专题4-2 正余弦定理与解三角形小题归类1-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版）

这是一份专题4-2 正余弦定理与解三角形小题归类1-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版），共14页。试卷主要包含了热点题型归纳1，最新模考题组练12等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 解三角形基础：角与对边1
\l "_Tc26924" 【题型二】 判断三角形形状2
\l "_Tc12217" 【题型三】 最值与范围1：先判断角3
\l "_Tc30563" 【题型四】 最值与范围2：余弦定理3
\l "_Tc30563" 【题型五】 最值与范围3：辅助角4
\l "_Tc30563" 【题型六】 最值与范围4：均值不等式4
\l "_Tc30563" 【题型七】 最值与范围5：周长最值5
\l "_Tc30563" 【题型八】 面积最值1：消角6
\l "_Tc30563" 【题型九】 面积最值3：正切代换6
\l "_Tc30563" 【题型十】 最值与范围6：建系设点7
\l "_Tc30563" 【题型十一】 最值与范围7：求正切的最值范围8
\l "_Tc30563" 【题型十二】 图形1：中线8
\l "_Tc30563" 【题型十三】 图形2: 角平分线9
\l "_Tc30563" 【题型十四】 图形3：高10
\l "_Tc30563" 【题型十五】 图形4：四边形11
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练12
【题型一】解三角形基础：角与对边
【典例分析】
的内角的对边分别为，若(sinB+sinC)2−sin2(B+C)=3sinBsinC，且，则的面积的最大值是
A．B．C．D．4
【提分秘籍】
基本规律
1.角与角所对应的边长已知
2.一般情况下，对称型多用余弦定理。
3.通法为“正弦定理与外接圆半径代换”
【变式演练】
1.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.在中，角的对边分别是，且.若，则面积的最大值为
A．B．C．D．
3.设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
【题型二】 判断三角形形状
【典例分析】
已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦定理恒等变形：化边或者化角
2.判断边或者角的大小。
【变式演练】
1.在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3.已知的三边长分别为，，，若存在角使得：则的形状为
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都不对
【题型三】 最值与范围1：先判断角
【典例分析】
锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
每个角都要判断。如锐角三角形，则三个角都要转化判断。
【变式演练】
1.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.在锐角中，A=2B，则ABAC的取值范围是
A．−1,3B．1,3
C．(2,3)D．1,2
3.锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sinA(acsC+ccsA)=3a，则cb的取值范围是（ ）
A．(12,2)B．(33,233)C．(1,2)D．(32,1)
【题型四】 最值与范围2：余弦定理
【典例分析】
在中，内角的对边分别为，若的面积为18c2，则ab+ba的最大值为
A．2B．4C．25D．
【提分秘籍】
基本规律
1.余弦定理两种基本形式：（1）；（2）
2.一般情况下，边的平方形式，可能就是余弦定理的变形。需要通过构造与问题相关的形式和条件
【变式演练】
1.在中，内角，，所对的边分别为，，，且sinA=2sinBsinC，则cb+bc取得最大值时，内角的值为
A．B．π4C．D．
2.满足条件的三角形的面积的最大值是
A．B．C．D．
3.,则的最大面积为
A．3B．C．2D．无法确定
【题型五】 最值与范围3：辅助角
【典例分析】
在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦齐次式（同角一次式）
2.引入变量，构造辅助角，借助正余弦有界性求解
【变式演练】
1.若面积为1的满足，则边的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
2.在中，角的对边分别为，的面积为，已知，，则的值为
A．B．C．D．
【题型六】 最值与范围4：均值不等式
【典例分析】
锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．(）B．(）
C．[)D．[，1)
【提分秘籍】
基本规律
1.余弦定理形式可以用均值。一般式对称构造
2.其他形式中边的关系可以用均值
【变式演练】
1.在中，角、、的对边分别为、、，已知且，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
2.在锐角中，角，，的对边分别为，，(a>b>c)，已知不等式1a−b+1b−c≥ta−c恒成立，则当实数t取得最大值T时，TcsB的取值范围是
A．0,125B．2,125C．[2,23]D．(2,4)
3.已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型七】最值与范围5：周长最值
【典例分析】
已知锐角的内角所对的边分别为，且，的面积为2，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.角与对边型：正弦定理
2.对称边，可以余弦定理+均值不等式
【变式演练】
1.在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.在中，角所对的边分别为，若sinA+cs(A+π6)=32，b+c=4，则周长的取值范围是
A．[6,8)B．[6,8]C．[4,6)D．(4,6]
3..在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型八】 面积1:消角
【典例分析】
在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.已知或者求出一角，则可以利用另外俩角和定值来消角
2.广义消角：已知或者求得一角（非特殊角）三角函数值，可以利用两角和的正余弦来“消角”
【变式演练】
1.设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.在中，角，，的对边分别为，，，且，的外接圆半径为，若有最大值，则实数的取值范围是_______________________．
3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________．
【题型九】 面积2：正切代换
【典例分析】
在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）．A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦齐次式，可以正切代换
