（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第4章 第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点一．向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点二．向量的线性运算和向量共线定理
（1）向量的线性运算
【注意】
（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．
知识点三．平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若，则．
推论2：若，则．
3、线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
D
A
C
B
4、三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
5、中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
D
A
C
B
知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
知识点五．平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．，
【解题方法总结】
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
即．
（2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．
（3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
（4）减法公式：，常用于向量式的化简．
（5）、、三点共线，这是直线的向量式方程．
题型一：平面向量的基本概念
【例1】给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．故选：B．
【变式1-1】下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．与的方向相反 D．若，则
【答案】B
【解析】对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；对于B选项，，故B对；对于C选项，与的方向相同，故C错；对于D选项，若，但、、的方向不确定，故D错.故选：B.
【变式1-2】给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；
③若，则；
④若，，则；
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】①若，只能说明模相等，它们方向不一定相同或相反，错；
②若，若且，即A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点，若四点共线，不能构成平行四边形，错；③若，即、分别为相等向量，故，对；
④若，，当为零向量时不一定成立，错.故选：D
【解题方法总结】
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．
题型二：平面向量的线性表示
【例2】在中，点为中点，点在上且.记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：
由，所以，又，，
又因为为中点，，则，故选：B.
【变式2-1】已知为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
因为，所以是线段的四等分点，且,
所以,故A,B错误；
由，可得，故C正确，D错误，故选:C.
【变式2-2】在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由D为中点，根据向量的运算法则，可得，
在中，.故选:D．
【变式2-3】如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
.故选：C.
【变式2-4】已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，∴．故选：B.
【解题方法总结】
（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．
（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
题型三：向量共线的运用
【例3】在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得出，
由得，
因为三点共线，所以，解得.故选：D.
【变式3-1】如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【解析】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，又，，所以，
又三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
【变式3-2】如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，因为N，P，C三点共线，所以，解得，所以，所以.故选：B.
【变式3-3】如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由题意且，而x＝，y＝，
所以，又G是△ABC的重心，故，
所以，可得，即.故选：A
【变式3-4】在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．13 D．16
【答案】D
【解析】由题意，如下示意图知：，且，又，
所以，故且，
故，仅当，即时等号成立.所以的最小值是16.故选：D
【变式3-5】已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】因为与共线，则存在，使得，即，因为向量、不共线，则，整理可得，即，解得或.故选：C.
【变式3-6】已知直线上有三点，，，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】点、、是直线上不同的三点，
存在非零实数，使；
若，，；；
数列是等差数列，；．故选：A．
【变式3-7】如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
【解析】（1）在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，，，
；
（2）证明：因为，，所以，所以，
又因有公共点，所以B，E，F三点共线．
【解题方法总结】
要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）．若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=．
题型四：平面向量基本定理及应用
【例4】设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【解析】依题意，不共线，
A选项，不存在使，所以和可以组成基底.
B选项，不存在使，所以和可以组成基底.
C选项，，所以和不能构成基底.
D选项，不存在使，所以和可以组成基底.故选：C
【变式4-1】已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，假设共线，则存在，使得，因为不共线，所以没有任何一个能使该等式成立，即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于B，假设共线，则存在，使得，即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在，使得，即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，即假设不成立，也即不共线，则能作为基底，故选:C.
【变式4-2】在中，点为与的交点，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以为中点，三点共线，故可设，
即，整理得，
因为，所以，即，三点共线，
可得，所以，解得，
可得，则，.故选：B
【变式4-3】如图，在中，，，其中，，若AM与BN相交于点Q，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，
因为Q，M，A三点共线，由三点共线可得向量的线性表示中的系数之和为1，
所以， 化简整理得．故选：C．
【变式4-4】在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
因为是的中点，所以，.
又因为是的中点，所以，，
又，所以，，所以．故选：A．
【变式4-5】如图，在平行四边形中，M，N分别为，上的点，且，，连接，交于P点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，取为平面的基底，由，得，
由，得，由，知，
由，得，因此，则，解得，所以.故选：C
【变式4-6】如图，在四边形中，，，点在线段上，且，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在梯形中，，且，则，
因为在线段上，且，则，，
所以，.故选：D.
