福建漳州市龙海区2025-2026学年九年级第一学期期末考试数学试卷（试卷+解析）

这是一份福建漳州市龙海区2025-2026学年九年级第一学期期末考试数学试卷（试卷+解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（总分：150分 时间：120分钟）
友情提示：请把答案填涂到答题卡上！请不要错位、越界答题！
注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题卡上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分共40分，每小题只有一个正确的答案，请把正确的选项填在答题卡相应的表格内）
1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 2
2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）．
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，准备在数学课上随机选取其中一位进行分享，选到赵爽的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 二次函数与两坐标轴交点的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7. 如图，，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，实线部分是一个正方体展开图，点，，，，均在的边上，则的值为（ ）．
A B. C. D.
9. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，若的面积为，则的面积为（ ）．
A. B. C. D.
10. 二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如果，那么的值是________．
12. 计算的结果是_________．
13. 将分别标有汉字“龙”“海”“水”“魁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“龙海”的概率是______．
14. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为______．
15. 已知、是方程的两根，则的值为______．
16. 在中，，，，延长至点，过点分别作，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为______．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17. 计算：
18. 解方程：．
19. 如图是某停车场，现仅剩下“”、“”、“”、“”、四个车位
（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位概率是______；
（2）分别记这四个车位为、、、，小明和小红同时来到该处停车，用画树状图或列表方法，求两人停车在相邻车位的概率．
20. 学校组织篮球联赛，赛制为单循环形式（即每两队之间都赛一场）．
（1）设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示）
（2）若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？
21. 晏海楼位于龙海区海澄镇，是海澄古月港的标志性建筑，在其楼顶可俯视景区全貌．九年级数学兴趣小组用无人机测量晏海楼的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面62的点处测得晏海楼顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行37到达点，测得晏海楼底端的俯角为（点，，，在同一平面内），求晏海楼的高度．（结果精确到1．参考数据：，，）
22. 已知实数，，（），且满足，．
（1）求证：的值为定值；
（2）若，同号，求的取值范围．
23. 如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足．
（1）求证：
（2）若，，，求的长度及的面积．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方)，过点作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积；
（3）当时，函数的最大值为3，求的值．
25. 【问题提出】
（1）如图①，和都是等腰直角三角形，，，若点，，在同一直线上，则与数量关系为__________；
（2）如图②，在等腰中，，点为边上一点，以为边向下方作正方形，连接，试探究与的数量关系及的度数；
【问题解决】
（3）如图③，四边形是一个矩形游乐场，其中，为了进一步提高顾客的体验感，开发商对其进行扩建，根据规划要求，游乐场新项目在矩形外，点处的两个游乐项目保持不变，在点处设置一个出入口，连接，现要沿修建小路，将小路设计为特色小路吸引更多顾客，若m，m，求特色小路的最大值．
2025－2026学年第一学期期末素养评价
九年级数学
（总分：150分 时间：120分钟）
友情提示：请把答案填涂到答题卡上！请不要错位、越界答题！
注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题卡上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分共40分，每小题只有一个正确的答案，请把正确的选项填在答题卡相应的表格内）
1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项．
【详解】解：要使在实数范围内有意义，
需满足被开方数，
解得．
∴符合．
故选：D．
2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
3. 下列运算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算法则及同类二次根式的概念，需根据二次根式乘除法则、同类二次根式的合并规则逐一判断选项正误．
【详解】解：二次根式乘法法则为（，），除法法则（，），
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：，而不是，故B错误；
对于选项C：，而不是，故C错误；
对于选项D：与不是同类二次根式，不能合并，故D错误．
故选：A．
4. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答．
【详解】解：由知：，，．
所以该一元二次方程为：．
故选：A．
5. 小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，准备在数学课上随机选取其中一位进行分享，选到赵爽的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求概率．
