人教版第二册下B空间向量表格教案

这是一份人教版第二册下B空间向量表格教案，共5页。
课程基本信息
学科
高中数学
年级
高二
学期
秋季
课题
1.2 空间向量基本定理
教科书
书 名：选择性必修第一册
出版社：人民教育出版社 .5月
教学目标
1.理解空间向量基本定理的意义.
2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示.
3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量.
4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角.
教学内容
1、教学重点
空间向量基本定理.
2、教学难点
对空间向量基本定理的理解与应用，空间向量基本定理的空间作图.
教学过程
一：温故知新
平面向量的基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，
有且只有一对实数，使.
平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
设计意图：通过平面向量基本定理与空间向量基本定理进行对比，让学生在原有的知识基础上加深对新知识的理解，在对比的过程中进行转化化归。
二．探究新知
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
如图所示，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则.又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得，从而.
而在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得.从而.
因此，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得.我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的分向量.
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？
类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理.
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来，进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便.
设计意图：从三个基向量相互垂直出发，步步深入，通过层层递进的几个追问，使学生体验到空间向量与平面向量的联系与区别，积累学生的基本活动经验，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.
三．典例分析
例1 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=12ON，AP=34AN,用向量OA , OB ,OC 表示OP.
分析：OA , OB ,OC 是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底OA,OB,OC，利用向量加法的三角形法则，OP可以用基底OA,OB,OC 表示出来.
解：OP=OA + AP=OA +34AN=OA+34ON−OA=OA +34ON−34OA=14OA+3413OB+13OC=14OA+14OB+14OC.
设计意图：理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量.
例2：如图 1.2-3,在平行六面体 中，,，分别为的中点，求证: .
证明：设, 这三个向量不共 面，构成空间的一个基底，
由已知，，
所以
所以.
设计意图：会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题.
例3如图1.2-4， 正方体的棱长为 1, 分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值.
解：（1）证明：设，则构成空间的一个单位正交基底.
所以，
所以，所以.
（2）因为
所以
所以与所成角的余弦值为.
设计意图：会用空间向量基本定理解决简单的求角问题.
课堂小结
空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，
存在唯一的有序实数组，使得.
【基底】
若三个向量不共面，则叫做空间的一个基底，都叫做基向量.
单位正交基底中的三个基向量两两垂直且为单位向量.
称为空间向量的正交分解.