人教版2026届中考数学二轮复习讲义：第 4 讲 二次函数新定义专项

这是一份人教版2026届中考数学二轮复习讲义：第 4 讲 二次函数新定义专项，共32页。学案主要包含了2026 届习题 2，小问 1 详解，小问 2 详解，小问 3 详解，2026 届习题 3，2026 届习题 4，2026 届习题 5，2026 届习题 6等内容，欢迎下载使用。
（1）下列函数中，是关于 1 的等和函数的是_______；
① y = -x +1； ② y = ； ③ y = x2 + x + 2 ．
（2）若点 C(-2, y1 ) ，D (4, y2 ) 在双曲线y = (k ≠ 0)上，且 C，D 两点是关于 m 的等和点，求 k 的值；
（3）若函数y = x2 - x - 2(x ≤ 2)的图像记为 W1，将其沿直线x = 2 翻折后的图像记为 W2 ．若 W1 ，W2 两部分组成的图像上恰有两个关于 m 的等和点，请求出 m 的取值范围．
24．(1)①
(2) k = -8
(3)m 的取值范围为m>2 或-2< m 2 或-2< m < 1；
【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及到新定义等和函数，正确理解概念和一次函数的联系是解题关键．
【2026 届习题 2】新定义：如果实数 m ，n 满足m-n= -2 时，则称P(m, n) 为“立足点”，称 Q (m -1,5 - n) 为“制高点” ．例如，P (1,3) 是“立足点” ，Q (0, 2) 是“制高点”．
（1）求正比例函数y = x 图象上“制高点”的坐标；
（2）若点 A 是反比例函数y 图象上唯一的的“立足点”，点 B ，C 是反比例函数y = 函数图象上的“制高点”，点 M 是反比例函数y 图象上的动点．求当△MBC 面积与△ABC 的面积相等时点 M 的坐标；
（3）已知点D(x1, y1 ) ，E (x2, y2 ) 是抛物线y = ax2 + (2b -1)x + 3c + 2 上的“制高点”，若 a + b + c = 0 ，且a > 2b > 3c ，求 x1 - x2 的取值范围．
【答案】（1）(1,1) ；
（2）点 M 的坐标为(1, -1) 或(2 + , 2 - )或(2 - , 2 + )；
【解析】
〔m − n = −2
【分析】（1）设正比例函数y = x 图象上“制高点” 的坐标为(m −1,5 − n)，得到{ ，据此计算即可求
lm −1 = 5 − n解；
（2）设点A 的坐标为(m, n)，根据题意得{ k ，由题意Δ = 22 − 4 (−k ) = 0 ，解得k =− 1 ，得到反比例
〔m − n = −2
ln = m
函数的解析式为y =− ,点 A 的坐标为(−1,1) ，设点B(m −1,5 − n)是反比例函数y =− 图象上的“制高点”，求得点 B ，C 的坐标分别为B(1+ ,1 − ) ， C (1 − ,1 + )，由 MBC 面积与 ABC 的面积相等，得到MA∥BC ，分两种情况讨论即可求解；
（3）利用根与系数的关系求得x1 − x2 = ，根据题意求得 − < < − , 再根据二次函数的性质求解即可．
【小问 1 详解】
解：设正比例函数y = x 图象上“制高点”的坐标为(m −1，5 − n) ，
〔m − n = −2
根据题意得{ ，
lm −1 = 5 − n
〔m = 2
解得{ ， ln = 4
:正比例函数y = x 图象上“制高点” 的坐标为(1,1) ； 【小问 2 详解】
解：设点A 的坐标为(m, n) ，
根据题意得 ，整理得m2 + 2m − k = 0 ，
k “ ”
∵点A 是反比例函数y = x 图象上唯一的 立足点 ， :Δ = 22 − 4 (−k ) = 0 ，
解得k =− 1 ，
1
:反比例函数的解析式为y =− ,
x
当k =− 1 时，m2 + 2m +1 = 0 ，解得m :点A 的坐标为(−1,1) ，
设点B(m -1,5 - n)是反比例函数y = - 图象上 “制高点”， 〔 m - n = -2
根据题意得{ -1 ，
l5 - n = m - 1
消去n 并整理得m2 - 4m + 2 = 0 ，解得m1 = 2 + ， m2 = 2 - ， :n1 = 4 + ，n2 = 4 - ，
:点 B ，C 的坐标分别为B(1+ ,1 - ) ， C (1- ,1 + )，设直线BC 的解析式为y = ax + b ，
〔a = -1解得{ ，
lb = 2
:直线BC 的解析式为y = -x + 2，
∵ △MBC 面积与 △ABC 的面积相等， :MA∥BC ，
可设直线MA 的解析式为y = -x + b1 ，
将 A(1,1)代入得b = 0 ，
:直线MA 的解析式为y = -x ，联立得- = -x ，
解得x = 1 或x=- 1 ， :M (1, -1) ，
在y = -x + 2 中，令x = 0 ，则 y = 2 ，
将直线y =−x 向上平移 4 个单位的直线y = −x + 4 ，
1
直线y = −x + 4 与双曲线y =− 的交点为M ，
x
此时也满足△MBC 面积与 ABC 的面积相等，
1
联立得 − = −x + 4 ，
x
解得x = 2 + 或x = 2 − ,
将x = 2 + 或x = 2 − 分别代入y = −x + 4 ，得y = 2 − 或y = 2 + ，
:M (2 + , 2 − ) 或M (2 − , 2 + )，
综上，点 M 的坐标为(1, −1) 或(2 + , 2 − )或(2 − , 2 + )； 【小问 3 详解】
解： ∵ a + b + c = 0 ，且 a > 2b > 3c ，
: a > 0 ，c < 0 ，b = − (a + c)，
: ax2 + (2b −1)x + 3c + 2 = −x + 2 ， : ax2 + 2bx + 3c = 0 ，
:x1 + x2 = − , x1x2 = ，
: x1 − x2 = =
由a > 2b = −2 (a + c) ，得 >− ;
由2b = −2 (a + c) > 3c ，得 0 时，如图 1，在 AB 下方有一个点P ，上方必有两个点P 满足条件，点Q 坐标为(0, -6) ，