2.万能公式形式也可以正切代换
【变式演练】
1.在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型十】 最值与范围6：建系设点
【典例分析】
已知边长为的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.满足圆锥曲线定义，特别是“阿波罗尼斯圆”，可以适当的建系设点
2.利用正余弦平方形式可以建系设点
3.具有几何意义特征，如垂直，距离，斜率等。可以适当的建系设点
【变式演练】
1.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
2.在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______
3.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点, 分别在轴和轴非负半轴上,点在第一象限,且∠BAC=90°, AB=AC=4,那么, 两点间距离的
A．最大值是42,最小值是4B．最大值是8,最小值是4
C．最大值是42,最小值是D．最大值是8,最小值是
【题型十一】 最值与范围7：求正切的最值范围
【典例分析】
在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
解三角形题。对含有正切函数求最值范围，属于较难题型，一般从以下几方面分析：
1.切化弦
2.在三角形中，有
【变式演练】
1.在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
2.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcsC=3b2，则的最小值是_______．
3.已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型十二】 图形1：中线
【典例分析】
以为底边的等腰三角形中，腰边上的中线长为9，当面积取最大时，腰长为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
【提分秘籍】
基本规律
1.中线可分三角形得两个三角形，分别运用余弦定理
2.中线可延伸补形得平行四边形
【变式演练】
1.已知△ABC为锐角三角形，D，E分别为AB、AC的中点，且CD丄BE，则csA的取值范围是
A．B．C．[D．
2.如图，在中，，，为中线，过点作于点，延长交于点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3.在中，，分别是边，的中点，与交于点，若，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【题型十三】 图形2：角平分线
【典例分析】
在中，的平分线交于点，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.角平分线，可以借助面积“和”构造等量关系
2.角平分线也是两边的“对称轴”
3.三角形角平分线定理可以直接在小题中使用
【变式演练】
1.如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若，则的面积为（ ）
A．4B．C．6D．
2.如图所示，在，已知∠A:∠B=1:2，角的平分线把三角形面积分为3:2两部分，则csA等于
A．13B．C．34D．0
3.在中，，M为边上的一点，且BM=2，若BM为的角平分线，则2AM−1CM 的取值范围为
A．−32,3B．−32,3
C．−12,3D．−12,3
【题型十四】 图形3：高
【典例分析】
.△ABC中，BD是AC边上的高，A=，csB=-，则=（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.一般给高，基本就与求面积联系起来
2.高也可以分开构造直角三角形，得出对应的三角函数值
【变式演练】
1.已知的面积等于1，若，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，______
2.在中，内角的对边分别是，且边上的高为，若，则当取最小值时，内角的大小为（ ）
A．B．
C．D．
【题型十五】 图形4：四边形
【典例分析】
在平面四边形中，，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.四边形可以“劈成”俩三角形。
2.四边形可以“补成”三角形
【变式演练】
1.在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（ ）
A．27B．16C．10D．25
2.在平面内，四边形ABCD的与互补，，则四边形ABCD面积的最大值=（ ）
A．B．C．D．
3.凸四边形就是没有角度数大于的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为
A．3B．4C．D．
1. 锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.( 河南省开封市五县2021-2022学年上学期期中联考数学试题)已知的三个内角所对的边分别为，满足cs2A−cs2B+cs2C=1+sinAsinC，且sinA+sinC=1，则的形状为
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．顶角为150∘的等腰三角形D．顶角为120∘的等腰三角形
3.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若，则的取值范围为
A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．D．

4.已知的内角对的边分别为，，当内角最大时，的面积等于 ( )
A．B．C．D．

5.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．

6.在中，角对应的边分别是，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．

7.( 安徽省六安市第二中学2022届高三上学期第三次月考数学试题)在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.
8.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（ ）
A．B．2C．1D．
9.( 甘肃省兰州第一中学2021-2022学年上学期数学试题)在中,B=30∘,BC=3,AB=23,点在边上,点B,C关于直线的对称点分别为B',C',则ΔBB'C'的面积的最大值为
A．9−332B．637C．937D．332
10..在中，分别是角的对边，若，则的值为（ ）
A．2018B．1C．0D．2019
11.( 江西省万安中学2021-2022学年学期开学考试数学（理）试题)如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则（ ）
A．B．C．D．
12.在中，，边上的高等于，则
A．B．C．D．

13.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于180°的四边形，在平面凸四边形中，∠A=30°，∠B=135°，AB=3，AD=2，设CD=t，则t的取值范围是（ ）
A．1,3+3B．1,3+3C．22,3+1D．22,3+1