湘教版（2024）八年级下册（2024）1.5 矩形精品复习练习题

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1．（2023八下·中山期末）下列选项中，矩形一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．邻边相等D．一条对角线平分一组对角
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，在A符合题意；
B、C、D均为菱形所具有的性质，
故答案为：A.
【分析】根据矩形对角线相等的性质，逐项分析即可.
2．（2025八下·惠阳期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．有三个角为直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形；
D．矩形的对角线相等且互相平分．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、“有三个角为直角的四边形是矩形”是真命题，则此项不符题意；
B、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题，则此项不符题意；
C、“对角线相等的平行四边形是矩形”，则原命题是假命题，此项符合题意；
D、“矩形的对角线相等且互相平分”是真命题，则此项不符题意；
故答案为：C．
【分析】根据矩形的判定与性质、平行四边形的判定逐项判断即可得．
3．（2024八下·镇海区期末）已知矩形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O， 则下列结论不一定正确的是 ( )
A．AC=BDB．OA=OBC．AC⊥BDD．∠ABC=∠BAD
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD为矩形
∴AC=BD，OA=OB，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
因此：A，B，D正确，C错误
故选C.
【分析】
依据矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分，可以判定A，B，D的正确性，对角线相等不是矩形的性质，因此C是错误的.
4．（2024八下·贺州期末）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若OB=5．则AC=（ ）
A．10B．8C．53D．5
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=2OB=10，
故答案为：A．
【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
5．（2024八下·曲靖期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，若∠AOB=60°,BD=63，则DC长为（ ）
A．43B．33C．6D．53
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴DO=CO=12BD=33，
∵∠AOB=∠COD=60°
∴△ODC为等边三角形．
∴DC=OD=33．
故选：B．
【分析】根据矩形性质可得DO=CO=12BD=33，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．（2024八下·防城港期末）如图，已知矩形ABCD中，OC=CD，则∠BOC度数为（ ）
A．80°B．100°C．120°D．140°
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∵OC=CD，
∴OC=OD=CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠BOC=120°；
故答案为：C.
【分析】先利用矩形性质及等量代换可得OC=OD=CD，再证出△OCD是等边三角形，利用等边三角形的性质可得∠COD=60°，最后利用角的运算求出∠BOC=120°即可.
7．（2025八下·东莞月考）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=2，∠ACB=30°，则BC的长度为 ．
【答案】23
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=2，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=4，
∴BC=AC2−AB2=42−22=23，
故答案为：23．
【分析】先由矩形的四个内角都是直角得∠ABC=90°，根据含30度角的直角三角形的性质得AC=2AB=4，再利用勾股定理求出BC的长即可．
8．（2024八下·莆田期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
9．（2024八下·忠县期中）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为 ．
【答案】10−1
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，AB=3，AD=1，
∴BC=AD=1,∠ABC=90°，
∴AC=BC2+AB2=12+32=10，
∴AM=AC=10，
∴点M表示的数为10−1，
故答案为：10−1．
【分析】根据矩形的性质得到BC=AD=1,∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2024八下·岳阳期中）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AC=13，则四边形ABOM的周长为 ．
【答案】20
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=5，AC=13，
∴AD=BC=AC2−AB2=132−52=12，CD=AB=5，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴OB=12AC=132，
∵M是AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线，AM=12AD=6，
∴OM=12CD=52，
∴四边形ABOM的周长为：AB+OM+AM+OB=5+52+6+132=20，
故答案为：20．
【分析】
由矩形的性质可知OB是Rt△ABC斜边AC上的中线，OM是△ACD的中位线，则OB可求，再利用勾股定理可求得AC的BC的长，再利用矩形的性质可分别求得AM、OM的长，则四边形ABOM的周长可求 ．
11．（2024八下·诸暨期中）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且BC=BE，∠ABE=40°，求∠ECD的度数．
【答案】解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∵∠ABE=40°，
∴∠AEB=90°−∠ABE=50°，
∵BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC=180°−50°2=65°，
∴∠DEC=180°－∠AEB－∠BEC=180°－50°－65°=65°，
∴∠ECD=90°−∠DEC=90°−65°=25°.
​​​​​
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据矩形的性质得∠ABC=∠BCD=90°，求得∠AEB和∠BEC的度数，利用平角的性质可得∠DEC的度数，再利用三角形两锐角互余的性质即可求得∠ECD的度数.