: 直线PQ 的关系式为：y = -x - 6 ，
令y = ax2 - (1+ 2a )x + 2 - 3a = -x - 6 ，整理得：ax2 - 2ax + 8 - 3a = 0 ，
Δ = 4a2 - 4a (8 - 3a) = 0 ，
解得：a = 2 ，
:b = -1- 2a = -5, c = 2 - 3a = -4 ，
:y = 2x2 - 5x - 4 ；
② a b > c 时，求线段 CD 长度 L 的取值范围．
【解析】
【分析】（1）根据“双语点” 的定义解答即可；
（2）将S(x,2x )代入抛物线整理得- 1 x2 + 2 mx - 2 m2 - m +1 = 0 ，由抛物线有 2 个双语点可知 Δ > 0 ，求出2 3 9
m b > c 可得 ，由双语点的定义得ax2 + 2 (b +1)x + c = 2x，整理得ax2 + 2bx + c = 0，求出 x1 + x x1 . x2 = ，然后根据两点间的距离公式求解即可．
【小问 1 详解】
:y = 存在“双语点”；
∵当2x = 2x +1时，方程无解， :y = 2x +1不存在“双语点”；
∵当2x = x2 + 2时，
x2 - 2x + 2 = 0 ，
Δ = (-2)2 - 4×1× 2 = -4 < 0 ，方程无解， :y = x2 + 2 存在“双语点”；
故答案为：√ , × , × ;
【小问 2 详解】
设抛物线y = - x2 + (|( m + 2), x - m2 - m +1“双语点” 的坐标为S(x,2x ) ，将点 S 的坐标代入抛物线中得：
∵“双语点”为A(x1, y1 ) 和B(x2, y2 ) ，
则x1 + x2 = ，x1x2 = m2 + 2m - 2 ， ( 2 )2 ( 1 )( 2 2 )
Δ = | m - 4× | - | - m - m +1 > 0 ，
(3 , ( 2 ,( 9 ,
:-2m + 2 > 0 ， :m < 1，
又∵(1- x1 )-1 + x2 = 1，
3 9 2 2
化简得：x1 + x2 = x1x2 ， 4 m = 4 m2 + 2m- 2 ，m1 = -3 ，m = 3 （舍去），
综上所述m = -3 ；小问 3 详解】
∵ a + b + c = 0 ，:b = -a - c ，
c 1
∵ a > b > c ，:a > -a-c > c 且a > 0 ，:-2 < < - ，
a 2
∵ax2 + 2 (b +1)x + c = 2x ，:ax2 + 2bx + c = 0 ，
c
a
=
:x1 + x2 = − , x1 . x2
,
L = = =
( c )2 c ( c 1 )2 3
= 2 . |( a, + a +1 ， = 2 . · (| a + 2 , + 4 ，
∵ −2 < < − , : < L < 2 ．
【点睛】本体考查了新定义，一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，两点间的距离公式，理解双语点的含义是解答本题的关键．
【2026 届习题 5】我们约定：若抛物线 C1 : y = ax2 + bx+ c （ a ≠ 0 ，b ≠ 0 且a ≠ b ），抛物线C2 : y = bx2 + cx + a 则称C1 与C2 互为“湘一相依抛物线”．例如：抛物线C1 : y = −x2 + 2x + 3 与抛物线C2 : y = 2x2 + 3x −1就是一组“湖一相依抛物线” ．根据该约定，解答下列问题：
（1）已知抛物线C1 : y = −2x2 + x − 5 ，求其“湘一相依抛物线” C2 的解析式；
（2）若抛物线 C1 : y = ax2 − ax + 2c 的顶点在其“ 湖一相依抛物线” C2 的图象上，试求出抛物线 C2 的图象经过的定点坐标；
（3）已知抛物线 C1 : y = mx2 + nx + t（m，n，t 为实数且m ≠ 0 ，m ≠−1）与 y 轴交于点 A，其“湘一相依抛物线” C2与y 轴交于点 B（点 A 在点 B 的上方）．抛物线C1 与C2 的图象始终有一交点 C 在与x 轴垂直的定直线上运动．当AC 丄 BC ， AC = BC ，且 m ，n ，t 满足：m − 2n − t ≤ m2 ≤ 4m + 2n+ t 时，抛物线C2 与直线y = −x +1 交于 M，N两点，求线段 MN 长度的取值范围．
【小问 1 详解】
解：由题意，得：抛物线C1 的“ 湘一相依抛物线” C2 的解析式为y = x2 − 5x − 2 ； 【小问 2 详解】
( 1 1 )
:顶点坐标为：(|2 ,2c − 4 a, ，
∵抛物线C1 的“ 湘一相依抛物线” C2 的解析式为y = −ax2 + 2cx + a ，且抛物线C1 的顶点在C2 的图象上，
1 1
: 2c - a = - a + c + a ，
4 4 : c = a ，
:y = -ax2 + 2ax + a ，
:当y = 0 时，-ax2 + 2ax + a = 0 ，解得： x1 = 1+ , x2 = 1- ， :抛物线C2 过定点：(1+ , 0), (1 - , 0)；
【小问 3 详解】
抛物线C1 ：y = mx2 + nx + t 的“ 湘一相依抛物线” C2 的解析式为y = nx2 + tx + m ，联立 解得：x1 = 1, x
: C(1, m + n + t ) ，
对于C1 ：y = mx2 + nx + t ，当 x = 0 时，y = t ， : A(0,t )，
同理：B (0, m)，
∵点A 在点 B 上方， : AB = t - m ，
∵ AC 丄 BC ， AC = BC ， : AB = t - m = 2 ，
∵ = m + n + t ， 2
: t = 2 + m ， m + t
:m = -n -1, t = -n +1，
: C1 : y = - (n +1)x2 + nx - n +1 ， C2 : y = nx2 + (-n +1)x - n -1，
∵ m - 2n - t ≤ m2 ≤ 4m + 2n+ t ，
:2 ≤ m ≤ 3 ，
:2 ≤ -n -1≤ 3 ， :-4 ≤ n ≤ -3 ，
