初中数学湘教版（2024）八年级下册（2024）1.4 三角形的中位线定理优秀同步训练题

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一、夯实基础
1．（2024八下·上思期中）如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线，若DE=3，则AC的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，且DE=3，
∴AC=2DE=6，
故选：A．
【分析】
根据三角形中位线的性质直接作答即可．
2．（2024八下·天河期中）如图，DE是△ABC的中位线，若BC=10，则DE的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=10，
∴DE=12BC=12×10=5．
故选：B．
【分析】根据三角形中位线定理可得DE=12BC进行求解即可．
3．（2025八下·东莞期中）如图，为了测量池塘边A、B两点之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得AC=AD，BC=BE．若测得DE=26m，则A，B间的距离为（ ）
A．13B．16C．18D．20
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AC=AD，BC=BE，
∴AB为△DCE的中位线，
∴AB=12DE=13m，
即A，B间的距离是13m，
故选：A．
【分析】先求出AB为△DCE的中位线，再根据三角形中位线定理计算求解即可。
4．（2025八下·义乌月考） 三角形的三条中位线的长分别为3cm，4cm，5cm，则原三角形的周长为（ ）
A．6.5cmB．24cmC．26cmD．52cm
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3+4+5）×2=24cm
因此原三角形的周长是24cm。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。
本题三角形的三条中位线的长分别为3cm，4cm，5cm，则对应的原三角形的边长分别是6cm、8cm、10cm，最后求和即可，综合列式为（3+4+5）×2=24cm。
5．（2025八下·南宁月考）如图，点D、E分别是AC，AB的中点，DE=3，则池塘的宽度BC为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=6，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
6．（2025八下·罗湖期末） 人字梯及其侧面如图所示，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=50cm，则B，C两点的距离为 cm.
【答案】100
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得AB=AC，
∵D，E分别是AB，AC的中点，DE=50cm，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=100cm，
故答案为： 100
【分析】根据题意得到AB=AC，再根据中点结合三角形中位线定理得到BC=2DE，代入数值即可求解。
7．（2025八下·浙江期中）如图，在▱ABCD中，AD⊥BD，AC=10，BD=6，点E,F分别平分线段OD,OA，则EF的长为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD⊥BD，
∴∠ODA=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AC=10，BD=6，
∴AO=CO=5，BO=DO=3，
∴AD=AO2−DO2=4，
∵点E,F分别平分线段OD,OA，
∴EF是△ADO的中位线，
∴EF=12AD=2．
故答案为：2．
【分析】
先由勾股定理求出AD，再利用三角形中位线定理计算即可．
8．（2024八下·福清期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，E为AB中点，连接CE交BD于点F，若F为BD中点，AD=4，CE=5，则BD= ．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵E、F分别为AB、BD的中点，AD=4，
∴EF=2，
∵CE=5，
∴CF=3，
又∵CF=12BD，
∴BD=6，
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线定理可得EF=2，根据边之间的关系可得CF=3，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
9．（2024八下·临洮期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，连接DE，DF，求证：四边形AEDF是平行四边形．
【答案】证明：∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即由D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，可得DE∥AF，DF∥AE，根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可求证．
10．（2025八下·娄底期中）在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF是平行四边形．
【答案】证明：∵∠ACB=90°，点E是AB的中点，
∴AE=BE=CE，
∴∠A=∠ACE.
∵∠CDF=∠A，
∴∠CDF=∠ACE，
∴CE∥DF，
∵点D为AC的中点，点E是AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴DE∥CF，
∴四边形DECF是平行四边形．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质和等边对等角可证得∠CDF=∠ACE，继而可得CE∥DF，再由三角形中位线定理证明DE∥CF，即可证明结论．
二、能力提升
11．（2025八上·攸县期中）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，则DE的长等于BC的（ ）
A．两倍B．一倍C．一半D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D是AB中点，E是AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC．
故选：C．
【分析】根据三角形的中位线求解．
12．（2024八下·昆明期中）如图，DE是△ABC的中位线，直角∠AFB的顶点在DE上，AB＝5，BC＝8，则EF的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，
∴DF＝12AB＝2.5，
∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴DE=12BC=4
∴EF＝4﹣2.5＝1.5，
故答案为：B．
【分析】
本题考查直角三角形的性质和三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题关键.
