人教版2026届中考数学二轮复习讲义：第 3 讲 二次函数图象系数

这是一份人教版2026届中考数学二轮复习讲义：第 3 讲 二次函数图象系数，共17页。学案主要包含了2026 届习题 1，解题思路，解答过程，2026 届习题 2，2026 届习题 3，2026 届习题 4，2026 届习题 5，2026 届习题 6等内容，欢迎下载使用。

A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1 个
【解题思路】①对称轴在y 轴左侧，则ab 同号，c＞0，即可求解；
②对称轴为直线x ＝ -1，则2a-b ＝0，即可求解；
③x ＝1 时，y ＝a+b+c ＝3a+c＜0，即 3a＜ -c，即可求解；
④根据点到对称轴的距离，即可求解．
【解答过程】解：①对称轴在y 轴左侧，则ab 同号，c＞0，故 abc＞0，故错误；
②对称轴为直线x ＝ -1 ，b ＝2a，即 2a-b ＝0 故正确；
③x ＝1 时，y ＝a+b+c ＝3a+c＜0，即 3a＜ -c，故错误；
④x ＝ -1 时，y ＝ax2+bx+c ＝a-b+c，为最大值，故 a -b+c≥am2+bm+c，即 a-bm≥am2+b，故错误；正确的结论的个数是2 个．
故选：C．
【2026 届习题 2】小甬从如图所示的二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象中，观察得出了下面四条信息：①abc＞0；②2a+3 b ＝0 ；③a -2b+c＞0 ；④c-4b＞0，其中结论正确的个数有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【解题思路】观察图象易得 a ，所以 b＜0 ，2a+3b ＝0，因此 abc＞0，由此可以判定①③是正确的；当 x ＝ -1，y ＝a-b+c，由点（ -1 ，a-b+c）在第二象限可以判定 a-2b+c＞0②是正确的；
当 x ＝2 时，y ＝4a+2b+c ＝2×（ -3b）+2b+c ＝c-4b＞0，由点（2，c-4b）在第一象限可以判定 c-4b＞0④是正确的．
【解答过程】解： ∵抛物线开口方向向上， ∴a＞0，
∵与y轴交点在 x 轴的下方， ∴c＜0，
2a 3
∵− b = 1，
∴b＜0，
∴abc＞0，
∴①是正确的；
对称轴 x
∴3b ＝ -2a，
∴2a+3b ＝0，
∴②是正确的；
当 x ＝ -1，y ＝a -b+c＞0， ∵b＜0，
∴ -b＞0，
∴a -2b+c＞0 ∴③是正确的；
当 x ＝2 时，y ＝4a+2b+c ＝2 ×（ -3b）+2b+c ＝c -4b＞0，
而点（2 ，c-4b）在第一象限， ∴c-4b＞0，故④正确．
故选：D．
【2026 届习题 3】已知抛物线y ＝ax2+bx+c（a ，b，c 为常数，且 a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b＞a；
a
②若 -1＜m＜n＜1，则 m+n< − b；
③3|a|+|c|＜2|b|．
其中，正确结论的个数是( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
【解题思路】根据抛物线的开口方向和对称轴即可判断①；根据根与系数的关系即可判断②；根据对称轴和当x = 1 时，函数值的符号即可判断③ .