联立 x - n -1 ，整理，得： nx2 + (-n + 2)x - n - 2 = 0 ，设nx2 + (-n + 2)x - n - 2 = 0 的两个根为x1 , x2 ，
则：x1 + xx1x
2 2 ( 2 )2 4 ( 1 1 )2
:(x1 - x2 ) = (x1 + x2 ) - 4x1x2 = (| n, + n + 5 = 4 (| n + 2 , + 4 ，
∵ y1 = −x1 +1, y2 = −x2 +1，
∴ y1 − y2 = x2 − x1 ，
当 −4 ≤ n ≤ −3时，则：
∴ 当 时，MN2 有最小值为8 ，此时MN最小为2 ，当 时，MN2 有最大值为 ，此时MN最大为 ，综上： MN
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的最值，根与系数的关系，两点间的距离公式等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，掌握“湘一相依抛物线” 的定义，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．
【2026 届习题 6】分析：（1）先由“梦之点”的定义得出m = 2，再将点P 坐标代入y = ，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）假设函数y = 3kx + s −1（ k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”（ x ，x ），则有x = 3kx + s −1 ，整理得(3k −1)x = 1 − s，再分三种情况进行讨论即可；
（3）先将A(x1 ，x1 ) ，B (x2 ，x2 ) 代入y = ax2 + bx +1，得到 axEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),1) + (b −1)x1 +1 = 0 ，axEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) + (b −1)x2 +1 = 0 ，根据方
程的解的定义可知x1 ，x2 是一元二次方程ax2 + (b −1)x +1 = 0 的两个根，由根与系数的关系可得x1 + x
x1 . x2 − 4x1 . x ，整理得出b2 − 2b = (2a +1)2 − 2 ，则
t = b2 − 2b ．再由 −2 < x1 < 2 ， x1 − x2 = 2 ，得出 −4 < x2 < 4 ， −8 < x1 . x2 < 8 ，即 −8 < < 8 ，又 a > 0 ，解不等式组得出a > ，进而求出t 的取值范围．
解答：解：（1） ∵点P(2 ，m) 是“梦之点”， ∴ m = 2 ，
∵点P(2 ，2)在反比例函数y = （n 为常数，n ≠ 0 ）的图象上， ∴ n = 2× 2 = 4 ，
∴反比例函数的解析式为y = ；
（2）假设函数y = 3kx + s −1（ k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”（ x ，x ），则有x = 3kx + s −1 ，
整理，得(3k −1)x = 1 − s ，
当3k −1 ≠ 0 ，即 k ≠ 时，解得x = ；
当3k −1 = 0 ，1− s = 0，即 k = ，s = 1时， x 有无穷多解；
当3k −1 = 0 ，1− s ≠ 0，即 k = ，s ≠1时， x 无解；
1 “ ” ( 1 − s 1 − s ) 1 “ ” \l "bkmark16" 1
3 (3k −1 3k −1, 3 \l "bkmark17" 3
综上所述，当k ≠ 时， 梦之点 的坐标为| ， ；当 k = ，s = 1时， 梦之点 有无数个；当k = ，s ≠1
时，不存在“梦之点”；
（3）∵二次函数u = ax2 + bx +1（a ，b 是常数，a > 0 ）的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1 ，x1 ) ，B (x2 ，x2 ) ， ∴ x1 = axEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),1) + bx1 +1，x2 = axEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),2) + bx2 +1，
∴ axEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),1) + (b −1)x1 +1 = 0 ，axEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),2) + (b −1)x2 +1 = 0 ，
∴ x1 ，x2 是一元二次方程ax2 + (b −1)x +1 = 0 的两个不等实根，
2 2 (1 − b )2 1 b2 − 2b +1
∴ (x1 − x2 ) = (x1 + x2 ) − 4x1 . x2 = (| a , − 4 . a = a2 = 4 ，
∴ b2 − 2b = 4a2 + 4a −1 = (2a +1)2 − 2 ，
∵ −2 < x1 < 2 ， x1 − x2 = 2 ， ∴ −4 < x2 < 0 或0 < x2 < 4 ，
∴ −4 < x2 < 4 ，
∴ −8 < x1 . x2 < 8 ，
∵ a > 0 ，
1
∴ a >
8
∴ (2a +1)2 + 61 > 25 + 61 = 17 ，
48 16 48 6
点评：本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，形如ax = b 的方程的解的情况，一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质等知识，综合性较强，有一定难度．
【2026 届习题 7】在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