12．（2024八下·陆丰期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD=8，∠AOD=120°．求边AB的长．
【答案】解：∵∠AOD=120°∴∠AOB=180°−∠AOD=60°
∵四边形ABCD是矩形，BD=8
∴OA=OB=12BD=4
∴△AOB是等边三角形
∴AB=OA=OB=4．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】
首先根据给定的条件，利用矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，可以得到OA=OB=4。结合已知的∠AOD=120°，可以推导出∠AOB=60°。进而得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可以得到AB=OA=OB=4。
二、能力提升
13．（2025八下·岳阳期中）顺次连结任意四边形ABCD四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是 （ ）
A．矩形B．菱形
C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形
【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
设点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，
∵四边形EFGH是矩形，
∴HE⊥EF，
∵E、F、H分别是AB，BC，AD的中点，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴BD⊥AC，
∴原四边形一定是对角线互相垂直的四边形．
故答案为：D．
【分析】先根据矩形的性质得到HE⊥EF，再利用三角形中位线定理得到EH∥BD，EF∥AC，从而可得BD⊥AC，由此可得答案．
14．（2025八下·泸县期末）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E，AB=4,AD=8，则AE的长为（ ）
A．33B．3C．4D．5
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAC=∠ACE，
由折叠得，∠DAC=∠FAC，
∴∠ACE=∠FAC，
∴AE=CE，
设AE=CE=x，则BE=8−x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，AB=4，
∴42+8−x2=x2，
解得x=5，
∴AE=5，
故答案为：D．
【分析】利用矩形和折叠的性质可得∠ACE=∠FAC，即可得AE=CE，设AE=CE=x，则BE=8−x，再在Rt△ABE中利用勾股定理解答即可求解.
15．（2024八下·南昌期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（ ）
A．5B．52C．53D．10
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB=10，
∴BC=AC2−AB2=53；
故选：C．
【分析】此题主要对矩形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识进行考查。
因为四边形ABCD为矩形，所以角平分线互相平分且相等，可得到AO=BO=CO=DO，进而可证△AOB是等边三角形，所以∠BAC=60°，因此有∠ACB=30°，在Rt∆ABC中，根据勾股定理有BC=AC2−AB2=53．
16．（2023八下·丛台月考）如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得DE=BE，
设AE=xcm，则BE=DE=9−xcm，
由长方形的性质可得∠A=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+AE2=BE2，
∴x2+32=9−x2，
解得x=4，
∴AE=4cm，
∴S△ABE=12AB⋅AE=12×3×4=6cm2，
故答案为：C．
【分析】由折叠的性质可得DE=BE，设AE=xcm，则BE=DE=9−xcm，在Rt△ABE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
17．（2024八下·罗定月考）如图，矩形的对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=3，则BC的长是 ．
【答案】33
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴OA=OC=OB=OD，∠ABC=90°，
∵∠BOC=∠AOD=120°，
∴∠ACB=12180°−120°=30°，
∴AC=2AB=6，
∴BC=AC2−AB2=33；
故答案为：33．
【分析】利用矩形的性质可得OA=OC=OB=OD，∠ABC=90°，再利用角的运算求出∠ACB的度数，利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
18．（2025八下·岳阳期中）如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E为BC的中点．若AB=6，BC=8，则△AOE的周长为 ．
【答案】8+213
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，
∴AD=BC=8，CD=AB=6，∠BAD=90°，
∴BD=AB2+AD2=62+82=10，
∵点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E为BC的中点．
∴OE=12DC=3，AO=12BD=5，BE=12BC=4，
∴AE=AB2+BE2=62+42=213，
∴△AOE的周长为AO+OE+AE=5+3+213=8+213，
故答案为：8+213．
【分析】根据勾股定理求得BD，进而求得AO，根据中位线的性质求得OE，勾股定理求得AE，即可求解．
19．（2024八下·黔东南期末）在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点P处，连接BP，若AB=2，BC=3，则BP的最小值为 ．
【答案】13−3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵是四边形ABCD是矩形，BC=3，
∴∠A=90°，AD=BC=3，
∵将△AEF沿EF折叠，使点A落在点P处，
∴∠EPF=∠A=90°，BC=AD=FP=3，
∴当BP⊥EP，即点B，P，F三点共线时，BP的值最小，如下图：
此时点P在对角线BD上，
∵AB=2，
∴BD=AB2+AD2=22+32=13，
∴BP=BD−FP=13−3，
故答案为：13−3．
【分析】根据矩形的性质与折叠的性质得∠EPF=∠A=90°，BC=AD=FP=3，从而得当BP⊥EP，即点B，P，F三点共线时，BP的值最小，此时点P在对角线BD上，进而利用勾股定理求得BD=13，最后求出BP=BD−PF的值即可．
20．（2024八下·武威期中）在矩形ABCD中，取CD的中点E，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：AE=EF．
（2）已知AB=4，AF=6，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，E是CD的中点，
∴AD∥CF，DE=CE，
∴∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE=FE．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=90°,
∵AB=4，AF=6，
∴BF=AF2−AB2=62−42=25,
∵△ADE≌△FCE，
∴AD=FC，
∵AD=BC，
∴BF=2BC=25，
∴AD=BC=5.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用AAS证明△ADE≌△FCE，再根据全等三角形的性质可得AE=FE．
（2）根据及勾股定理得BF=AF2−AB2=25,再根据中点即可得解．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，E是CD的中点，
∴AD∥CF，DE=CE，
∴∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE=FE．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=90°,
∵AB=4，AF=6，
∴BF=AF2−AB2=62−42=25,
由（1）知△ADE≌△FCE，则AD=FC，
∵AD=BC，
∴BF=2BC=25，
∴AD=BC=5.
