2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题10 圆锥曲线（选填）（2份，原卷版+解析版）

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【例题1-1】已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，作图如下：
易知，则，即，故点的轨迹是以为焦点且长轴长为6的椭圆，设其方程为，则，则，故，则椭圆方程为：.故选：C.
【例题1-2】已知点是抛物线上的动点，焦点为，点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】∵，则，∴焦点，准线l方程，点在抛物线上方，设过A作l的垂线，垂足为E，∴由抛物线的定义知，，如图所示，
∴，当且仅当B、A、E三点共线时取等号，当B、A、E三点共线时，，故的最小值为，故选：C.
【例题1-3】已知直线：，抛物线上一动点到直线的距离为，则的最小值是______．
【答案】1
【详解】抛物线，抛物线的准线为，焦点，过点作直线的垂线交于点，如图所示：
由抛物线的定义可知，，则，
当，，三点共线时，取得最小值，即取得最小值，
． 故答案为：
【提分秘籍】
①平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常
这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）
叫作椭圆的焦距.
②一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数
()的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
③抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距
离相等的点()的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
【变式1-1】已知双曲线上一点P到焦点的距离为9，则它到另一个焦点的距离为（ ）
A．15 B．5 C．3或5 D．3或15
【答案】D
【详解】由双曲线的定义可知，而，所以，或，由，双曲线上的点到焦点的距离最小值为，显然 和都符合题意，故选：D
【变式1-2】点M在椭圆上，是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是中点，且ON长度是4，则的长度是__________．
【答案】
【详解】设椭圆右焦点为，连接由已知得，则因为N是中点，为的中点，
，再根据椭圆定义得故答案为：.
【变式1-3】已知双曲线的左右两个焦点分别是，双曲线上一点满足，则_____．
【答案】
【详解】在双曲线中，，，，因为，
所以点只能在左支上，则，得，故答案为：18
题型二：椭圆、双曲线离心率问题
【例题2-1】设椭圆的左、右焦点分别为，，点，在上（位于第一象限），且点，关于原点对称，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意作图，由于，并且线段MN，互相平分，
∴四边形是矩形，其中，，设，则，根据勾股定理，，，整理得，由于点M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得．故选：C．
【例题2-2】已知双曲线的左右焦点分别为，是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，三角形的内切圆在边上的切点为，双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】假设直线，与圆的切点分别为，，由对称性可知，容易得，，，因为点在双曲线的右支，由双曲线的定义得，所以，
又因为双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，设一条准线为：，则焦点到准线距离，所以，所以双曲线的离心率为，故选：A ．
【例题2-3】设椭圆：的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，
四边形为平行四边形，又，即，所以平行四边形为矩形，所以，设，， 在直角中，，，
得，所以，令，得，又由，得，
所以，所以 ，即，所以，所以离心率最大值为.故选：D
【提分秘籍】
①直接法：若已知条件可直接利用求解.
②构造齐次式：根据已知条件，可以通过几何法或者代数法，建立齐次方程（不等式），再同除以（或），构造关于的方程（不等式）进行求解。
【变式2-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为(-c，0)，(c，0)，若椭圆C上存在一点M使得的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】的面积为.因为的内切圆半径为，所以的面积可表示为.所以，所以.因为，所以.两边平方得：，而，所以，整理得：,因为离心率，所以，解得：.故选：A.
【变式2-2】已知双曲线：的右焦点为，点，若双曲线的左支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设双曲线左焦点为，因为点在双曲线左支上，所以有，即.由已知得，存在点，使得，即，显然，所以.又，即当点位于图中位置时，等号成立，所以，又，所以，整理可得，，解得或（舍去），所以，则，则，所以，所以.故选：C.
【变式2-3】双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，若，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2或3 B．3 C．3或 D．2或
【答案】A
【详解】设，则，因为点P在双曲线C的右支上，所以，所以，则，由，
由正弦定理和余弦定理，可得：或，故选：A
题型三：椭圆、双曲线中焦点三角形面积问题
【例题3-1】已知、是椭圆 的左右焦点，点是椭圆上的一点，若，则____．
【答案】
【详解】解：由题知，所以，因为点是椭圆上的一点，若，
所以，因为，所以中， 所以，
所以故答案为：
【例题3-2】已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为________
【答案】
【详解】由题意，由双曲线定义可知，，
又
又，
又故双曲线的实轴长为故答案为：.
【提分秘籍】
椭圆，双曲线焦点三角形面积公式常涉及到的公式有：
①椭圆，双曲线定义
②
③余弦定理：
④基本不等式：
【变式3-1】若P是上的一点，是其焦点，若，则的面积为________．
【答案】
【详解】根据椭圆的定义有①，，根据余弦定理得，②结合①②解得，所以的面积，故答案为：
【变式3-2】已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为___________.
【答案】
【详解】由题意，故为直角三角形，
又，
又为直角三角形，故
即故答案为：
【变式3-3】已知，分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线C上一点，若的周长为，则的面积为______．
【答案】60
【详解】由题可知，则．根据对称性，不妨设P在双曲线C的右支上，
则，解得，．在中，由余弦定理知，，因为所以，
则的面积为．故答案为：60
题型四：椭圆、双曲线中焦点三角形的其它问题
【例题4-1】已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，.过且垂直于的直线与交于两点，则的周长为.________.
