2025-2026学年吉林省长春市九台区九年级上学期1月期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年吉林省长春市九台区九年级上学期1月期末数学试卷（学生版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ）
A.B.0C.4D.6
2.用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A.B.
C.D.
3.下列计算中正确的是（ ）
A.B.
C.D.
4.如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A.B.
C.D.
5.已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A.B.
C.D.
6.某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ）
A.掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B.掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2
C.从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃
D.同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上
7.某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（ ）
A.的长度B.六边形的周长
C.六边形面积D.
8.如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别交于两点，交双曲线于点，连接，若的面积为2．则（ ）
A.4B.6C.8D.10
二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分）
9.抛物线的对称轴是__________.
10.关于的方程是一元二次方程，则的值为____.
11.如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长度为_________．
12.如图，与位似，位似中心为点，且，则与的周长之比为______．
13.如图，一张等腰三角形纸片，底边，高．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为________．
14.在二次函数中，y与x的部分对应值如下表：
下列结论：
①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号）
三、解答题（本大题共78分）
15.解方程：．
16.某校在大课间有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．请用画树状图的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
17.如图，在中，过点B作，使边交于点D．
（1）求证：．
（2）若，求线段的长．
18.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中的边上确定一点，连接，使得；
（2）在图②中的边上确定一点，连接，使得；
（3）在图③中的边上确定一点，连接，使得．
19.知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．（参考数据：，，，，，，，，）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上．

（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
20.第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？
（2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？
21.某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、
（1）求所在抛物线的函数表达式；
（2）现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
22.【探究1】利用尺规作图，可以把线段三等分．
已知：线段，如图1．
求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且．
作法：①作射线．（如图2）②在射线上依次截取线段、、使，连接．③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点．
请写出此时所依据的基本事实是________________；
【探究2】已知：如图3，是的一条中线．
求作：点N，使点N线段上，且．
作法：①作边的垂直平分线交于点M．②连接交于N．则点N为所求的点．请利用无刻度直尺和圆规按照“探究二”的作法，在图3中作出点N，并证明．
【应用】已知，如图4，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点C的坐标______．
23.如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点在左侧作交折线于点，以，为边作矩形．
（1）求的长；
（2）当点在边上时，连接，求证：；
（3）当点在边上，且与的某一个锐角相等时，求的长；
（4）当矩形是正方形时，直接写出的长．
24.如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．
（1）求抛物线解析式及点C的坐标；
（2）当时，y的取值范围是______；
（3）当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？
（4）当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
…