（1）求函数 y=x+2 的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数 y=（k≠0 ，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数 k 的值与相应“中国结”的坐标；
（3）若二次函数 y=（k2 -3k+2）x2+（2k2 -4k+1）x+k2 -k（k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
考点：
反比例函数综合题．
分析：
（1）因为 x 是整数，x≠0 时，x 是一个无理数，所以x≠0 时，x+2 不是整数，所以 x=0，y=2，据此求出函数 y=x+2 的图象上所有“中国结”的坐标即可．
（2）首先判断出当 k=1 时，函数 y=（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1 ，1）、（ - 1 、 -1）；然后判断出当 k≠1 时，函数 y=（k≠0 ，k 为常数）的图象上最少有 4 个“中国结”，据此求出常数 k 的值与相应“中国结”的坐标即可．
（3）首先令（k2 -3k+2）x2+（2k2 -4k+1）x+k2 -k=0，则[（k -1）x+k][（k-2）x+（k -1）]=0，求出x1 、x2 的值是多少；然后根据 x1 、x2 的值是整数，求出 k 的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．
解答：
解：（1） ∵x 是整数，x≠0 时，x 是一个无理数，
:x≠0 时，x+2 不是整数，
:x=0 ，y=2，
即函数 y=x+2 的图象上“中国结”的坐标是（0 ，2）．
（2）①当k=1 时，函数 y=（k≠0 ，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： （1 ，1）、（ -1 、 -1）；
②当k= -1 时，函数 y=（k≠0 ，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： （1 ， -1）、（ -1，1）．
②当k≠1 时，函数 y=（k≠0 ，k 为常数）的图象上最少有 4 个“中国结”：
（1 ，k）、（ -1 ， -k）、（k，1）、（ -k， -1），这与函数 y=（k≠0 ，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，
综上可得，k=1 时，函数 y=（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（ -1、-1）；
k= -1 时，函数 y=（k≠0 ，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1 ， -1）、（ -1 、1）．
（3）令（k2 -3k+2）x2+（2k2 -4k+1）x+k2 -k=0，则[（k -1）x+k][（k-2）x+（k -1）]=0，
:
:k= ，
整理，可得
x1x2+2x2+1=0，
:x2（x1+2）= -1， ∵x1 、x2 都是整数，
或 或 时，
:
:
①当
∵
:k=； ②当
∵
,
时，
,
:k=k -1，无解；综上，可得
k= ，x1= -3 ，x2=1，
y=（k2 -3k+2）x2+（2k2 -4k+1）x+k2 -k
= -x2 - x
①当 x= -2 时，
y= -x2 - x
=×（ -2）2×（ -2）+
=
②当 x= -1 时，
y= -x2 - x
=×（ -1）2×（ -1）+
=1
【2026 届习题 8】若 抛 物 线 L：y= ax 2 +bx+ c（ a ，b ，c 是常数， abc≠0 ） 与 直 线 l 都 经 过 y 轴 上 的 一点 P，且 抛 物 线 L 的顶点 Q 在直线 l 上，则 称 此 直 线 l 与 该 抛 物 线 L 具有 “一 带 一路 ”关 系．此 时 ，直线 l 叫 做 抛 物 线 L 的 “带线 ”， 抛 物 线 L 叫做直线 l 的 “路线 ”．
（ 1）若直线 y= mx+ 1 与抛物线 y= x 2 - 2x+ n 具有 “一 带 一路 ” 关 系 ， 求 m ，n 的值；
（2）若 某 “路线 ”L 的 顶 点 在反 比例 函 数 y= 的 图 象 上 ，它 的 “带线”l 的 解析 式 为 y= 2x - 4 ，求 此“路线 ”L 的解析式；
（3）当常数 k 满足 ≤k ≤2 时 ， 求 抛 物 线 L：y = ax 2 + （ 3k2 - 2k+ 1 ）x + k 的 “带线”l 与 x 轴， y 轴所围成的三角形面 积 的取值范围．
【分析】（ 1 ）找 出 直 线 y= mx+ 1 与 y 轴 的 交 点 坐 标，将 其 代 入 抛 物 线 解析 式 中 即 可 求 出 n 的值；再根据抛物线的解 析 式找出顶点坐标， 将 其代入直线解析式 中 即可得出结论；
（2） 找 出 直 线 与反 比 例 函 数 图 象 的 交 点 坐 标 ， 由 此 设 出 抛 物 线 的 解析 式 ，再 由 直 线 的 解析 式 找出直线与 x 轴 的 交 点 坐 标 ，将 其 代 入 抛 物 线 解析 式 中 即 可 得 出 结 论；
（3） 由 抛 物 线 解析 式 找 出 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 坐 标 ， 再 根 据 抛 物 线 的 解 析 式 找 出 其 顶 点 坐 标，由两点坐标结合待 定 系数法即可得出与 该 抛物线对应的 “带线”l 的解析式，找出该 直 线与 x 、y轴的交点坐标，结 合 三角形的面积找出 面 积 S 关于 k 的 关 系 上 ， 由 二 次 函 数 的 性 质 即 可 得 出 结论．
【解答】 解：（ 1） 令 直 线 y= mx+ 1 中 x= 0，则 y= 1，即直线与 y 轴 的 交 点 为（ 0 ， 1）；
将（ 0 ， 1） 代 入 抛 物 线 y= x 2 - 2x+ n 中，得 n= 1．