总共有5位数学家，随机选取一位，选到赵爽的概率为．
【详解】解：∵总共有5位数学家，每位被选中的可能性相同，
∴选到赵爽的概率为．
故选：C．
6. 二次函数与两坐标轴交点的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，本题需分别求出二次函数与x轴、y轴的交点个数，再求和得到总交点数．
【详解】解：当时，，
∴二次函数与y轴有1个交点
令，则，
∵，
∴该方程有两个相等的实数根，即二次函数与x轴有1个交点
∴总交点个数为个．
故选：B．
7. 如图，，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再由相似三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
A、∵，，∴，故不符合题意；
B、∵，，∴，故不符合题意；
C、∵，，∴，故不符合题意；
D、不能判断，故符合题意；
故选：D．
8. 如图，实线部分是一个正方体展开图，点，，，，均在的边上，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查几何体的展开图，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
先设过点与垂直的线段与的交点为，过点作与交于点，设与的交点为点，设每个小正方形的边长为，再根据勾股定理求出和，然后证明，最后根据等角的三角函数值相同求解即可．
【详解】解：如图，设过点与垂直的线段与的交点为，过点作与交于点，设与的交点为点，设每个小正方形的边长为，
∵中，，，，
∴根据勾股定理：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，若的面积为，则的面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据位似图形的概念得到 ，，证明，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，即：，
∵与是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即．
故选：D．
10. 二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的增减性，对称轴和开口方向的问题，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．由题可知，对称轴为，进而分两种情况讨论：①；②，根据抛物线的增减性得出结论．
【详解】解：对称轴为，
当时，
，，，
与互为相反数，
，故A，B不正确，不符合题意；
同理当时，，故D不正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如果，那么的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知比例关系，设 ，（），再代入所求表达式进行化简．
【详解】解：由 ，
设 ，（），
则 ．
故答案为：．
12. 计算的结果是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先进行乘法运算并化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解；掌握（，）和合并同类二次根式法是解题的关键.
详解】解：原式；
故答案为：．
13. 将分别标有汉字“龙”“海”“水”“魁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“龙海”的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．利用画树状图法列出所有等可能结果，再计算组成“龙海”的情况数占总结果数的比例
【详解】解：设“龙”用A表示，“海”用B表示，“水”用C表示，“魁”用D表示；画树状图如下：
第一次摸球有4种可能（A，B，C，D），每种情况第二次摸球有3种可能，共有12种等可能结果；
其中两次摸出A和B（即组成“龙海”）的结果有2种（先A后B，先B后A）．
故概率为．
故答案为：．
14. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得，则，两点的距离为______．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键；
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，两点的距离为，
故答案为：．
15. 已知、是方程的两根，则的值为______．
【答案】2026
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是根据根与系数的关系得到的值；
根据根与系数的关系求出的值，并利用满足原方程得到的值，进而计算表达式
【详解】解：∵、是方程的两根，
∴，
把代入中，得，
∴，
故答案为：2026．
16. 在中，，，，延长至点，过点分别作，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】连接，取中点，连接，，以为直径作，先确定点，在上，由圆周角定理得到，那么为等边三角形，则将的最小值转化为的最小值，再根据垂线段最短，以及解直角三角形即可求解．
【详解】解：连接，取中点，连接，，以为直径作，
∵，，
∴，
∴，
∴点，在上，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小，
∴时，最小，即最小，如图，
∵，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式和绝对值的化简、特殊角三角函数值．分别进行二次根式及绝对值和三角函数的运算，然后合并即可得出答案．
【详解】解：
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，选择合适解一元二次方程的方法是解题的关键．
运用因式分解法求解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
，，
解得，．
19. 如图是某停车场，现仅剩下“”、“”、“”、“”、四个车位
（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是______；
（2）分别记这四个车位为、、、，小明和小红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停车在相邻车位的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明和小红两人停在不相邻车位的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：共有4个车位，
∴这辆车停在“”号车位的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小明和小红两人停在不相邻车位的结果有6种，
