2025-2026学年吉林省吉林市蛟河市九年级上学期1月期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年吉林省吉林市蛟河市九年级上学期1月期末数学试卷（学生版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A 水涨船高B.水中捞月
C.守株待兔D.缘木求鱼
2.如图，把放大后得到，则与的相似比是（ ）
A.B.C.D.
3.在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图像上，则的值为（ ）
A.B.2C.D.4
4.如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（ ）
A.12B.10C.8D.6
5.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A.①④B.②④
C.①②③D.①②③④
6.如图，周长为的三角形纸片，其中．小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的直线DE剪下一个三角形纸片．则三角形的周长是（ ）
A B.C.D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
7.抛物线的顶点坐标为__________．
8.随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为______米．
9.已知关于的一元二次方程的两个根，满足，则的值为_____．
10.中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上．若经测量得到数据，，则测杆上的长是___________cm．
11.如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为2，则k的值为______．
三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-22题10分，共85分）
12.解方程：．
13.验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，求近视眼镜的度数减少了多少度．
14.如图，在锐角三角形中，点D，E分别在边，上，，F，G分别是，的中点．
（1）求证：∽；
（2）若，直接写出的值．
15.笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去．
（1）松鼠经过第一道门时，从口出去概率是_____；
（2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率．
16.如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求直径的长．
17.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．

18.学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程．
①，②，③．
【任务一】研究增减性
（1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号）
【任务二】研究对称性
（2）函数 的对称轴是 ；
【任务三】研究最值
（3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值；
【任务四】研究复杂问题的最值
（4） 若 ，求的最小值．
19.停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点，为的直径，射线与射线交于点，于点，连接．
（1）求证：平分．
（2）若，，求车轮的半径．
20.项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米．
（3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由．
21.如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）的长为_______．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
22.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转得到．

（1）观察猜想：如图1，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究实践：如图2，连接，若，，，求的度数．
（3）拓展延伸：如图3，A，P，Q三点在一条直线上，若，，请求出的长度．