【解题方法总结】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点．
题型五：平面向量的直角坐标运算
【例5】已知向量，，，且，则_____.
【答案】
【解析】，由可知 解得故．
故答案为：
【变式5-1】已知，，且，则点M的坐标为______.
【答案】
【解析】由题意得，所以.设，则，所以，解得 故点M的坐标为.故答案为：
【变式5-2】如图，已知平面内有三个向量，，，其中与和的夹角分别为和，且，，若，则________．
【答案】8
【解析】如图所示，过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于两点，所以四边形平行四边形，则，因为向量与和的夹角分别为和，
即,则,
在直角中，，，所以，
在直角中，，，所以，
又由，可得，又因为，所以，
所以．故答案为：8．
【变式5-3】已知向量，，且，则实数______．
【答案】±1
【解析】由题意，得，所以，解得．
故答案为：±1.
【变式5-4】如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（ ）

A． B．2 C．3 D．6
【答案】A
【解析】以A为坐标原点，以为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则,故,
则由可得，
即，故，故选：A
【变式5-5】已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【解析】由得，即，，，
，，与同向的单位向量为，反向的单位向量为．故选：C．
【解题方法总结】
（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．
题型六：向量共线的坐标表示
【例6】在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为A，B，C三点共线，则，，
即，则，解得.故选：C
【变式6-1】已知，且三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得,因为三点共线，所以，即，解得.所以.故选：A.
【变式6-2】已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】设，因为向量，且与的夹角为钝角，
所以，所以，不妨令，则，故，
故答案为：（答案不唯一）.
【变式6-3】已知向量，，向量，，若，则实数______.
【答案】
【解析】根据题意可知，不共线若，则，使得，即
则可得，解得故答案为：．
【变式6-4】已知向量．若与共线，则实数__________．
【答案】
【解析】由题意知向量，故，由于与共线，
故，故答案为：
【变式6-5】已知，若与平行，则实数______________．
【答案】
【解析】因为，所以，，因为与平行，所以，得.故答案为：.
【变式6-6】已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________.
【答案】(3,3)
【解析】法一:由O，P，B三点共线，可设,则,
又，由共线，得，解得 ，所以,
所以点P的坐标为(3,3),故答案为：
法二:设点P(x,y)，则 ，因为，且 与共线，所以 ，即x=y.
又 ， ，且共线，所以 ，解得x=y=3，
所以点P的坐标为(3,3)，故答案为：
【解题方法总结】
（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则．
（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示
1．在中，，点P在CD上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
又P，C，D三点共线，所以，得.故选：D.
2．已知向量，，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】，两边平方得 ，展开整理得.
,解得.故选：C
3．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】如图，，所以M是AC的中点，；故选：C.
4．已知向量，，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为，所以，解得．故选：D
5．在中，记，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在中，若，所以点为中点，所以.故选：D
6．在中，是中线的中点，过点的直线交边于点M，交边于点N，且，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】因为三点共线，所以，且，因为是的中点，所以，因为，，所以，则，得.故选：D
7．已知向量，，则下列命题不正确的是（ ）
A． B．若，则
C．存在唯一的使得 D．的最大值为
【答案】D
【解析】由向量，，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，若，可得且，可得，所以B正确；
对于C中，若，可得，整理得，
所以，可得，因为，可得，所以C正确；
对于D中，由，
因为，所以，可得，
所以的最大值为，即的最大值为，所以D错误.故选：D.
8．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则__________.
【答案】
【解析】由题意可知与共线，所以存在实数使，因为，不共线，所以，解得或，因为向量与的方向相反，即.答案为：.
9．在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______．
【答案】
【解析】在中，，，则，又平分，即有，
因此，即有，，整理得，
而，且不共线，于是，所以.故答案为：
10．已知向量，若，则___________.
【答案】
【解析】由可得：，又因为，由可得：，
解得：.故答案为：.
11．在中，已知，与相交于，若，则______．
【答案】
【解析】因为，，所以，，
因为，所以又与交于点O，所以，
另一方面，设，因为，
所以，则，代入中，
可解得，则.故答案为：.
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则平行四边形法则
①交换律
②结合律
减法
求与的相反向量的和的运算叫做与的差
三角形法则
数乘
求实数与向量的积的运算
（1）
（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；
当时，