21．（2025八下·渌口月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．将矩形沿直线MN折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点M，交BC于点N．
（1）求证：△AMN是等腰三角形；
（2）求线段AN的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接AN，
由折叠可知∠ANM=∠CNM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AMN=∠CNM．
∴∠ANM=∠AMN，
∴△AMN是等腰三角形
（2）解：设AN=x，则CN=x，BN=8-x．
在Rt△ABN中，根据勾股定理可得AB2+BN2=AN2
即62+8−x2=x2
解得：x=254
所以AN的长为254
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）连接AN，根据矩形与折叠的性质可推出∠ANM=∠AMN，利用等腰三角形的性质，可证得结论.
（2）设AN=x，则CN=x，BN=8-x．在Rt△ABN中，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程，可求出x的值，可得到AN的长．
（1）证明：如图所示，连接AN，
由折叠可知∠ANM=∠CNM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AMN=∠CNM．
∴∠ANM=∠AMN，
∴△AMN是等腰三角形．
（2）解：设AN=x，则CN=x，BN=8-x．
在Rt△ABN中，根据勾股定理可得AB2+BN2=AN2
即62+8−x2=x2
解得：x=254
所以AN的长为254．
三、拓展创新
22．（2024八下·岳阳期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，延长CB至D，使得BD=CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
请你选择一位同学的说法，并进行证明．
【答案】证明：①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接BE，
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE=BD，
∵BD=CB，
∴AE=CB，
又∵AE∥BD，点D在CB的延长线上，
∴AE∥CB，
∴四边形AEBC是平行四边形，
又∵∠C=90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴BE⊥CD；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接CE，BE，
由①可知四边形AEBC是矩形，
∴CE=AB，
∵四边形AEDB是平行四边形，
∴DE=AB，
∴CE=DE．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】若选择小星的说法，连接EB，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得AE平行且等于DB，等量代换得AE平行且等于BC，则四边形ACBE是平行四边形，又∠C=90°，则由矩形的概念可得∠EBC等于90°，即BE⊥CD；
若选择小红的说法，连接CE，由小星的说法可知四边形ACBE是矩形，则对角线BA等于EC；又可证四边形ABDE是平行四边形，则对边DE等于AB，等量代换得CE等于DE．
23．（2024八下·宁波期末）如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD=2AB，点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG，EG，EG交BD于点 M．
（1）求证：BE⊥AO．
（2）求证：四边形BEFG为平行四边形．
（3）如图2，当▱ABCD为矩形时，若AB=4，求四边形BEFG的面积．
【答案】（1）解：∵▱ABCD，
∴AC，BD互相平分，
∴BD=2BO，
∵BD=2AB，
∴BO=AB，
∵点E为AO中点，
∴BE⊥AO；
（2）解：∵▱ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，
∴EF∥AD，EF=12AD，BG=12BC，
∴EF∥BG，EF=BG，
∴四边形BEFG是平行四边形；
（3）解：如图，过点E作EH⊥BG于点H，
∵矩形ABCD，AB=4，
∴BD=2AB=8，
∴OA=OB=12BD=4=AB，
∴AE=12OA=2，△ABO是等边三角形，
∴BE=AB2−AE2=42−22=23，∠ABO=60°，
∴∠ABE=30°，
∵AB⊥BC,EH⊥BC，
∴∠BEH=∠ABE=30°，
∴BH=12BE=3，
∴EH=BE2−BH2=3，
∵AD=BD2−AB2=82−42=43，
∴BG=EF=12AD=23，
∴四边形BEFG的面积=BG×EH=23×3=63．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质先证明BO=AB，再根据点E为AO中点可得结论；
（2）先根据三角形中位线定理可得EF∥AD，EF=12AD，再结合平行四边形的性质，证明EF∥BG，EF=BG，即可得出结论；
（3）先证明△ABO是等边三角形，求出EH=3，再利用勾股定理求出AD，得到BG的长，进而可计算四边形BEFG的面积．
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD．
小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE=DE．