人教版第二册下B空间向量练习

这是一份人教版第二册下B空间向量练习，共27页。试卷主要包含了在空间四边形中，，则等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
题型01 空间向量的加减数乘运算
题型02 空间向量基本定理
题型03 空间向量的数量积运算
题型04 共线问题
题型05 共面问题
题型06 平行、垂直的向量证明
题型07 线线角、线面角的向量求法
题型08 面面角的向量求法
题型09 点面、面面距离的向量求法
题型10 点线、线线距离的向量求法
题型11 轨迹问题的向量求法
题型12 探索性问题的向量求法
题型13 夹角最值问题的向量求法
\l "_Tc20184" 02 核心突破提升练
\l "_Tc5699" 03 真题溯源通关练

01 空间向量的加减数乘运算
1．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
2．在空间四边形中，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．在空间四边形中，分别是的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
02 空间向量基本定理
4．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．在三棱柱中，为棱上点并且设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（ ）
A．B．1C．2D．3
03 空间向量的数量积运算
8．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 .
9．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A．B．C．3D．
10．（多选）在平行六面体中，，，M为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
11．如图所示，四棱锥，底面是边长为4的正方形，棱底面，且分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ）
A．一定为锐角B．一定为直角
C．一定为钝角D．锐角､直角､钝角均有可能
12．如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 .
13．在三棱柱中，为的中点，则 .
04 共线问题
14．已知向量，，若，则 .
15．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 .
16．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)若、、三点共线，求实数的取值．
05 共面问题
17．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．0
18．已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ）
A．5B．4C．3D．2
19．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（ ）
A．B．C．D．
20．如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为 .
21．如图，在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且．
(1)证明：，，，四点共面．
06 平行、垂直的向量证明
22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点．
(1)证明：平面；
23．三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点．
(1)求证：平面；
24．在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点，，且平面.

(1)证明：平面平面；
25．在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，与平面所成角为，是的中点，点且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
07 线线角、线面角的向量求法
26．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
27．如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，M、N、P、D分别是、、、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线平面所成角的正弦值.
28．如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）.
(1)若，求直线与所成角的余弦值；
(2)若直线与平面所成角为45°，求实数的值.
29．如图，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，是线段PC上的一点．
(1)求证：平面平面PAC；
(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，求CG的长．
08 面面角的向量求法
30．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接.
(1)证明:⊥平面 ；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
31．图，四边形为正方形，平面平面，，点在线段上，．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
(3)求平面与平面的夹角的正弦值．
32．如图1，在平面多边形中，为直角三角形，，，．如图2，现将沿轴向上翻折到图中的处，此时，．
(1)证明：；
(2)证明：平面；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
33．在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，点在线段PD上，平面AEC.
(1)证明：为PD的中点；
(2)若，二面角的余弦值为，求PA的长.
09 点面、面面距离的向量求法
34．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点．
(1)若，证明：．
(2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值．
35．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求点到平面的距离.
36．在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，点E为线段的中点，点F为线段上的动点（不含端点）.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面的夹角为，求点P到平面的距离.
37．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
10 点线、线线距离的向量求法
38．在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为
39．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
40．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到直线的距离．
41．如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求异面直线与之间的距离．
11 轨迹问题的向量求法
42．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，点Q在底面正方形内运动，满足，则点Q的轨迹长度为（ ）．
A．B．C．D．
43．已知球的半径为，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为（ ）
A．B．C．D．
44．如图，已知圆柱的轴截面是矩形，点为上不同于的一点，点在上，且，动点满足，动点在上底面上，满足．
(1)证明：平面；
(2)①求动点的轨迹长度；
②当点为的中点时，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
12 探索性问题的向量求法
45．（多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（ ）
A．存在点，使
B．存在点，使点到直线的距离为
C．存在点，使直线与所成角的余弦值为
D．存在点，使点，到平面的距离之和为3
46．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且．
(1)记平面平面，证明：；
(2)求点到平面的距离；
(3)点为侧棱上一点，猜想：当为何值时，有平面，并证明你的猜想．
47．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点，
(1)求证：平面 ；
(2)求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由.
48．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)棱上是否存在点，它与点到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
49．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.

(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
13 夹角最值问题的向量求法
50．中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得．
(1)证明：；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值．
51．如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
(3)求直线与平面夹角正弦值的最大值．
52．如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为．
(1)求圆台的体积；
(2)设，分别是圆台的两条母线．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值．
53．在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为正方形.
(1)求证：平面；
(2)设的中点为且，.若为平面上的一点，且，求与平面所成角正弦值的最小值.

1．（多选）已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（ ）
A．若是棱的中点，则平面
B．点到直线的距离的最小值为
C．棱上存在点，使得
D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为
2．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值．
3．如图，四棱锥中，为正三角形，，，
为线段的中点．
(1)在平面内，过点作平面的平行线，并证明；
(2)若，证明：平面平面；
(3)若四点在以为半径的球面上，求四棱锥的体积．
4．（ 2025·甘肃白银·二模）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，以为棱将正方形折成如图所示，使得二面角的大小为，点在线段上且不与点重合.
(1)直线与由三点所确定的平面相交，交点为，若，求的长度，并求此时点到平面的距离；
(2)若，求平面与平面夹角的正弦值.
5．如图，在三棱台中，平面平面，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
6．（ 2025·北京海淀·三模）如图，在直角中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为．
(1)设平面与平面的交线为，请直接写出与直线的位置关系．
(2)若点为线段的靠近点的三等分点
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求与平面所成角的正弦值．
7．如图所示，六面体的底面是菱形，，且平面，平面与平面的交线为.
(1)证明：直线平面；
(2)已知，三棱锥的体积，若与平面所成角为，求的取值范围.
8．（ 2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，，分别为线段，上异于端点的一点，，将梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，得到多面体．
(1)若，证明：．
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
(3)求四面体的外接球的半径的最小值．
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（ ）
A．B．平面
C．D．平面
3．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
8．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．