根据直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得：DF＝12AB=2.5，再利用三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得：DE=12BC=4，最后根据线段的和差运算可知：EF=DE-DF=1.5，由此可得出答案．
13．（2025八下·诸暨期末）如图，△ABC的面积为20cm2，点D，E，F分别是AC，AB，BC上的三个中点，则△DEF的面积是（ ）
A．10cm2B．5cm2C．15cm2D．20cm2
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是AC，AB，BC上的三个中点，
∴DE=12BC，EF=12AC，DF=12AB，BF=CF=12BC，AE=BE=12AB，AD=CD=12AC，
∴AE=EB=DF，AD=DC=EF，BF=FC=ED，
∴△AED≌△EBF≌△DFC≌△FDE(SSS)，
∴S△AED=S△EBF=S△DFC=S△FDE
∵S△AED+S△EBF+S△DFC+S△FDE=S△ABC=20cm2，
∴S△DEF=14S△ABC=14×20=5cm2．
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线性质和中点定义可得DE=12BC，EF=12AC，DF=12AB，BF=CF=12BC，AE=BE=12AB，AD=CD=12AC，从而可得AE=EB=DF，AD=DC=EF，BF=FC=ED，继而可利用SSS得到△AED≌△EBF≌△DFC≌△FDE，再利用全等三角形的性质可得S△AED=S△EBF=S△DFC=S△FDE，即可得出答案．
14．（2025八下·杭州期中）如图，四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AR，如图：
∵四边形ABCD中，R是CD中点，E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF是△APR的中位线，
∴EF=12AR，
由题意可知，线段AR的长度是定值，
∴线段EF的长度是定值，
∴线段EF的长不变，
故选：C．
【分析】
由三角形中位线定理知EF始终等于AR的一半．
15．（2024八下·海原期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于 米．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=4，
∵点E，F分别是BD，CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=12BC=2；
故答案为：2．
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD，然后根据三角形中位线定理解答即可．
16．（2024八下·江阴月考）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N，且AB=10,BC=15,MN=3，则△ABC的周长是 ．
【答案】41
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，
又∵AN=AN,∠ANB=∠ANE=90°，
∴△ABN≌△AEN，
∴AE=AB=10,BN=NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE=2MN=2×3=6，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=10+15+10+6=41．
故答案为：41．
【分析】延长线段BN交AC于E，根据ASA得到△ABN≌△AEN，即可得到BN=NE，然后根据中位线定理解答即可．
17．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形ABCD中，AB=8，BC=12，点P是BC边上的点，连接AP，以AP为对称轴作△ABP的轴对称图形△AQP，连接CQ、QD，当点P是线段BC的中点，且CQ=4时，则AP的长为 ．
【答案】2+42
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接AP，以AP为对称轴作△ABP的轴对称图形△AQP，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段BC的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得EB=PB2-PE2=42，EA=AB2-EB2=42，
∴AP的长为2+42，
故答案为：2+42
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到EB=PB2-PE2=42，EA=AB2-EB2=42，最后结合题意即可求解。
18．（2025八下·温州期末）如图，AC为四边形ABCD的对角线，已知AB∥CD，∠ACB=∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）E，F分别为AB，AC的中点，连结EF．若AD=6，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC．
∵AB∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形。
（2）解：∵E,F分别为AB,AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12BC．
∵四边形BECD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∴EF=12BC=3．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）首先根据“内错角相等、两直线平行”得到AD∥BC，然后结合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出结论；
（2）首先根据中位线的定义和特点，得出EF=12BC，然后结合（1）的结论以及平行四边形性质即可求出最后结果．
（1）证明：∵∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC．
∵AB∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）∵E,F分别为AB,AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12BC．
∵四边形BECD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∴EF=12BC=3．
