】在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为____________.
【答案】6
【解析】令且，则，即复数对应点在原点为圆心，半径为1的圆上，
而，即点到定点距离的最大值，
所以的最大值为.故答案为：
【变式7-2】设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，
由图可知，.故选：C
【变式7-3】复平面内复数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以点是以，为焦点，半实轴长为1的双曲线，则，
所以点的轨迹方程为，设，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．故选：B．
【变式7-4】已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，所以的最大值为．
故选：B
第03讲 复数
1．已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，∴.故选：B.
2．设，则在复平面内所表示的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】满足条件的复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，满足条件的复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，则在复平面内所表示的区域为圆环，如下图中阴影部分区域所示：
所以，在复平面内所表示的区域的面积是.故选：C.
3．若复数满足.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，因为，所以，解得：，
，故.故.故选：C.
4．已知复数为纯虚数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】因为纯虚数，所以， 解得，
所以.故选：C.
5．已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．1 B．-1 C．i D．-i
【答案】B
【解析】由已知可得，，所以，所以，复数z的虚部为.故选：B.
6．若虚数是关于x的方程的一个根，且，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【解析】设（且），代入原方程可得．
所以，解得，因为，所以．故选：C．
7．已知复数满足（为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设复数在复平面中对应的点为，由题意可得：，表示复平面中点到定点的距离为1，所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆，因为表示表示复平面中点到定点的距离，所以，即的最大值为3.故选：C.
8．欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数是虚数单位.已知复数，设，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
，依题意，，当时，，B正确，ACD错误.
故选：B
9．复数满足，则__________．
【答案】
【解析】因为复数满足，所以，故答案为：.
10．若为虚数单位，则计算___________．
【答案】
【解析】设，，
上面两式相减可得，，
则．故答案为：．
11．设且，满足，则的取值范围为________________．
【答案】
【解析】设，，则，
所以，，所以，
即对应点在以为圆心，半径为的圆上.
，对应点为，与关于对称，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，表示与两点间的距离，
圆与圆相交，圆心距为，如图所示，所以的最小值为，最大值为，所以的取值范围为.故答案为：
12．已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为__________
【答案】
【解析】因为复数满足，所以根据复数的几何意义有，复数对应的点到点的距离为1，即点的轨迹为以为圆心，半径的圆，所以的最大值为，
故答案为：.