2025-2026学年吉林通化市东昌区九年级上学期1月期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年吉林通化市东昌区九年级上学期1月期末数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共18分）
1.下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A.禁止驶入B.两侧变窄
C.环岛行驶D.两侧通行
2.下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（ ）
A.十拿九稳B.守株待兔
C.水中捞月D.一箭双雕
3.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则常数的值可以是（ ）
A.B.C.D.
4.已知二次函数，当时，．若，是抛物线上两点，且，则的取值范围是（ ）
A.B.或
C.D.或
5.如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（ ）
A.B.C.D.
6.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.与的函数关系式为
B.当时，
C.当时，
D.P随的增大而增大
二．填空题（每小题3分，共15分）
7.如图，四边形内接于，点在的延长线上，若的度数为，则的度数为______．
8.如图，在中，，．将绕点C顺时针旋转α角至使得点恰好落在边上，则α等于 __________ ．
9.如图，点是轴上一点，过点作轴交反比例函数于点，点是轴上的两点，，若四边形的面积是，则的值为 _______ ．
10.如图，直线，直线m分别交a、b于点A、B．以点A为圆心，长为半径画弧，分别交b、a于直线m同侧的点C、D．连接，若，，则的长等于________．
11.生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例如：；；在一种六进制计数法中，它是用这6个数字来表示数，满6进一，例如：六进制数12对应十进制的数为，六进制数235对应十进制的数为，那么六进制数325对应十进制的数为_______．
三．解答题（每小题6分，共18分）
12.一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．
13.【数学材料】
“对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．定义：如果（且），那么x叫作以a为底的N的对数，记作，其中a叫作对数的底．
【初步运用】
（1）请把下列算式改写成对数的形式：
，对数的形式为________；，对数的形式为________；
（2）若，则________；，则________；
【理解应用】
（3）若，，若，求t的值．
14.在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．
问题：
（1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？
（2）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？
（3）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？
小结：在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的弧长的计算公式： ；在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式： ．
思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？ ．
四．解答题（每小题7分，共21分）
15.在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点、、是与网格线的三个交点，仅用无刻度直尺在网格中完成作图，不写画法，保留作图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，画劣弧的中点，并在圆上画出一点，使得；
（2）如图2，将线段绕圆心逆时针旋转得到线段（点与点对应）；并过点作圆的切线；
16.如图所示，一次函数和反比例函数的图象交于点，与y轴交于点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向下平移使其经过原点，与的图象交于点C，连接，，求的面积．
17.如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）如果筝形的两条对角线长分别为、，求筝形的面积？
（2）已知筝形的对角线的长度为整数值，且满足．试求当的长度为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？
五．解答题（每小题8分，共16分）
18.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．
（1）求反比例函数的解析式
（2）求点的坐标，并观察图象，说出不等式的解集．
19.如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接并延长交的延长线于点为弧中点．
（1）连接，求证：是的切线；
（2）若，求的长．
六．解答题（每小题10分，共20分）
20.如图，中，，将绕点C顺时针旋转，旋转角为α，A、B的对应点分别为D、E．连接并延长与交于点F．
（1）如图1，若，则与的数量关系是 ；
（2）如图2，求证：；
（3）如图3，在射线上分别取点H、G（H、G不重合），使得，在旋转过程中，当的值最大时，直接写出的面积．
21.阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
（1）填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______．
（2）如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．
（3）请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数．
七．解答题（共12分）
22.已知函数（其中，是常数）．
（1）若，两点在该函数图象上，求此函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，函数的图象顶点为，与轴正半轴交点为，与轴的交点为，若将该图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围；
（3）若，当时，函数的最大值为8，直接写出的值．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接，
分别为的中点，
．（依据1）
分别为的中点，
．
同理：
四边形是平行四边形．（依据2）
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnn，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系．