∴两人停车在相邻车位的概率为．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）．
（1）设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示）
（2）若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？
【答案】（1）；
（2）学校应安排个球队参加比赛．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
（1）利用比赛的总场数参赛球队支数（参赛球队支数），即可得与的关系；
（2）根据题意可得，解一元二次方程即可．
小问1详解】
解：根据题意可得，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵根据题意可得，
∴根据题意列一元二次方程得，，
解得，（舍）．
答：学校应安排个球队参加比赛．
21. 晏海楼位于龙海区海澄镇，是海澄古月港标志性建筑，在其楼顶可俯视景区全貌．九年级数学兴趣小组用无人机测量晏海楼的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面62的点处测得晏海楼顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行37到达点，测得晏海楼底端的俯角为（点，，，在同一平面内），求晏海楼的高度．（结果精确到1．参考数据：，，）
【答案】晏海楼的高度约22
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键；
延长交于点，则，由题意得，，，分别解和，依次求出、、，最后根据线段的和差关系即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，
由题意得，，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：晏海楼的高度约．
22. 已知实数，，（），且满足，．
（1）求证：的值为定值；
（2）若，同号，求的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键；
（1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解；
（2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解．
【小问1详解】
证明：由，，（），
∴，为关于的方程的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系得，，
∴的值为定值；
【小问2详解】
解：由（1）知，为关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∵，同号，
∴，解得：．
又∵，
∴，
∴，
∴的取值范围为．
23. 如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足．
（1）求证：
（2）若，，，求的长度及的面积．
【答案】（1）见解析；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由角平分线的性质得到，证明，即可得出结论；
（2）作于点，由可求出的长，根据解直角三角形求出，再根据勾股定理求出，即可求的面积
【小问1详解】
证明：∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
解：作于点，如图：
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方)，过点作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积；
（3）当时，函数的最大值为3，求的值．
【答案】（1）
（2）点P的坐标为时，四边形的面积最大，最大面积为
（3）t的值为或2
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、图形面积最值及区间最值问题．关键在于利用待定系数法求解析式，结合平行关系与坐标特征表示线段长度，再通过二次函数性质（开口方向、对称轴）分情况讨论区间最值，体现了数形结合与分类讨论的数学思想．
（1）先确定点、坐标，再利用待定系数法求函数的解析式；
（2）先求点C的坐标，再表示点P、D的坐标及线段的长度，最后求的面积，根据二次函数的性质回答即可；
（3）根据抛物线的最值与单调性，分情况讨论自变量在内的最大值．
【小问1详解】
解：，
当时，；
当时，，
∴,0)，
将代入抛物线的解析式，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：抛物线的对称轴为直线，
由轴可得点的坐标为，
设点的坐标为，
轴，
点的坐标为，
∵轴，轴，
∴，
∴，
，
∵，
∴当时，有最大值，
当时，，
此时，
故点的坐标为时，四边形的面积最大，最大面积为．
【小问3详解】
解：，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为4，
又当时，函数的最大值为3，
∴根据二次函数的增减性，分两种情况讨论：
①当，即时，，
解得(舍去)；
②当，即时，，
解得（舍去）．
综上所述，的值为或．
25. 【问题提出】
（1）如图①，和都是等腰直角三角形，，，若点，，在同一直线上，则与的数量关系为__________；
（2）如图②，在等腰中，，点为边上一点，以为边向下方作正方形，连接，试探究与的数量关系及的度数；
【问题解决】
（3）如图③，四边形是一个矩形游乐场，其中，为了进一步提高顾客的体验感，开发商对其进行扩建，根据规划要求，游乐场新项目在矩形外，点处的两个游乐项目保持不变，在点处设置一个出入口，连接，现要沿修建小路，将小路设计为特色小路吸引更多顾客，若m，m，求特色小路的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的全等与判定，三角形的相似与判定，矩形的性质，准确分析计算是解题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得，，，从而求得，，可得，即可得出结论；
（2）连接，证明是等腰直角三角形，得到，，证出，求解即可；
（3）过点作，使，连接，，得到，，证明，得到，得到m，当且仅当，，三点共线时取等号，判断出的最大值m，此时也取得最大值，利用勾股定理计算即可；
【详解】（1）和都是等腰直角三角形，，
，，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）如图②，连接BE．
∵在等腰中，，以为边作正方形，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，；
（3）如图③，过点作，使，连接，，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，当且仅当，，三点共线时取等号，
∴的最大值，此时也取得最大值，
在中，，
∴，
∴的最大值为，
即特色小路的最大值为．