∵ 抛 物 线 的 解析 式 为 y = x 2 - 2x+ 1= （ x - 1） 2 ， : 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为（ 1 ， 0） ．
将点（ 1 ， 0） 代 入 到 直 线 y= mx+ 1 中，得： 0= m+ 1，解得： m= - 1．
答： m 的值为 - 1 ，n 的值为 1．
（2）将 y= 2x - 4 代 入 到 y= 中有，
2x - 4= ，即 2x 2 - 4x - 6= 0，
解得： x 1 = - 1 ， x 2 =3 ．
: 该 “路线 ”L 的 顶 点 坐 标 为（ - 1 ， - 6）或（ 3 ， 2） ．令 “带线”l： y= 2x - 4 中 x= 0 ，则 y= - 4，
: “路线 ”L 的 图 象 过 点（ 0 ， - 4） ．
设该 “路线 ”L 的 解析 式 为 y= m（x+ 1） 2 - 6 或 y= n （ x - 3） 2 +2，由题意得： - 4= m（0 + 1） 2 - 6 或 - 4= n （ 0 - 3） 2 +2，
③当 x=0 时，y=，
综上，可得
若二次函数 y=（k2 -3k+2）x2+（2k2 -4k+1）x+k2 -k（k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，
该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有 6 个“中国结”：（ -3，0）、（ -2，0）、 （ -1，0）（ -1 ，1）、（0 ，0）、（1，0）．
点评：
（1）此题主要考查了反比例函数问题，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握反比例函数的图象和性质．
（2）此题还考查了对新定义“中国结”的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
解得： m= 2 ，n= - ．
: 此 “路线 ”L 的 解析 式 为 y= 2 （x+ 1） 2 - 6 或 y= - （ x - 3） 2 +2．
（3）令抛物线 L：y= ax 2 + （ 3k2 - 2k+ 1 ）x+ k 中 x= 0 ，则 y= k，
即该抛物线与 y 轴 的 交 点 为（ 0 ，k） ．
抛物线 L：y= ax 2 + （ 3k 2 - 2k+ 1 ）x+ k 的 顶 点 坐 标 为（ - ， ），设 “带线”l 的解析式为 y=px+ k，
∵ 点（ - ， ）在 y=px+ k 上，
: = - p +k，
解得： p= ．
: “带线”l 的解析式为 y= x+ k．
令 “带线”l： y= x+ k 中 y= 0，则 0= x+ k，
解得： x= - ．
即 “带线”l 与 x 轴 的 交 点 为（ - ， 0），与 y 轴的交点为（ 0 ，k ）．
: “带线”l 与 x 轴， y 轴所围成的三角形 面 积 S= | - | × | k| ，
∵ ≤k≤2，
: ≤ ≤2，
: S= = = ，
当 =1 时， S 有 最 大值 ， 最 大值 为 ；
当 =2 时， S 有 最 小值 ， 最 小值 为 ．
故抛物线 L：y= ax 2 + （ 3k2 - 2k+ 1 ）x+ k 的 “带线”l 与 x 轴， y 轴 所 围 成 的 三 角 形 面 积 的 取 值 范 围
为 ≤S≤ .
【点评】 本 题 考 查 了反 比例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题 已 经 二 次 函 数 的 应 用 ， 解 题 的 关键 是：
（ 1）根据 “一 带 一 路 ” 关系找出两函数的 交 点坐标；（2） 根 据 直 线 与反 比例 函 数 的 交 点 设 出 抛物 线 的 解析 式；（ 3 ）找 出 “带线”l 与 x 轴、 y 轴 的 交 点 坐 标 ． 本 题 属 于 中 档 题 ，（ 1 ）（2 ）难 度不 大；（ 3）数 据 稍 显 繁 琐，解 决 该 问 时，借 用 三 角 形 的 面 积公 式 找 出 面 积 S 与 k 之 间 的 关 系 式 ，再利用二次函数的 性 质找出 S 的 取值 范 围．
【2026 届习题 9】若三个非零实数 x ，y，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 x ，y ，z 构成“和谐三组数”．
（1）实数 1 ，2，3 可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；
（2）若 M（t ，y1），N（t+1 ，y2），R（t+3 ，y3 ）三点均在函数 y=（k 为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标 y1 ，y2 ，y3 构成“和谐三组数”，求实数 t 的值；
（3）若直线 y=2bx+2c（bc≠0）与 x 轴交于点 A（x1 ，0），与抛物线 y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于 B（x2 ，y2），C （x3 ，y3）两点．
①求证：A ，B ，C 三点的横坐标x1 ，x2 ，x3 构成“和谐三组数”；
②若 a＞2b＞3c，x2=1，求点 P（ ，）与原点 O 的距离 OP 的取值范围．
【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；
（2）把 M 、N 、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用 t 和 k 分别表示出 y1 、y2 、y3 ，再由和谐三组数的定义可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值；
