2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题05 利用导函数解决恒（能）成立问题（2份，原卷版+解析版）

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【例题1-1】若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，，则，令，若时，
若时，，所以可知函数在递减，在递增，所以
由对任意的实数恒成立，所以故选：A
【例题1-2】设是定义在上的连续函数的导函数，且.当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则.因为，，所以恒成立.则函数在上单调递增.当时，，不等式可化为，即恒成立.又函数在上单调递增，所以不等式在上恒成立，
所以在上恒成立.令，则.令，得.
当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递減.所以，所以，故所求实数的取值范固为.故选:A.
【提分秘籍】
①若)对恒成立，则只需；
②若对恒成立，则只需．
③，使得能成立；
④，使得能成立．
【变式1-1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得：在上恒成立，整理可得：，
函数在上递减，所以，所以，故选：C.
【变式1-2】若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为________
【答案】
【详解】，，令，，求导得：，
当时，当时，，即函数在上递减，在上递增，
因此当时，，则，所以实数的取值范围为.故答案为：
【变式1-3】已知函数，．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：当时，，所以，，所以，故所求切线方程为．
（2）解：因为在上恒成立，令，，则，令，则，所以在上单调递减，因为，，由零点存在定理知，存在唯一，使，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，从而．
题型二：分类讨论法
【例题2-1】已知函数的图像在处的切线与直线垂直．
(1)求的解析式；
(2)若在内有两个零点，求的取值范围；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值．
【答案】(1)；(2)；(3)3
【详解】（1），则，
∵函数的图像在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直，
∴，即，解得，∴ ；
（2）由（1）得，则，
则，由得x＝1，由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，∴当时，取得极小值也是最小值，
要使在内有两个零点，只需满足，即，解得，
故实数的取值范围为；
（3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立，
①当时，，显然成立，此时；
②当时， 恒成立，令，则，
∵x＞0，∴恒成立，由得，由得，由得0＜x＜1，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当x＝1时，取得极小值也是最小值，且，∴；
③当时， 恒成立，令，此时m（x）＜0，
由②得（），令，
，∴在上单调递增，又，
由零点存在定理得存在，使得，有，
即，由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得极大值也是最大值，且＝，∴，
综上所述，实数k的取值范围为，∴实数k的最大值为3．
【提分秘籍】
①首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等；
②从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值或最值；
③得出结论.
【变式2-1】已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)递增区间为，递减区间为；(2).
【详解】（1）易知函数的定义域为．当时，，∴
令，得；令，得
∴函数的单调递增区间为，的单调递减区间为．
（2），
①当时，恒成立，在上单调递增，∴此时 ，
②当，令，得；令，得 ，
∴在上单调递增，在上单调递减，∴．
∵，，，∴此时
③当，恒成立，在上单调递减．∴此时，令，得.
要使，，只需在的最大值点，综上，实数a的取值范围为
【变式2-2】已知函数，.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若存在，当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为；（2）.
【详解】（1）函数的定义域为，令，解得.
所以函数的单调递减区间为.
（2）由（1）可知，当时，，
所以当时，.即不存在满足题意；
当时，由，得，
对于，有，所以不存在满足题意；
当时，令则，
令，得，
当时，，所以在内单调递增，
此时，即，所以存在满足题意
综上，实数的取值范围是.
题型三：同构法
【例题3-1】已知.
(1)当时，求的单调性；
(2)若恒大于0，求的取值范围.
【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为(2)
【详解】（1）当时，.
，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，的单调减区间为，单调增区间为；
（2）要使有意义，则，且，恒大于0，即恒成立，
则，可得，
因为函数为增函数，所以，即，
令，则，当时，单调递增，
当时，单调递减，的最大值为，可得，则.
所以的取值范围是.
【例题3-2】已知，.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1），即，，
设，，，
时，，递增，时，，递减，所以，
恒成立，则；
（2）不等式即为
设，显然此函数在定义域内是增函数，
所以在时恒成立，在时恒成立，设（），则，
时，，递增，时，，递减，所以，所以．
【提分秘籍】
①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是
相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．
②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等.
③与为常见同构式：，；与为常见同构式：，.
【变式3-1】已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)
【详解】（1）当时，，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
则，即．所以当时，
所以
由所以当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）．令，则，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
故．令，则等价于．
因为，所以等价于．令，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，则．
故k的取值范围为．
题型四：最值定位法解决双参不等式问题
【例题4-1】已知函数若对,使得成立,则实数的最小值是
A．B．C．2D．3
【答案】C
【详解】 由题意，对于，使得成立，可转化为对于，使得成立，又由，可得，
当时，，所以函数单调递增，当时，，所以函数单调递减，
所以当时，函数有最大值，最大值为，又由二次函数，开口向上，且对称轴的方程为，
①当，即时，此时函数，令，解得（不符合题意，舍去）；
②当，即时，此时函数，令，解得，（符合题意），
综上所述，实数的最小值为，故选C．
【例题4-2】已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】对任意都存在使成立，所以得到，
而，所以，即存在，使，此时，，所以，
因此将问题转化为存在，使成立，设，则，，
当，，单调递增，所以，即，所以，
所以实数的取值范围是.故答案为：.