【解答过程】解： ∵抛物线开口向下， ∴a＜0，
∵− >0，
∴b＞0，
∴b＞a，故①正确；
设二次函数与 x 轴的两个交点的横坐标是 x1 和 x2 ，x1＜x2，则 x1+x2＞m+n，
∴m+n，故②正确；
∴b＞ -2a，
∴2a+b＞0，
∵x ＝1 时，y ＝a+b+c＞0， ∴3a+2b+c＞0，
∴ -3a -c＜2b，
∵a＜0，c＜0 ，b＞0，
∴ -3a ＝|3a| ， -c ＝|c| ，2b ＝|2b|， ∴3|a|+|c|＜2|b|，故③正确，
故选：D．
【2026 届习题 4】已知二次函数 y ＝ax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0 ；②a -b+c＞0 ；③abc >0 ；④9a -3b+c＜0 ；⑤c -a＞1 ．其中所有正确结论的序号是( )
A ．①② B ．①③④ C ．①②③④ D ．①②③④⑤
【解题思路】由图象可知，a＜0 ，c ＝1，对称轴 x=−=−1，即 b ＝2a；①当x ＝1 时，y＜0；②当x ＝ -1时，y＞ 1 ；③abc ＝2a2＞0 ；④当x ＝ -3 时，y＜0 ；⑤c -a ＝1 -a＞1．
【解答过程】解：由图象可知，a＜0 ，c ＝1，对称轴 x=− =−1，
∴b ＝2a，
①∵ 当 x ＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，故正确；
②∵ 当 x ＝ -1时，y＞1， ∴a -b+c＞1，故正确；
③abc ＝2a2＞0，故正确；
④由图可知当x ＝ -3时，y＜0， ∴9a -3b+c＜0，故正确；
⑤c -a ＝1 -a＞1，故正确； ∴①②③④⑤正确，
故选：D．
【2026 届习题 5】二次函数y ＝ax2 +bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①3a+2b+c＜0；
②3a+c＜b2 -4ac；
③方程 2ax2+2bx+2c -5 ＝0 没有实数根；
④m（am+b）+b＜a（m≠ -1）．其中正确结论的个数是( )
A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1 个
【解题思路】①根据当x ＝1 时y＜0、对称轴 x及 a＜0 可判断；
②结合①及抛物线与x 轴交点情况可判断；
③由 2ax2+2bx+2c -5 ＝0 可得 ax2+bx+c，根据抛物线与直线y交点情况判断；
④由m（am+b）+b＜a 得a-b+c＞am2+bm+c，根据函数最值可判断． 【解答过程】解：由图象可知，当 x ＝1 时，y＜0，即 a+b+c＜0，
∵对称轴x a＜0， ∴b ＝2a＜0，
∴a+2a+c＜0，即 3a+c＜0， ∴3a+2b+c＜0，故①正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b2 -4ac＞0，
∴3a+c＜0＜b2 -4ac，故②正确； ∵2ax2+2bx+2c -5 ＝0，
2
结合图象可知，不能确定抛物线y ＝ax2+bx+c 与直线y= 5 的交点情况，
故③不正确；
∵ 当 x ＝m（m≠ -1）时，y ＝am2+bm+c，且当 x ＝ -1 时，函数y 取得最大值， ∴a -b+c＞am2+bm+c，
∴m（am+b）+b＜a，故④正确；综上，正确结论有①②④共 3 个，故选：B．
【2026 届习题 6】如图是二次函数y ＝ax2 +bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是( )
①对称轴为直线x ＝ -1；
②b2 -4ac＞0；
③方程 ax2+bx+c ＝0的解是x1 ＝ -3 ，x2 ＝1；
④不等式 ax2+bx+c＞3 的解为 -2＜x＜0．
A ．4 B ．3 C ．2 D ． 1
【解题思路】利用抛物线与 x 轴的交点为对称点可对①进行判断；利用抛物线与 x 轴有 2 个交点可对②进行判断；根据 x ＝ -3 时，y ＝0；x ＝1 时，y ＝0 可对③进行判断；抛物线的对称性得到点（0 ，3）关于直线 x ＝ -1 的对称点为（ -2，0），然后利用函数图象可对④进行判断．
【解答过程】解： ∵抛物线经过点（ -3，0），（1，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝ -1，所以①正确；
∵抛物线与 x轴有 2 个交点，
∴△ =b2 -4ac＞0，所以②正确；
∵x ＝ -3 时，y ＝0；x ＝1 时，y ＝0，
∴方程 ax2+bx+c ＝0 的解是 x 1 ＝ -3 ，x2 ＝1，所以③正确； ∵点（0 ，3）关于直线 x ＝ -1 的对称点为（ -2 ，0），
∴ 当 -2＜x＜0 时，y＞3，
即不等式 ax2+bx+c＞3的解为-2＜x＜0，所以④正确．故选：A．
【2026 届习题 7】二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①2a+b ＝0；②当m≠1 时，a+b＞am2+bm ; ③a -b+c＞0 ；④若 ax12+bx1 ＝ax22+bx2 ，且 x1≠x2，则 x1+x2 ＝2．其中正确结论的个数是( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【解题思路】根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答过程】解：由图象可得，
该函数的对称轴是直线 x ＝1，则，得2a+b ＝0，故①正确；
该函数当 x ＝1 时取得最大值，则当 m≠1 时，a+b+c＞am2+bm+c，即 a+b＞am2+bm，故②正确；当 x ＝3 时，y＜0，则当 x ＝ -1 时，y＜0，即 a-b+c＜0，故③错误；
若 ax12+bx1 ＝ax22+bx2 ，且 x1 ≠x2，则 x1+x2 ＝1×2 ＝2，故④正确；
故选：C．
【2026 届习题 8】二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中，其中正确的有( )
①2a+b＞0；
②a+b≠m（am+b）（m≠1 的实数）；
③a+c＞2；
④ -1＜x＜0在中存在一个实数 x0 ，使得 x
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【解题思路】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答过程】解：①由抛物线的对称轴可知：− 0 ；③b＞0 ；④4a -2b+c＜0 ；⑤a+c，其中正确结论的个数是( )
A ．②③④ B ．①②⑤ C ．①②④ D ．②③⑤
【解题思路】令 x ＝1，代入抛物线判断出①正确；根据抛物线与 x 轴的交点判断出②正确；根据抛物线的对称轴为直线 x ＝ -1 列式求解即可判断③错误；令x ＝ -2，代入抛物线即可判断出④错误，根据与y 轴的交点判断出 c = 1，然后求出⑤正确．
【解答过程】解：由图可知，x ＝1 时，a+b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴△ =b2 -4ac＞0，故②正确；
∵抛物线开口向下， ∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线
∴b ＝2a＜0，故③错误；
由图可知，x ＝ -2 时，4a -2b+c＞0，故④错误；
当 x ＝0 时，y ＝c ＝1， ∵a+b+c＜0 ，b ＝2a ， ∴3a+1＜0，
∴a+c，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是①②⑤ .
