江西师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题含答案

这是一份江西师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线l1:x+3y−7=0，直线l2:kx−y−2=0．若l1⊥l2，则实数k=（ ）
A．−3B．−13
C．13D．3
2．圆心为(1,2)且与直线3x+4y−1=0相切的圆的方程为（ ）
A．(x−1)2+(y−2)2=2B．(x−1)2+(y−2)2=4
C．(x+1)2+(y+2)2=2D．(x+1)2+(y+2)2=4
3．最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒1盒、莲花清瘟胶囊2盒、999感冒灵颗粒2盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为23，34，45，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（ ）
A．133180B．133150
C．113180D．113150
4．已知圆C:(x+1)2+y2=16及点A(1,0)，在圆C上任取一点P，连接CP，将点P折叠到点A，记CP与折痕l的交点为M（如图）．当点P在圆C上运动时，点M的轨迹方程为（ ）
A．x24+y23=1B．x216+y212=1
C．x24−y23=1D．x216−y212=1
5．已知平面α，β的法向量分别为m1→=(2,1,−3)，n2→=(1,−3,2)，则平面α，β的夹角的大小为（ ）
A．5π6B．2π3
C．π3D．π6
6．有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法？（ ）
A．8B．12C．16D．10
7．在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则直线DC1，B1C所成角的余弦值为（ ）
A．216B．76
C．314D．32114
8．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，F1三点共线，NF2→=2NP→，且MP→·(MF2→−MN→)=0，若∠F1NF2=60°，则C的离心率（ ）
A．5B．7
C．3D．10
二、多选题
9．设A，B为两个相互独立的随机事件，且P(AB)=16，P(B)=12，下列命题中，正确的是（ ）
A．P(AB¯)=56B．P(B¯A)=12
C．P(AB)=112D．P(A¯∪B)=1112
10．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．|a|−|b|=|a+b|是a，b共线的充要条件
B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb
C．若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a+b,b+c,a+c}构成空间的另一个基底
D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP→=2OA→−2OB→−OC→，则P，A，B，C四点不共面
11．如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点F满足A1F→=λA1B1→，λ∈[0,1]，则（ ）
A. 当λ=0时，AC1⊥平面BDF
B. 对于任意λ∈[0,1]，三棱锥F−BDE的体积是定值
C. 存在λ∈[0,1]，使得AC与平面BDF所成的角为π3
D. FD→·FB→的取值范围为[3,4]
三、填空题
12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有____种.
13. 在空间直角坐标系中，已知A(1,1,−1)，B(1,2,2)，C(−3,4,2)，则点A到直线BC的距离为____.
14. 定义离心率是5−12的椭圆为“黄金椭圆”。若椭圆E:x22+y2m=1(2>m>0)是“黄金椭圆”，则m=____，若“黄金椭圆”C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)两个焦点分别为F1(−c,0)、F2(c,0)，c>0，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是∆PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于点N，则|PM||MN|=____
四、解答题
15. 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(t,4)为抛物线上一点，且|AF|=4。
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线l:y=x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP→·OQ→=0，求m的值。
16. 已知x+2xn的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，
（1）求n；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中系数最大的项.
17．为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取5人进行调查，得到如下样本数据：
（1）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差．
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差．
18. 某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）.
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
（2）若二面角A−EF−B的大小为23π，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在棱AG上是否存在点P，使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的
正切值为32？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.
19．已知椭圆C的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1(−1,0)，F2(1,0)，点A1,22在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线l与椭圆C交于M、N两点，且OM⊥ON.
（i）是否存在定圆：x2+y2=r2 (r>0)，使得直线l与圆相切.若存在，求出r的值，若不存在，请说明理由，
（ii）求∆OMN面积的取值范围.
1．D
2．B
3．D
4．A
5.C
6.B
7.A
8．B
9．BCD
10．AB
11．ACD
12．64
13．755
14．5−1##−1+5；5+12.
15.（1）y2=8x
（2）−8
（1）∵点A(t,4)为抛物线y2=2px(p>0)上一点，则2pt=16①
且|AF|=4，根据抛物线的定义可得t+p2=4②，
由①②解得p=4，
∴抛物线的标准方程为y2=8x
（2）不过原点的直线l：y=x+m与抛物线交于不同两点P，Q，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立得{y=x+my2=8x，得x2+(2m−8)x+m2=0，
∴Δ=(2m−8)2−4×1×m2=−32m+64>0，解得m