（3）①由直线解析式可求得 x1= -，联立直线和抛物线解析式消去 y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得 x2+x3= - ，x2x3=，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c=0，可得 c= -（a+b），由 a >2b＞3c 可求得的取值范围，令 m=，利用两点间距离公式可得到 OP2 关于 m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得 OP2 的取值范围，从而可求得 OP 的取值范围．
【解答】解：
（1）不能，理由如下：
∵ 1 、2、3 的倒数分别为 1、 、，
:+≠1 ，1+≠ , 1+≠
:实数 1 ，2 ，3 不可以构成“和谐三组数”；
（2） ∵M（t，y1），N（t+1 ，y2），R（t+3，y3 ）三点均在函数（k 为常数，k≠0）的图象上，
:y1 、y2 、y3 均不为 0，且 y1= ，y2= ，y3=，
:= ，= ， = ，
∵y1 ，y2 ，y3 构成“和谐三组数”， :有以下三种情况：
当=+时，则=+，即 t=t+1+t+3，解得 t= -4；
当=+时，则=+，即 t+1=t+t+3，解得 t= -2；
当=+时，则=+，即 t+3=t+t+1，解得 t=2；
:t 的值为 -4 、 -2 或 2；
（3）①∵a、b、c 均不为 0， :x1 ，x2 ，x3 都不为 0，
∵直线 y=2bx+2c（bc≠0）与 x 轴交于点 A（x1 ，0），
:0=2bx1+2c，解得 x1= -，
联立直线与抛物线解析式，消去 y 可得 2bx+2c=ax2+3bx+3c，即 ax2+bx+c=0， ∵直线与抛物线交与 B（x2 ，y2），C（x3 ，y3）两点，
:x2 、x3 是方程 ax2+bx+c=0 的两根，
:x2+x3= - ，x2x3=，
:+=== - =，
:x1 ，x2 ，x3 构成“和谐三组数”；
②∵x2=1，
:a+b+c=0 ， :c= -a -b ， ∵a＞2b＞3c，
:a＞2b＞3（ -a-b），且 a＞0，整理可得，解得 -< < ,
∵P ( , )
:OP2=（ ）2+（ ）2=（ ）2+（ ）2=2（ ）2+2+1=2（ +）2+，
令 m=，则 -＜m＜且 m≠0，且 OP2=2（m+）2+，
∵2＞0，
:当 -＜m＜ -时，OP2 随 m 的增大而减小，当 m= -时，OP2 有最大值，当 m= -时，OP2 有最小值 ,
当 -＜m＜时，OP2 随 m 的增大而增大，当 m= -时，OP2 有最小值，当 m=时，OP2 有最大值，
:≤OP2＜且 OP2≠1，
∵P 到原点的距离为非负数，
:≤OP＜且 OP≠1．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在（1）中注意利用和谐三数组的定义，在（2）中由和谐三
数组得到关于 t 的方程是解题的关键，在（3）①中用 a、b、c 分别表示出x1 ，x2 ，x3 是解题的关键，在（3）②中把 OP2 表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大． 【2026 届习题 10】已知抛物线y ＝ -2x2+（b-2）x+（c-2020）（b，c 为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为（1 ，1），求 b ，c 的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 c 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数 m ，n（m＜n），当 m≤x≤n 时，恰好≤≤,求 m ，n 的值． 【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式 y ＝ -2x2+（b-2）x+（c-2020）可知，y ＝ -2（x -1）
2+1，易得 b 、c 的值；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0 ），（ -x0 ， -y0 ），代入函数解析式，经过化简得到 c ＝2x02+2020，易得 c≥2020；
（3）由题意知，抛物线为 y ＝ -2x2+4x -1 ＝ -2（x -1）2+1，则 y≤1 ．利用不等式的性质推知：，易得 1≤m＜n．由二次函数图象的性质得到：当 x ＝m 时，y 最大值 ＝ -2m2+4m -1．当 x ＝n 时，y 最小值 ＝ -2n2+4n -1．所以 ＝ -2m2+4m -1 ， ＝ -2n2+4n -1 通过解方程求得 m 、n 的值．
【解答】解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y ＝ -2（x -1）2+1 ＝ -2x2+4x -1．
:．
:b ＝6，c ＝2019．
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0 ），（ -x0 ， -y0），
代入解析式可得：．
:两式相加可得： -4x02+2（c-2020）＝0． :c ＝2x02+2020，
:c≥2020；
（3）由（1）可知抛物线为y ＝ -2x2+4x -1 ＝ -2（x -1）2+1． :y≤1．
∵0＜m＜n，当 m≤x≤n 时，恰好≤≤ ,
:≤ .
:．
:≤1，即 m≥1．
:1≤m＜n．
∵抛物线的对称轴是 x ＝1，且开口向下， :当 m≤x≤n 时，y 随x 的增大而减小．
:当 x ＝m 时，y 最大值 ＝ -2m2+4m -1．
当 x ＝n 时，y 最小值 ＝ -2n2+4n -1．
又，
:．
将①整理，得 2n3 -4n2+n+1 ＝0，
变形，得 2n2（n -1） -（2n+1）（n -1）＝0． :（n -1）（2n2 -2n -1）＝0．
∵n＞1，
:2n2 -2n -1 ＝0．
解得 n1 ＝（舍去），n2 = .
同理，由②得到：（m -1）（2m2 -2m -1）＝0． ∵1≤m＜n，
∴2m2 -2m -1 ＝0．
解得 m1 ＝1，m2 ＝（舍去），m3 ＝（舍去）．
综上所述，m ＝1，n = .