【答案】
【详解】由，得，，，解得，，因为椭圆的上顶点为，两个焦点为，，所以，所以，即为等边三角形，因为过且垂直于的直线与交于两点，所以由椭圆的定义可知，，,所以的周长为.故答案为：
【例题4-2】已知双曲线的离心率为2，的左右焦点分别为，，点在的右支上，的中点在圆上，其中为半焦距，则______．
【答案】
【详解】解：如图所示：
连接，则是的中位线， 又因为，所以，由双曲线的定义可得，
又因为双曲线的离心率为2，所以，所以，在中，由余弦定理可得：.故答案为：
【提分秘籍】
椭圆，双曲线焦点三角形面积公式常涉及到的公式有：
①椭圆，双曲线定义
②
③余弦定理：
④基本不等式：
【变式4-1】已知椭圆的左右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，则的周长为______．
【答案】
【详解】解：根据椭圆的定义，，∴的周长为，∵，∴的周长为.故答案为：.
【变式4-2】如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_______．
【答案】
【详解】如图，连接.设（），则.因为，，所以，.在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．
故答案为：-2.
【变式4-3】在平面直角坐标系xOy中，已知为双曲线的左、右焦点，为C的左、右顶点，P为C左支上一点，若PO平分，直线与的斜率分别为，且，则C的离心率等于_______．
【答案】2
【详解】如图所示：，，
易知：，而，又，所以有，过点作轴，垂足为，因为，所以和关于对称，
即有，，又因为，解得：，，，
设直线的倾斜角为，则，，所以在Rt中，，即，
化简得：，即离心率.故答案为：2
题型五：抛物线上点与定点距离最值
【例题5-1】设定点，抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，若的最小值为，则实数的值为__________
【答案】或
【详解】①若在抛物线内部，如下图，
过作垂直准线，由抛物线的定义有，，所以当，，三点共线时， 最小，
因为准线方程为，所以，解得；若在抛物线的外部，则当，，共线，且在，之间时，最小，，
则的最小值为，解得或，由于时，在抛物线的内部，所以舍去，综上，或．故答案为：或．
【例题5-2】已知抛物线的焦点是，点，若抛物线上存在一点使得最小，则点的横坐标为______.
【答案】
【详解】抛物线的焦点，准线，显然点在抛物线内，过点A作于点N，交抛物线于M，连MF，如图，
在抛物线上取点，过作于，连接，有，则有，当且仅当点与M重合时取等号，因此，此时点M的纵坐标为2，则其横坐标，所以M点的横坐标为.故答案为：
【提分秘籍】
抛物线的选填问题，主要涉及到抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离抛物线上点到准线距离；注意解题时相互转化；
【变式5-1】已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.
【答案】3
【详解】由题意得：,抛物线焦点为，准线为，
则 ,当A,F,C三点共线时取等号，
而，故的最小值为，故答案为：3
【变式5-2】已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是__________.
【答案】
【详解】
抛物线的准线方程为，过点作垂直准线于点，显然，当平行于轴时，取得最小值，此时，此时 故答案为:.
【变式5-3】已知为抛物线上任意一点，抛物线的焦点为，点是平面内一点，则的最小值为_____________．
【答案】6
【详解】由抛物线得，则，准线方程为，作准线，为垂足，如图，
由抛物线的定义可得，显然当三点共线时，取得最小值为，所以的最小值是6．故答案为：6．
题型六：直线与椭圆，双曲线，抛物线位置关系
【例题6-1】若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【详解】因为直线和圆没有交点，所以圆心到直线的距离，可得：，即点在圆内，又因为圆内切于椭圆，
所以点在椭圆内，即过点的直线与椭圆有两个交点.故选：C.
【例题6-2】已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；由，消去整理得．①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； ②当即时，由，解得，此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意，综上所述：符合题意的的所有取值为或，故选：D
【例题6-3】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为．直线与轨迹恰好有两个公共点，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】设点，则，即，整理可得：，；记，，当时，与有且仅有一个交点，与无交点，与有且仅有一个交点，不合题意；当时：，由得：；由得：，即，则；①当，即或时，与有一个交点，与有且仅有一个交点，，解得：或；②当，即时，与无交点，与有两个不同交点，，解得：，；综上所述：的取值范围为.故答案为：.
【提分秘籍】
直线圆锥曲线的位置关系，主要使用代数法，即联立直线方程与圆锥曲线方程，通过消元，利用进行判断.
【变式6-1】已知，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能
【答案】A
【详解】解：因为，所以直线可化为，所以，直线过定点，因为点在椭圆内部，所以，直线与椭圆的位置关系是相交.故选：A
【变式6-2】已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设双曲线上一点，设点双曲线的右焦点为，若取最小值，则点在双曲线的右支上，则，则，
当且仅当时，等号成立，联立可得，因为与直线无交点，则，即，因为，解得.故选：B.