【例题4-3】已知函数，.
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)
(1)解：，则，其中，
由题意可得，即，解得．
(2)解：函数的定义域为，则.
①当时，对任意的，，由，可得；由，可得，
此时函数的增区间为，减区间为；
②当时，则，由可得；由可得或.
此时函数的减区间为，增区间为、；
③当时，对任意的，且不恒为零，此时函数的增区间为，无减区间；
④当时，则，由可得；由可得或.
此时函数的减区间为，增区间为、.
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
(3)解：对任意，均存在，使得，所以，当时，有．
在的最大值．
由（2）知：①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，此时；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故，
由，知，所以，，则，则.
综上所述的取值范围是．
【提分秘籍】
最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
【变式4-1】设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】C
【详解】对，都，使得不等式成立，等价于,
当时，，所以，当时，，所以，
所以恒成立，当且仅当时，，所以对，恒成立，即，
当，成立，当时，恒成立.记,
因为恒成立，所以在上单调递增，且，
所以恒成立，即所以.所以的最大值为1.故选：C.
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
（5）若，，有，则的值域是值域的子集．
【变式4-2】已知函数，，若任意，存在，使，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】解：∵ ，，，∴在上单调递增，
；根据题意可知存在，使得.即能成立，
令，则要使在能成立，只需使，又在上恒成立，则函数在上单调递减，，
，即实数的取值范围是.故答案为：
【变式4-3】已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】，当，单调递减，
当，单调递增，所以，，当
存在，使得成立，只需即可，所以的取值范围为：
故答案为：
【变式4-4】已知，，若，使得成立，则实数的最小值是_________．
【答案】
【详解】因为，使得成立，等价于，，当时，，递减，当时，，递增，所以当时，取得最小值；因为，所以当时，取得最大值为，所以，即实数a的取值范围是．所以实数的最小值是.故答案为：.
专题05 利用导函数解决恒（能）成立问题 课后巩固练习
一、单选题
1．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在恒成立.当，记， 所以在单调递增，， 故 故，所以 ，故选：C
2．若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为不等式，对恒成立，当时，显然成立，
当，恒成立，令，则，
令，则在上成立，所以在上递减，则，
所以在上成立，所以在上递减，所以，所以，故选：A
3．已知，若∃，使，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意可得不等式在内有解，设，，则，
由，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以，所以.故选：A.
4．若函数与满足：存在实数，使得，则称函数为的“友导”函数．已知函数为函数的“友导”函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，则∵存在实数，使得，即
则构建，则令，则或（舍去）
在单调递减，在上单调递增，则即故选：D．
5．已知，若对任意的恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．eB．C．D．
【答案】B
【详解】依题意，，而，则，设，则原不等式等价于，又，即在上单调递增，于是得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，设，求导得，当时，，当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，则，所以实数a的最小值为.故选：B
6．已知当，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得，即，
即，设，则，
又函数在上单调递增，则，，
设
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，，则，实数的取值范围为．故选：B．
7．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，使得成立，等价为使得成立，
由得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，，故在成立，
当时，，设，，则，
由，得，
所以在递减，所以，
则在递减，所以，则，所以．故选：A
二、解答题
8．已知f（x）＝．
（1）曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为0，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜x2在（1，＋）恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）．
【详解】（1）的定义域为，求导可得，
由得，，
令得；令得，所以的增区间为，减区间为．
（2）由题意：，即，恒成立．
令，则，令，则，
在上单调递增，又，∴当时，，
在上单调递增，所以，∴当时，恒成立，
∴a的取值范围为．
9．已知函数，．
（1）求的最大值与最小值；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）的最大值为，最小值为；（2）.
【详解】：（1）因为函数f（x）=﹣lnx，所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，
因为x∈[1，3]，当1＜x＜2时 f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，
∴f（x）在x=2处取得极小值f（2）=﹣ln2；
又f（1）=，f（3）=，∵ln3＞1∴
∴f（1）＞f（3），∴x=1时 f（x）的最大值为，x=2时函数取得最小值为﹣ln2．
（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f（x），故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣At恒成立，
只要4﹣At＞对任意t∈[0，2]恒成立，即At恒成立，记 g（t）=At，t∈[0，2]
∴，解得A，∴实数A的取值范围是（﹣∞，）．