【点评】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法．该题计算量比较大，需要细心解答．难度较大．
【2026届习题 11】我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数” ，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点” ，根据该约定，完成下列各题
（1）在下列关于 x 的函数中，是“H 函数” 的，请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“H 函数” 的打“×”
m
① y = 2x ( ) ② y = (m ≠ 0 ) ( ) ③ y = 3x −1 ( )
x
（2）若点 A(1, m)与点B(n, −4) 关于 x “H 函数” y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x = 2 的右侧，求a, b, c 的值域或取值范围；
（3）若关于 x 的“H 函数” y = ax2 + 2bx + 3c （a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：① a + b + c = 0 ，② (2c + b − a)(2c + b + 3a) < 0 ，求该 H 函数截 x 轴得到的线段长度的取值范围．
【答案】（1）√ ; √ ; ×；（2）-1＜a＜0 ，b=4，0＜c＜0；（3）2＜ x1 − x2 ＜2 ．
【解析】
【分析】
（1）根据“H 函数” 的定义即可判断；
（2）先根据题意可求出 m,n 的取值，代入y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 得到 a,b,c 的关系，再根据对称轴在 x=2 的右侧即可求解；
（3）设“H 点”为（p,q）和（-p,-q）,代入y = ax2 + 2bx + 3c 得到 ap2+3c=0,2bp=q，得到 a,c 异号，再根据 a+b+c=0，代入(2c + b − a)(2c + b + 3a) < 0 求出 的取值，设函数与 x 轴的交点为（x1,0）（x2,0），t= ，利用根与系数的关系得到 x1 − x2 = ，再根据二次函数的性质即可求解．
” m ” ”
【详解】（1）① y = 2x 是 “H 函数 ② y = x (m ≠ 0 ) 是 “H 函数 ③ y = 3x −1 不是 “H 函数 ；故答案为：√ ; √ ; × ;
（2） ∵A,B 是“H 点” ∴A,B 关于原点对称， ∴m=4,n=1
∴A(1,4），B（-1 ，-4）
代入y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
得
〔a + b + c = 4 {
la − b+ c = −4
解得
〔b = 4 {
la + c = 0
又∵该函数的对称轴始终位于直线x = 2 的右侧，
b
:- ＞2
2a
4
:- ＞2
2a
:-1＜a＜0
∵a+c=0
:0＜c＜0，
综上，-1＜a＜0 ，b=4 ，0＜c＜0；
（3） ∵ y = ax2 + 2bx + 3c 是“H 函数” :设 H 点为（p,q）和（-p,-q）,
解得 ap2+3c=0,2bp=q ∵p2＞0
:a,c 异号，
:ac＜0
∵a+b+c=0 :b=-a-c，
∵(2c + b − a)(2c + b + 3a) < 0
:(2c − a − c − a)(2c − a − c + 3a) < 0
:(c − 2a)(c + 2a) < 0 :c2＜4a2
:
c2
a2
0 时，h ，k < 0 时，h
（2）
（3）t = 2 时，存在k
【解析】
【分析】（1）①根据新定义结合正比例函数的性质即可求解；
②根据新定义结合一次函数的性质即可求解；
（2）根据新定义结合反比例函数的性质列出h，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据新定义结合二次函数的性质即可求解． 【小问 1 详解】
解：①当t = 1时，则 y = 4044x ，k = 4044 > 0 ，y 随x 的增大而增大，
②若函数y = kx + b，当 k > 0 时，t x ≤ t
当k < 0 时，则M = k b, N = k b ，
k k
综上所述，k > 0 时，h = ，k < 0 时，h =− ,
2 2
【小问 2 详解】
解：对于函数y ，
2 > 0 ，x ≥ 1，函数在第一象限内，y 随x 的增大而减小，
解得t ≥ ,
当t x ≤ t 时，
∵ 当t ≥ 时，4t2 −1随t 的增大而增大，
: 当t 时，4t2 −1取得最小值，此时h 取得最大值，最大值为h
【小问 3 详解】
对于函数y = −x2 + 4x + k = − (x − 2)2 + 4 + k ， a = − 1 < 0 ，抛物线开口向下，
x < 2 时，y 随x 的增大而增大，
x > 2 时，y 随x 的增大而减小，
当x = 2 时，函数y 的最大值等于4 + k ，在t x ≤ t 时，
1 3 ( 1 )2 ( 1 ) ( 1 )2 ( 1 )
①当t + 2 < 2 时，即t < 2 时，N = − |(t − 2 , + 4(|t − 2 , + k ，M = − |(t + 2 , + 4(|t + 2 , + k ，
M − N 1〔 ( 1 )2 ( 1 ) 「 ( 1 )2 ( 1 ) 7)
: h = = {− |t + + 4 |t + + k − |− |t − + 4 |t − + k | } = 2 − t ，
2 2 l ( 2 , ( 2 , |L ( 2 , ( 2 , 」|,
: h 的最小值为 （当 t = 时），
若 = 4 + k，解得k =− ,
但t < ，故 k =− 不合题意，故舍去；
2 2 ( 2 , ( 2 , ( 2 , ( 2 ,
②当t − 1 > 2 时，即t > 5 时，M = − |(t − 1 ) 2 + 4(|t − 1 ) + k ，N = − (|t + 1 ) 2 + 4(|t + 1 ) + k ，
: h = = t − 2 ，
: h 的最小值为 （当 t = 时），若 1 = 4 + k ，解得k =− 7 ，
2 2
但t > ，故 k =− 不合题意，故舍去