故选：B．
【2026 届习题 14】如图是二次函数y ＝ax2+bx+c 图象的一部分，过点（x1 ，0）， -3＜x1 ＜ -2，对称轴为直线 x = -1 ．给出四个结论：①abc＞0 ；②2a+b ＝0 ；③b2＞4ac ；④3b+2c＞0，其中正确的结论有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【解题思路】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与0 的关系，然后根据对称轴 x ＝ -1 计算 2a+b 的值；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
【解答过程】解：①由抛物线的开口向下知 a＜0，与 y 轴的交点为在y 轴的正半轴上， ∴c＞0，对称轴为 x，得 2a ＝b，
∴a 、b同号，即 b＜0， ∴abc＞0；
故本选项正确；
②∵对称轴为x，得 2a ＝b，
∴2a -b ＝0；
故本选项错误；
③从图象知，该函数与 x 轴有两个不同的交点，所以根的判别式△ =b2 -4ac＞0，即 b2＞4ac；故本选项正确；
④∵ -3＜x1 ＜ -2，
∴根据二次函数图象的对称性，知当x ＝1时，y＜0；
又由①知，2a ＝b， ∴a+b+c＜0；
2
∴1b+b+c＜0，
即 3b+2c＜0；
故本选项错误．
综上所述，①③共有 2 个正确的．
故选：B．
【2026 届习题 15】如图，已知二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点A（ -1 ，0），顶点坐标为（1， n），与y 轴的交点在（0，2）和（0 ，3）之间（不包括端点）．有下列结论：①当x＞3 时，y＜0 ；②n ＝c - a ；③3a+b＞0 ；④ -1＜a ．其中正确的结论有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【解题思路】由抛物线与 x 轴的交于点A（ -1，0）且对称轴为 x ＝1，知函数图象与 x 轴的另一个交点为（3，0），结合图象可判断①；由对称轴为 x=−=1 得 b ＝ -2a，将其代入 n ＝a+b+c 可判断②；由开口方向知 a＜0，将 b = -2a 代入 3a+b 即可判断③；由图象过（ -1 ，0）知 a-b+c ＝0，将 b ＝ -2a 代入可得 c ＝ -3a，结合抛物线与y 轴的交点在（0，2）和（0 ，3）之间（不包括端点）得 2＜c＜3，即 2＜ -3a＜3，从而判断④ .
【解答过程】解： ∵函数图象与x 轴交于点A（ -1 ，0），且对称轴为 x ＝1，则函数图象与 x 轴的另一个交点为（3 ，0），
∴ 当 x＞3 时，y＜0，故①正确； ∵抛物线的对称轴为x
∴b ＝ -2a，
∵顶点坐标为（1 ，n），
∴n ＝a+b+c ＝a-2a+c，即 n ＝c-a，故②正确；
∵抛物线的开口向下， ∴a＜0，
∵b ＝ -2a，
∴3a+b ＝3a-2a ＝a＜0，故③错误；
∵函数图象过点（ -1 ，0），即 x ＝ -1 时，y ＝0， ∴a -b+c ＝0，
∵b ＝ -2a，
∴a+2a+c ＝0，即 c ＝ -3a，
∵抛物线与y 轴的交点在（0 ，2）和（0，3）之间（不包括端点）， ∴2＜c＜3，即2＜ -3a＜3，
解得： -1＜a< − 2 ，故④正确；
3综上，①②④正确，故选：C．
【2026 届习题 16】二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②3a -c＞0；③若 -1＜m
a a a