新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第17讲 导数的概念及其运算（2份打包，原卷版+解析版）

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导数的概念
导数的概念
导数的概念和运算
初等函数的求导公式
导数的运算法则
导数的运算
【基础知识全通关】
一：导数的概念：
1．导数的定义：
对函数 SKIPIF 1 < 0 ，在点 SKIPIF 1 < 0 处给自变量x以增量 SKIPIF 1 < 0 ，函数y相应有增量 SKIPIF 1 < 0 。若极限 SKIPIF 1 < 0 存在，则此极限称为 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的导数，记作 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，此时也称 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处可导。
即： SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）
【点石成金】：
①增量 SKIPIF 1 < 0 可以是正数，也可以是负数；
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：
如果函数 SKIPIF 1 < 0 在开区间 SKIPIF 1 < 0 内的每点处都有导数，此时对于每一个 SKIPIF 1 < 0 ，都对应着一个确定的导数 SKIPIF 1 < 0 ，从而构成了一个新的函数 SKIPIF 1 < 0 , 称这个函数 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 在开区间内的导函数，简称导数。
函数的导数与在点 SKIPIF 1 < 0 处的导数不是同一概念， SKIPIF 1 < 0 是常数，是函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的函数值，反映函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 附近的变化情况。
【点石成金】：
函数的导数与在点 SKIPIF 1 < 0 处的导数不是同一概念， SKIPIF 1 < 0 是常数，是函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的函数值，反映函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 附近的变化情况。
3．导数几何意义：
（1）曲线的切线
曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
即： SKIPIF 1 < 0 。
(2)导数的几何意义：
函数 SKIPIF 1 < 0 在点x0的导数 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上点（ SKIPIF 1 < 0 ）处的切线的斜率。
【点石成金】：
①若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的导数不存在，但有切线，则切线与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直。
② SKIPIF 1 < 0 ，切线与 SKIPIF 1 < 0 轴正向夹角为锐角； SKIPIF 1 < 0 ，切线与 SKIPIF 1 < 0 轴正向夹角为钝角； SKIPIF 1 < 0 ，切线与 SKIPIF 1 < 0 轴平行。
(3)曲线的切线方程
如果 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 可导，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点（ SKIPIF 1 < 0 ）处的切线方程为：
SKIPIF 1 < 0 。
考点二：常见基本函数的导数公式
（1） SKIPIF 1 < 0 （C为常数）， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 （n为有理数）， SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（4） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（5） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（6） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（7） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（8） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
考点三：函数四则运算求导法则
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均可导
（1）和差的导数： SKIPIF 1 < 0
（2）积的导数： SKIPIF 1 < 0
（3）商的导数： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
考点四：复合函数的求导法则
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
即复合函数 SKIPIF 1 < 0 对自变量 SKIPIF 1 < 0 的导数 SKIPIF 1 < 0 ，等于已知函数 SKIPIF 1 < 0 对中间变量 SKIPIF 1 < 0 的导数 SKIPIF 1 < 0 ，乘以中间变量 SKIPIF 1 < 0 对自变量 SKIPIF 1 < 0 的导数 SKIPIF 1 < 0 。
【点石成金】：
选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。
【考点研习一点通】
考点01：导数概念的应用
1、用导数的定义，求函数 SKIPIF 1 < 0 在x=1处的导数。
【变式1-1】已知函数 SKIPIF 1 < 0
（1）求函数在x=4处的导数.
（2）求曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程。
【变式1-2】求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
考点02：利用公式及运算法则求导数
2．求下列函数的导数：
（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 ； （4）y=2x3―3x2+5x＋4
【变式2-1】求下列函数的导数：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0
（3）y=6x3―4x2+9x―6
【变式2-1】求下列各函数的导函数
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）y=x2sinx;
（３）y= SKIPIF 1 < 0 ； （４）y= SKIPIF 1 < 0
考点03：复合函数的求导问题
3．求下列函数导数.
（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ； （4） SKIPIF 1 < 0 .
【变式3-1】求下列函数的导数：
SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0
（3）y=ln（x＋ SKIPIF 1 < 0 ）； （4） SKIPIF 1 < 0
考点04：曲线的切线方程求解问题
4．已知 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 QUOTE 时， SKIPIF 1 < 0 QUOTE ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是_______________．
【变式4-1】（2014碑林区校级一模）若存在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都相切，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
5.已知函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
【变式】曲线 SKIPIF 1 < 0 在（0，1）处的切线与 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【考点易错】
易错01 求导数的切线方程
(1)函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为__________．
(2)函数f (x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
【变式1-1】(1)已知曲线S：y＝－eq \f(2,3)x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程为____．
(2)已知函数f(x)＝xlnx，过点A(－eq \f(1,e2)，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．
（2）x＋y＋eq \f(1,e2)＝0
【变式1-2】已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq \f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．
易错02 导数几何意义的应用
2、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使直线 SKIPIF 1 < 0 既是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，又是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线？如果存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；如果不存在，请说明理由．
【变式2-1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数，则过曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为__________________．
【变式2-2】若直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为________．
【巩固提升】
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的正实根，则实数m的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是偶函数， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数）.若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．设实数 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．设函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．7B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .若方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有解，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在一次函数 SKIPIF 1 < 0 ，使得对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称函数 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的弱渐进函数.下列结论正确的是（ ）
① SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的弱渐进函数；
② SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的弱渐进函数；
③ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的弱渐进函数；
④ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的弱渐进函数.
A．①②B．②④C．①④D．①③
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 存在唯一极值点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点
D．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，下列命题中真命题的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的单调减区间是 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的极小值是 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意的 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 （a） SKIPIF 1 < 0 （a） SKIPIF 1 < 0
D．函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点
10．关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 恰有一个解，则实数a的取值范围是__________．
11、曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
12、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_______.
13．已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上连续可导， SKIPIF 1 < 0 为其导函数，且 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．0D． SKIPIF 1 < 0
14．设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
15．已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，求:
（1）曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程.
16．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，且在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式．