《新高考数学大二轮复习课件》专题六 第4讲 母题突破1 范围、最值问题

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1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、 最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大.
KAO QING FEN XI
母题突破1　范围、最值问题
母题　(2021·全国乙卷改编)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，圆M：x2＋(y＋4)2＝1，若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.
❶设切点A，B坐标，求切线方程↓❷设点P坐标，求直线AB方程↓❸联立直线AB与抛物线C方程↓❹弦长公式求|AB|，即可得到S△PAB↓❺函数思想，求S△PAB最值
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
同理可知，直线PB的方程为x2x－2y2－2y＝0，由于点P为这两条直线的公共点，
所以点A，B的坐标满足方程x0x－2y－2y0＝0，所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，
由已知可得－5≤y0≤－3，
解　设直线l1为y＝k(x－2)＋1，则直线l2为y＝－k(x－2)＋1，
由Δ＝(4k－8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－8k－4)＝16(k＋1)2>0，解得k≠－1，
整理得(2k2＋1)x2＋(4k－8k2)x＋(8k2－8k－4)＝0，
因此，|AB|的最大值为4.
解　设l：y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.
得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
解　设MN的方程为y＝kx＋m，
解得m＝2k(舍去)或m＝－k，满足Δ>0，
即4k2－12＋8k2＋3k2－12k2＋3＋4k2<0，
解　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则△F1MN的周长为4a＝8.
当l⊥x轴时，l的方程为x＝1，|MN|＝3，
当l与x轴不垂直时，设l：y＝k(x－1)(k≠0)，
令4k2＋3＝t，则t>3，
解　设动圆P的半径为r，
故圆心P的轨迹C的方程为y2＝2x.
解　由题意可知直线AC既不平行于x轴，也不平行于y轴，于是，设直线AC的斜率为kAC＝k(k≠0)，
设点A(x1，y1)，C(x2，y2)，
所以四边形ABCD面积的最小值为8.
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，过直线l：x＝4左侧的动点P作PH⊥l于点H，∠HPF的平分线交x轴于点M，且|PH|＝2|MF|，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
解　设P(x，y)，由题意可知|MF|＝|PF|，
解　由题意，得直线l′的斜率k≠0，设直线l′的方程为x＝my＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)>0恒成立，