2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题07 正余弦定理中的高频小题归类（2份，原卷版+解析版）

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【例题1-1】在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例题1-2】在锐角中，若，则的取值范围是______ .
【变式1-1】在中，D为边上一点，，若，则______．
【变式1-2】记的内角的对边分别为，已知的面积为S，且，则______．
【变式1-3】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB=∠MBA，则AMC的面积为_____________.
题型二：利用余弦定理边角互化
【例题2-1】设分别为内角的对边，若，且，则角________.
【例题2-2】中，，则最大值______．
【例题2-3】在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为___________.
【变式2-1】在中，，则（ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
【变式2-2】若△的边长成等差数列，且边a，c的等差中项为1，则的取值范围是________．
【变式2-3】在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若；则当角A最大时，的面积为______.
题型三：利用正余弦定理解三角形
【例题3-1】在中，内角，，所对的边分别为，，．点为的中点，，且的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例题3-2】在中，角，，所对的边分别为，，，，是的平分线，，，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．10
【例题3-3】在中，，，，是边上的一点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【变式3-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的最小值为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．36
题型四：利用正余弦定理判断三角形形状
【例题4-1】在中，角的对边分别为，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
【例题4-2】已知分别为三个内角的对边，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【例题4-3】已知内角､､所对的边分别为､､面积为，若，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
【变式4-1】在中，若，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【变式4-2】已知的三个内角所对应的边分别为，且满足，且，且的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形
【变式4-3】在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
题型五：三角形周长，面积问题
【例题5-1】钝角的内角，，的对边分别是，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．或
【例题5-2】在中，的平分线交于点D，，，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例题5-3】已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16 B． C．64 D．
【变式5-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的外接圆面积为，则的面积为（ ）
A．24 B．25 C．27 D．28
【变式5-2】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为，则 的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【变式5-3】若，则的最大值是（ ）
A． B． C．3 D．
【变式5-4】在中，已知为边上的一点，且满足，，的面积是面积的两倍，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型六：正余弦定理实际应用
【例题6-1】某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度.在过点的水平面上确定两观测点，在处测得的仰角为30°，在的北偏东60°方向上，在的正东方向30米处，在处测得在北偏西60°方向上，则（ ）
A．10米 B．12米 C．16米 D．18米
【例题6-2】我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面处垂直上升的无人机，对地面两受灾点的视角为，且．已知地面上三处受灾点共线，且，，则无人机到地面受灾点处的遥测距离PD的长度是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】雷峰塔又名黄妃塔､西关砖塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山（海拔46米）之上.是吴越国王钱俶为供奉佛螺髻发舍利､祈求国泰民安而建.始建于北宋太平兴国二年（977年），历代屡加重修.现存建筑以原雷峰塔为原型设计，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.李华同学为测量塔高，在西湖边相距的､两处（海拔均约16米）各放置一架垂直于地面高为米的测角仪､（如图所示）.在测角仪处测得两个数据：塔顶仰角及塔顶与观测仪点的视角在测角仪处测得塔顶与观测仪点的视角，李华根据以上数据能估计雷锋塔的高度约为（ ）（参考数据：，）
A．70.5 B．71 C．71.5 D．72
【变式6-2】如图甲，圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为40，如图乙，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶､教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（ ）
A．50 B．55 C．60 D．70
【变式6-3】如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得的仰角为，，，（单位：），（点在同一水平地面上），则大跳台最高高度（ ）
A． B． C． D．
专题07 正余弦定理中的高频小题归类 课后巩固练习
一、单选题
1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（ ）
A．20 B． C．27 D．
2．材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apllnius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知中，，则面积的最大值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．2
3．在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是内的一点，且，则的最小值是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
5．在钝角中，角对应的边分别为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_______.
8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为的重心，，，则________.
9．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.若，则面积的最大值为______