2025-2026学年江西省南昌市东湖区九年级上学期1月期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年江西省南昌市东湖区九年级上学期1月期末数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个各选项中只有一项是最符合题目要求的,请将其代码填涂在答题卡相应位置，错选、多选或未选均不得分．
1.在，，，这四个数中，比小的数是（ ）
A.B.C.D.
2.下列计算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
3.我国古代数学研究成果辉煌，产生了诸多趣味名词，如“刍童”，它指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，则其俯视图是（ ）
A.B.
C.D.
4.如果是一元二次方程的一个根，则b的值是（ ）
A.2B.－2C.3D.
5.舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ）
×1011×1010
×1011×1010
6.面积为6的在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为（ ）
A.B.4C.2D.
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7.因式分解_________．
8.在函数中，自变量的取值范围是________．
9.一个不透明的袋子里装有2个黑球和7个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为_______．
10.我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问梨果各几何？”意思是：用文钱买得梨和果共个，梨文买个，果文买个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为______．
11.“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮．它设有个太空舱，每舱可容游客人，舱内有液晶电视冷暖空调，每小时将可容纳近千人“空中”旋转看南昌，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即 长度为 _________．（结果保留）
12.已知关于x的二次函数（a，m为常数，且）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．的面积与的面积相等时，m的值为_________．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共 30 分)
13.（1）计算：；
（2）如图，在中，，，，，是的垂直平分线，求的长．
14.先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值．
15.如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形；
（2）如图2，作一个底角为的等腰三角形．
16.滕王阁位于江西省南昌市东湖区，始建于唐永徽四年（年），与湖南岳阳岳阳楼、湖北武汉黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一、“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”．不少人来到滕王阁，不仅仅满足于品尝美食和拍照留念的“打卡游”，她们更期待穿上与周围环境相协调的传统服饰．这天，小希和小傅两人来到一家汉服店，老板介绍有，，，四款汉服可供选择．
（1）小希选中的汉服是款的概率是 ；
（2）小希和小傅各自挑选一款喜欢的汉服，请用树状图或者列表的方法求出她们心有灵犀选中同一款汉服的概率．
17.如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积．
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共2 4 分)
18.已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值；
（2）若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值．
19.“今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包．
（1）甲、乙两商户每天分别生产多少小时？
（2）由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？
20.如图，是△ABC的外接圆，是的直径，，垂足为点F．延长交过点D的切线于G点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接并延长交于点E，若，求的长．
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21.随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：
抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表
根据提供的信息回答问题：
（1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
（2）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）；
（3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数．
22.教材改编题改编自人教版八上综合与实践
【追本溯源】
下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题．
把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?
[结论证明】
（1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形．
【类比迁移】
（2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：．
【拓展应用】
（3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值．
六、解答题(本大题共 12 分)
23.如图（1），在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系．
初步感知
（1）当点P由点A运动到点C时，
①若， __________；
②S关于t的函数解析式为__________．
深入探究
（2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图（2）所示．
①的值为__________；
②求S关于t的函数解析式．
延伸探究
（3）当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，．
①求与的数量关系；
②当时，的值为__________．
组别
时间
频率
A
B
C
D
E
合计
1