江西景德镇一中2025-2026学年度第一学期期末考试高二数学试卷含答案

这是一份江西景德镇一中2025-2026学年度第一学期期末考试高二数学试卷含答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ）
A. 43种
B. 34种
C. C43种
D. A43种
2. 把2名新生分配到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配1名新生，则不同的分配方法有（ ）
A.3种B.4种C.6种D.8种
3. 已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则P(X=3)=（ ）
A. 17B. 27
C. 37D. 47
4. 已知随机变量X∼B(4,p)，若D(X)=89，则P(X=2)=（ ）
A. 29B. 49
C. 89D. 827
5. (x−y)7的二项展开式中二项系数最大的项是（ ）
A. −35x4y3
B. 35x3y4
C. −35x4y3和35x3y4
D. 35x4y3和35x3y4
6. 正四面体ABCD中，AP→=13AD→，BQ→=23BC→，则异面直线PQ与BD所成角的正弦值为（ ）
A. 33B. 63
C. 55D. 255
7. 在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=2，∆PAD为等边三角形，线段BC的中点为E.若PE=1，则此四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. 82π3B. 28π3
C. 9πD. 2821π27
8. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子三次，依次记录向上的点数.记m为前两次点数的平均值，n为三次点数的平均值，则m与n的差的绝对值不超过1的概率是（ ）
A. 95108B. 91108
C. 83108D. 5354
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 在2x2−1x6的展开式中（ ）
A. 常数项为60
B. 各项二项式系数的和为32
C. 各项系数的和为1
D. 各项系数的绝对值之和为729
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 直线l的一个方向向量是a=(1,−1,2)，平面α的一个法向量是n=(3,1,−1)，则l⊥α
B. 向量a=(9,4,−4)，b=(1,2,2)，则a在b上的投影向量为(1,2,2)
C. 向量a=(−3,−1,2)，b=(3,3,1)，c=(3,7,7)共面
D. 平面α的一个法向量为n=(1,2,2)，A(1,0,0)为α内的一点，则点P(3,1,1)到平面α的距离为2
11. 五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有（ ）
A. 所有可能的方法有125种
B. 若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有64种
C. 若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种
D. 若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在答题卡中对应题号的横线上）
12. 已知某市高三年级某次模拟考试中数学试卷的满分为150分，阅卷结果显示，全市100000名学生的数学成绩X近似服从正态分布N(130,25)，则这次考试数学成绩超过140分的人数约为______．（附：若随机变量X服从N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973）
13. x+y2−1y9的展开式中x3y3的系数为______．
14. 已知有A，B两个盒子，其中A盒装有2个黑球和1个白球，B盒装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中；若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变的概率是______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
（1）对照2×2列联表，能否有99.9%的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？
（2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
16．为促进消费，助力经济发展，某市持续开展了共8期政府消费券发放活动，记第i(i=1,2,⋯,8)期活动发放的消费券总额为xi百万元，带动的消费为yi百万元，根据这8期活动的数据，可得∑i=18xi=40，∑i=18yi=144，且x和y的样本方差分别为sx2=52，sy2=632，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y^=b^x+0.75。
（1）求b^；
（2）若下一期活动政府计划发放10.8百万元的消费券，预计可以带动多少消费；
（3）求相关系数r。（结果保留2位小数）
参考公式：相关系数r=∑i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)∑i=1n(xi−x¯)2∑i=1n(yi−y¯)2，线性回归方程y^=b^x+a^中，
b^=∑i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)∑i=1n(xi−x¯)2，a^=y¯−b^x¯。参考数据：563≈0.28。
17．如图1，平行四边形ABCD，AB=AC=1，AB⊥AC，∆ACD沿AC折起，折后的点D记为P，PB=2，如图2.设BA→=a，AC→=b，CP→=c。
（1）求a·c的大小，并写出二面角B−AC−P的大小（不写解答过程）；
（2）求平面PAC的法向量（用a，b，c表示）；
（3）求PB与平面PAC所成角的正弦值。
18．育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：Y=40−10X(X=1,2,3)，比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为p1，p2，p3，且每人能否闯关成功互不影响.
（1）已知p1=14，p2=13，p3=12
（i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分Y的期望；
（ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分Y=30的概率.
（2）若00，E(Y1)>E(Y2)，
所以乙在丙前参赛.
19.（1）因为CD⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA.
又PA⊥AD，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AD∩CD=D，
所以PA⊥平面ABCD.
（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角
坐标系，如图.
（i）D(0,6,0)，P(0,0,6)，E(3,0,3)，
AE→=(3,0,3)，PD→=(0,6,−6)，AP→=(0,0,6)，设PF→=λPD→=(0,6λ,−6λ)(0≤λ≤1)，
则AF→=AP→+PF→=(0,0,6)+(0,6λ,−6λ)=(0,6λ,6−6λ)。
设平面AEF的法向量为n→=(x,y,z)，则{n→⋅AE→=0n→⋅AF→=0即{3x+3z=06λy+6(1−λ)z=0，
取z=λ，得x=−λ，y=λ−1，
所以n→=(−λ,λ−1,λ)是平面AEF的一个法向量，
因为AP⊥平面ABCD，所以AP→=(0,0,6)是平面ABCD的一个法向量。
因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为\latex33，
所以|cs⟨n→，AP→⟩|=|λ|2λ2+(λ−1)2=33，得λ=12，所以PF=12PD=32。
（ii）设PG→=μPC→，则AG→=AP→+μPC→=(0,0,6)+μ(6,6,−6)=(6μ,6μ,6−6μ)。
因为n→=−12,−12,12为平面AEGF的一个法向量，所以n→⊥AG→，
所以AG→·n→=−3μ−3μ+3−3μ=−9μ+3=0，即1−3μ=0，得μ=13，
所以AG→=(2,2,4)，G(2,2,4)。
F(0,3,3)，AB→=(6,0,0)，BC→=(0,6,0)，BP→=(−6,0,6)，AD→=(0,6,0)，EG→=(−1,2,1)
因为M在平面PBC上，所以BM→=sBC→+tBP→，
所以AM→=AB→+sBC→+tBP→=(6,0,0)+s(0,6,0)+t(−6,0,6)=(6−6t,6s,6t)。
设平面MAD的法向量m→=(x1,y1,z1)，则{m→⋅AD→=0m→⋅AM→=0即{6y1=0(6−6t)x1+6sy1+6tz1=0，
取x1=t得y1=0，z1=t−1所以m→=(t,0,t−1)是平面MAD的一个法向量，
设 EG 与平面 MAD 所成角为 θ，则 sinθ=|cs⟨EG→，m⟩|=16t2+(t−1)2=162t2−2t+1
因为 2t2−2t+1∈12,+∞，所以 sinθ∈0,33
即 EG 与平面 MAD 所成角的正弦值的取值范围为 0,33。
性别
不关注赛事
关注赛事
合计
男性
25
150
175
女性
50
75
125
合计
75
225
300
α
0.01
0.005
0.001
χα
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
P
15
35
15