19．（2025八下·泸县期末）如图，在▱ABCD中，点G、H分别是AB、CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD=10，AE+CF=EF，求EG的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵点G、H分别是AB、CD的中点，
∴AG=12AB，CH=12CD，
∴AG=CH，
在△AEG和△CFH中，
AG=CH∠EAG=∠FCHAE=CF，
∴△AEG≌△CFHSAS，
∴EG=FH，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴EG∥FH，
又∵EG=FH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD 交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD相交于点O，BD=10，
∴OB=12BD=5，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，
∵AE+CF=EF=2OE，
∴AE=OE，
∴点E是OA的中点，
∵点G是CD的中点，
∴EG是△AOB的中位线，
∴EG=12OB=2.5．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可证得∠BAC=∠DCA，利用SAS证明△AEG≌△CFH，可得EG=FH，∠AEG=∠CFH，进而可证明EG∥FH，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明结论；
（2）根据平行四边形对角线的性质可得OB=12BD=5，OA=OC，进而可证明AE=OE.证明EG是△AOB的中位线，即可求解．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵点G、H分别是AB、CD的中点，
∴AG=12AB，CH=12CD，
∴AG=CH，
在△AEG和△CFH中，
AG=CH∠EAG=∠FCHAE=CF，
∴△AEG≌△CFHSAS，
∴EG=FH，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴EG∥FH，
又∵EG=FH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=10，
∴OB=12BD=5，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，
∵AE+CF=EF，
∴AE=OE，
∴点E是OA的中点，
∵点G是CD的中点，
∴EG是△AOB的中位线，
∴EG=12OB=2.5．
三、拓展创新
20．（2024八下·金牛期末）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，AC=5，AD=1．
（1）求线段BE的长；
（2）如图2，连接DE，把线段DE绕点E逆时针旋转90°到FE，连接DF，取线段DF的中点G，连接BG，请判断线段AC与BG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点P是线段CD上一点，把线段PB绕点B逆时针旋转45°得到MB，连接DM，请直接写出线段DM的最小值．
【答案】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴CD=AC2−AD2=52−1=2，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=90°−∠ABC=90°−45°=45°，
∴BD=CD=2，
∴AB=AD+BD=2+1=3，
∵AE⊥BC，∠ABC=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AE=AB2=322，
∴线段BE的长为322；
（2）AC=2BG，理由如下：
连接BF，如图：
∵把线段DE绕点E逆时针旋转90°到FE，
∴DE=FE，∠DEF=90°=∠AEB，
∴∠AED=∠BEF，
∵AE=BE，
∴△AED≌△BEF（SAS），
∴∠EAD=∠EBF，AD=BF，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°=∠EBA，
∴∠EBF=45°，
∴∠DBF=∠EBA+∠EBF=90°，
∵G为DF的中点，
∴DF=2BG，
∵BD=CD，∠DBF=∠CDA=90°，BF=AD，
∴△DBF≌△CDA（SAS），
∴DF=AC，
∴AC=2BG；
（3）解：在BC上取一点H，使DB=BH，连接PH，如图：
∵∠CDB=90°，BD=CD=2，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD2+CD2=4+4=22，∠DBH=45°，CH=22−2
∵把线段PB绕点B逆时针旋转45°得到MB，
∴∠PBM=45°，PB=MB，
∴∠PBM=∠DBH=45°，
∴∠DBM=∠HBP，
∴△DBM≌△HBP，
∴DM=PH，
∴当PH最小时，DM最小，此时PH⊥CD，如图：
∴△PCH为等腰直角三角形，
∴PH=22CH=2−2，
∴DM的最小值为2−2．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用垂直的概念可证得∠ADC=∠BDC=90°，利用勾股定理求出CD的长；再证明∠ABC=∠DCB=45°，可推出BD=CD，可得到BD的长，根据AB=AD+BD，可求出AB的长；然后证明△ABE是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出BE的长.
（2）连接BF，利用旋转的性质可证得DE=FE，∠DEF=∠AEB=90°，可推出∠AED=∠BEF，利用SAS可证得△AED≌△BEF，利用全等三角形的性质可证得∠EAD=∠EBF，AD=BF，据此可证得∠DBF=90°；利用线段中点的定义可证得DF=2BG；利用SAS可证得△DBF≌△CDA，利用全等三角形的对应边相等，可证得DF=AC，据此可证得AC与BG的数量关系.
（3）在BC上取一点H，使DB=BH，连接PH，易证△BCD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC、CH的长，同时可证得∠DBH=45°；再证明∠DBM=∠HBP，可推出△DBM≌△HBP，利用全等三角形的性质可证得DM=PH；当PH最小时，DM最小，此时PH⊥CD，可证得△PCH是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PH的长，可得到DM的最小值.