③当t − 1 ≤ 2 ≤ t + 1 时，即 3 ≤ t ≤ 5 时，M = 4 + k ，
2 2 2 2
( 1 ) ( 1 ) 3
i)当2 − (|t − 2 , ≥ (|t + 2 , − 2 时，即 2 ≤ t ≤ 2 时
( 1 )2 ( 1 )
N = − (|t − 2 , + 4(|t − 2 , + k
( 1 )2 ( 1 )
4 + k + |t − − 4 |t − − k
h = M − N = ( 2 , ( 2 , = 1 t2 − 5 t + 25
2 2 2 2 8 : 对称轴为t = ， > 0 ，抛物线开口向上，在 ≤ t ≤ 2 上，
1
当t = 2 时，h 有最小值 ，
8
: = 4 + k 解得k =−
( 1 ) ( 1 ) 5
i i)当 2 − (|t − 2 , ≤ (|t + 2 , − 2 时，即2 ≤ t ≤ 2 时，M = 4 + k ，
( 1 )2 ( 1 )
N = − (|t + 2 , + 4(|t + 2 , + k ，
对称轴为t ，抛物线开口向上，在2< t ≤ 上，当t = 2 时，h 有最小值 ，
解得k
综上所述，t = 2时，存在k
【点睛】本题考查了函数新定义，要掌握一次函数，反比例数，二次函数的性质，难点在于分类讨论时，t 的取值范围的取舍．
【2026 届习题 13】
【答案】（1）解：由题意可知：a2 = c2 ，a1 = c2 ，b1 = —b2 ≠ 0， :m = 3 ，n = 2 ，k = —1．
答：k 的值为—1，m 的值为 3，n 的值为 2．
（2）解：①∵点P(r ，t)与点Q(s ，t)(r ≠ s)始终在关于 x 的函数y1 = x2 + 2rx + s的图像上运动， :对称轴为x ，:s = —3r，:y2 = sx2 — 2xx + 1 ，:对称轴为x = — = = — ．答：函数y2 的图像的对称轴为x = — ．
②y2 = —3rx2 — 2rx + 1 = —(3x2 + 2x)r + 1，令3x2 + 2x = 0，解得x1 = 0 ，x :过定点(0 ，1) ，( — ，1) ．答：函数 y2 的图像过定点(0 ，1) ，( — ，1)．
（3）解：由题意可知y1 = ax2 + bx + c ，y2 = cx2 — bx + a ，:A( — ， ) ，B( ， )，
:CD EF ∵CD = EF且b2 — 4ac > 0，:|a| ＝|c|；
①若a = —c，则y1 = ax2 + bx — a ，y2 = —ax2 — bx + a，要使以 A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能构成正方形，
则△ CAD ， △ CBD为等腰直角三角形，
:CD = 2|yA b2 + 4a2 ，:b2 + 4a2 = 4，
:S正 = CD2 = . = . = ， ∵b2 = 4 — 4a2 > 0 ，:0 < a2 < 1 ，:S正 > 2；
②若a = c，则 A 、B 关于 y 轴对称，以 A ，B ，C ，D 为顶点的四边形不能构成正方形，综上，以 A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能构成正方形，此时S > 2．
【2026 届习题 14】
【答案】（1）① ( √ ); ② ( √ ); ③ (×) （2） （3）a >
【解析】
【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点” ， “对偶函数” 的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性质进行分析得出结果；
（2）由题意可得x2 =−y1 ，y2 = −x1 ，得出 b1 从而求出k1 = 1 ，k2 = 1 ，得出两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出图形得出结果；
（3）由题意可得a ≠ 0 ，且x1 ≠ −y1 时，有 ，整理得到2ax 利用关于 x1 的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可．
【小问 1 详解】
解： (x1 + y2 )2 + (x2 + y1 )2 = 0 ，且 (x1 + y2 )2 ≥ 0 ，(x2 + y1 )2 ≥ 0 ，
:(x1 + y2 )2 = 0 ，(x2 + y1 )2 = 0 ，
:x1 = −y2 ，x2 =−y1 ，
①函数y （k 是非零常数）的图象上，x1y1 = x2y2 ，满足x1 =−y2 ，x2 =−y1 ，故①正确；
②由题意可得x2 =−y1 ， y2 = −x1 ，
则点(x1, y1 ) 与点(−y1, − x1 ) 且x1 ≠ −y1 是一对“对偶点”， 函数y = −2x +1 的图像如下图：
: 函数y = −2x +1 中不存在“对偶点” ，一定不是“对偶函数” ，故②正确；
由题意可得x2 =−y1 ， y2 = −x1 ，
则点(x1, y1 ) 与点(−y1, − x1 ) 且x1 ≠ −y1 是一对“对偶点”，
图中不存 “对偶点” ，故③错误；
故答案为：① ( √ ); ② ( √ ); ③ (×) 【小问 2 详解】
由题意可得x2 =−y1 ， y2 = −x1 ，点 (x1, y1 ) 与点(−y1, − x1 ) 且x1 ≠ −y1 是一对“对偶点” ，由于y = k1x + b1 是“对偶函数” ，则其图象上必存在一对“对偶点”．
从而有 b1 ，两式相减可得k1 = 1 ，同理可得k2 = 1 ．
: 两个一次函数为y = x + b1 ，y = x + b2 ，由于b1 ，b2 都是常数，且b1 .b2 < 0 ，
: 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示
求得其面积之和S = (b12 + b22 )；
【小问 3 详解】
由题意可得a ≠ 0 ，且x1 ≠ −y1 时，有 以上两式相减可得x1 − y
从而将y1 = x
代入①整理可得2ax
此关于x1 的一元二次方程必有实数根，
由于Δ = 1− 8aa = 0 时，x1 = −y 从而必有 Δ = −3 + 8a > 0 ，解得a
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键．