【变式6-3】过抛物线上的点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程为_________.
【答案】或
【详解】由题，当直线斜率存在时，设直线为，联立，可得，因为直线与抛物线只有一个公共点，所以，所以，则直线为，即；当直线斜率不存在时，直线与抛物线也只有一个公共点，故答案为：或
题型七：中点弦问题
【例题7-1】已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．该直线不存在
【答案】D
【详解】解：设，且，代入双曲线方程得，两式相减得：
若是线段的中点，则，所以，即直线的斜率为，所以直线方程为：，即；
但联立，得，则，方程无解，所以直线不存在.故选：D.
【例题7-2】已知，在抛物线上，且线段的中点为，则＝（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【详解】由题意，设线段AB的中点为M(1，1)故且
两式相减得：故故直线AB的方程为：，即
将直线与抛物线联立：即，
则故选：C
【例题7-3】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则直线的斜率为______．
【答案】##0.5
【详解】由题意可得，整理可得．设，，则，，两式相减可得．因为直线与直线l的交点恰好为线段AB的中点，所以，则直线l的斜率．故答案为：.
点差法（注意要回代检验）
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
【变式7-1】已知直线交椭圆于两点，定点，若的重心为椭圆的右焦点，则直线的方程为______．
【答案】
【详解】解：由题知，椭圆的右焦点为，设，因为的重心为，所以，所以，即的中点为，因为，，
所以，即，所以，，
所以，直线的方程为，即.故答案为：
【变式7-2】已知双曲线和斜率为的直线l交于A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标满足的方程是________.
【答案】
【详解】设，，则两式相减，得.因为，的坐标为，所以，又直线的斜率为，所以，即.
故答案为：
【变式7-3】已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为__________．
【答案】
【详解】依题意，设，若，则直线，由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为，显然不符合题意，故，因为A，B是抛物线上的两点，所以，两式相减得，，整理得，因为线段AB的中点为，所以，即，又，所以，所以直线AB的方程为，即.故答案为：.
题型八：弦长和面积问题
【例题8-1】斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝＝＝·，
当t＝0时，|AB|max＝．故选：C.
【例题8-2】已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于，两点，且，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，，
依题可知，四边形为平行四边形.由可得，.
在中，由余弦定理可得：，即，①
又因为点在双曲线上，则，所以，②
两式相减得，即，所以，
也即为的面积，故选：C.
【例题8-3】已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线，若与轴交于点，与抛物线的一个交点为（异于点），则的面积为（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【详解】解：把代入，可得，则抛物线方程为，所以
由题可知切线的斜率存在，设切线的方程为，代入，可得，
由，解得，故切线的方程为，所以又，所以直线AF的方程为，由可得或，故，所以，又点到直线AC的距离，故的面积.故选：B.
【提分秘籍】
①弦长公式： 或：
②面积公式：（其中底可以选择弦长，利用弦长公式求解，高可以利用点到直线的距离公式求解）
③面积也可以通过分割求解.
【变式8-1】已知从椭圆：的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交C的另一个焦点，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，E，F分别为椭圆的左右焦点，动点P满足，若的面积的最大值为，则面积的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】设，不妨令，，故，整理得：，
点轨迹为圆，圆心为，半径为，由题意得：，则点到轴的距离最大值为，所以，解得：，故，则，则点到轴的距离最小值为，故面积的最小值为.故选：A
【变式8-2】过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.所以x1x2＝＝10.所以|AB|＝·＝4.故选:D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， ① . ② ①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.故选：D
专题10 圆锥曲线（选填）课后巩固练习
一、单选题
1．双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】把双曲线的方程化为标准方程为，由此可知，实半轴，虚半轴，，所以双曲线的离心率为.故选：B.
2．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】直线过定点，所以，解得①.由于方程表示椭圆，所以且②.由①②得的取值范围是.故选：C
3．已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】椭圆的右焦点坐标为，则抛物线的焦点坐标为，
则，则，抛物线由，解得或则故选：B
4．在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左､右焦点，过作渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的右支交于点，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，其中，则焦点到渐近线的距离又因为，所以，又，得.则在中，有，，.则由余弦定理得
则渐近线方程.故选：C
5．已知抛物线的焦点是，点是其准线上一点，线段交抛物线于点，当时，的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】抛物线的焦点是，设点，，所以，，因为，所以，解得，代入抛物线方程得， 所以，即，的面积为.故选：A.
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，且为中点，所以，且，因为，所以，解得，直线l的方程为，所以，则，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以双曲线的标准方程为.故选：C.
二、填空题
7．双曲线 的左顶点为，右焦点，若直线与该双曲线交于两点，为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________
【答案】2
【详解】联立 ，可得，则，因为点 关于轴对称， 且为线段​的中点， 则.又因为 为等腰直角三角形，所以，， 即，即 ，所以，，可得，因此，该双曲线的离心率为 ．故答案为：2
8．已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________.
【答案】
【详解】如图，连接，因为l垂直平分线段，所以，所以△ABC的周长为，由题意得，则的中点为，，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，因为直线过，所以，解得，所以，所以△ABC的周长为，故答案为：.