专题4-2 正余弦定理与解三角形小题归类1-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

这是一份专题4-2 正余弦定理与解三角形小题归类1-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版），共41页。试卷主要包含了热点题型归纳1，最新模考题组练34等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 解三角形基础：角与对边1
\l "_Tc26924" 【题型二】 判断三角形形状3
\l "_Tc12217" 【题型三】 最值与范围1：先判断角5
\l "_Tc30563" 【题型四】 最值与范围2：余弦定理7
\l "_Tc30563" 【题型五】 最值与范围3：辅助角8
\l "_Tc30563" 【题型六】 最值与范围4：均值不等式10
\l "_Tc30563" 【题型七】 最值与范围5：周长最值12
\l "_Tc30563" 【题型八】 面积最值1：消角13
\l "_Tc30563" 【题型九】 面积最值3：正切代换16
\l "_Tc30563" 【题型十】 最值与范围6：建系设点18
\l "_Tc30563" 【题型十一】 最值与范围7：求正切的最值范围22
\l "_Tc30563" 【题型十二】 图形1：中线24
\l "_Tc30563" 【题型十三】 图形2: 角平分线27
\l "_Tc30563" 【题型十四】 图形3：高29
\l "_Tc30563" 【题型十五】 图形4：四边形31
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练34
【题型一】解三角形基础：角与对边
【典例分析】
的内角的对边分别为，若(sinB+sinC)2−sin2(B+C)=3sinBsinC，且，则的面积的最大值是
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】由sinB+sinC2−sin2B+C=3sinBsinC，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，再由正弦定理可得a2+b2−c2=bc，从而由余弦定理求得csA=12，再利用基本不等式可得bc≤4，由三角形面积公式可得结果.
【详解】
∵sinB+C=sinA，且sinB+sinC2−sin2B+C=3sinBsinC，
∴sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，由正弦定理可得a2+b2−c2=bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=12，sinA=32，又∵a=2,∴4=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，即bc≤4，
∴SΔABC=12bc×sinA≤12×4×32=3，即ΔABC最大面积为3，故选B.
【提分秘籍】
基本规律
1.角与角所对应的边长已知
2.一般情况下，对称型多用余弦定理。
3.通法为“正弦定理与外接圆半径代换”
【变式演练】
1.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
【详解】由题知，
即由正弦定理化简得
即故选：.
2.在中，角的对边分别是，且.若，则面积的最大值为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件，结合三角形内角性质得，进而可得角B，应用正弦定理有，根据三角形面积公式、三角恒等变换得，即可求面积的最大值.
【详解】由，得，
∴，又，∴，即，又，
∴，又，∴.
，
由，有，则，
，即面积的最大值是.故选：A.
3.设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
【答案】D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为，由正弦定理可得，
则有，由的内角为锐角，可得，
，
由余弦定理可得因此有
故选：D.
【题型二】 判断三角形形状
【典例分析】
已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.
【详解】由余弦定理，可得，
整理，得，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A
【提分秘籍】
基本规律
1.正余弦定理恒等变形：化边或者化角
2.判断边或者角的大小。
【变式演练】
1.在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【解析】原式可化为，然后利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，得出，，的关系.
解：由得：，且，
∴，且，
∴，
∴，
化简整理得：，即，
∴或，又，∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.故选：C.
2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】对A,由两边之和大于第三边可得，再进一步用不等式的性质即可判断；
对B，由余弦定理可知，再用正弦定理可知，进一步化简可得B,C的关系，进而可以得到a,b的关系；
对C，结合B代特值即可判断；
对D，结合B，可以得到A,B的关系，进而可以判断.
【详解】
因为，所以，故A正确；
由余弦定理得，，所以，
由正弦定理得，，所以，即，
所以，所以或，
因为，若，可得，所以，
又，所以，此时，，满足，故B正确；
当，时，，故C错误；
由B选项可知，故，即，故D错误．
故选：AB.
3.已知的三边长分别为，，，若存在角使得：则的形状为
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都不对
【答案】A
【分析】
由三角函数的有界性得：>,
由三角形的性质可得，设，再结合余弦定理可得>0,即可得解.
【详解】
解：因为存在角使得：则>,
即三边长也可构成一个三角形，不妨假设，由两边之和大于第三边可得：，
即，在中，C最大，由余弦定理>0,
即C为锐角，即为锐角三角形，故选A.
【题型三】 最值与范围1：先判断角
【典例分析】
锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由，可得，由正弦定理转化为角的关系可以得到，由此推出，又为锐角三角形，可求出，将都用角A表示可以得到，且，当取最大值时利用可求得的范围.
解：因为，，所以，
可得：，即，
因为为锐角三角形，则有，即，解得：.
= ，
当时，原式有最大值，此时，
则，，，即，所以.
故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
每个角都要判断。如锐角三角形，则三个角都要转化判断。
【变式演练】
1.已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且， 则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
利用正弦定理化简已知条件，由此求得进而求得的大小.根据三角恒等变换化简，由此求得取值范围.
【详解】依题意，由正弦定理得，所以，
由于三角形是锐角三角形，所以.由.
所以，
由于，所以，所以.故选：C
2.在锐角中，A=2B，则ABAC的取值范围是
A．−1,3B．1,3
C．(2,3)D．1,2
【答案】D
【分析】根据在锐角中，每个角都是锐角确定的范围，利用正弦定理以及三倍角的正弦公式，化简表达式，求出范围即可.
【详解】在锐角中，{0