人教版2026届中考数学二轮复习讲义：第 6 讲 三角形相似模型综合

这是一份人教版2026届中考数学二轮复习讲义：第 6 讲 三角形相似模型综合，共22页。学案主要包含了2026 届习题 1，2026 届习题 2，2026 届习题 3，2026 届习题 4，2026 届习题 5，2026 届习题 6，2026 届习题 7，2026 届习题 8等内容，欢迎下载使用。

A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【分析】根据垂直及各角之间的关系可得△ACE 与 是等腰直角三角形，得出 ，利用相似三角形的判定和性质可得△ADE ∽△ABC ， ，代入求解即可得到答案．
【详解】解：BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，
:上AEC = 上ADB = 90O ， 上BAC = 45O，
: △ACE 与 是等腰直角三角形，
:AC = = AE ，AB = = AD ，
又":上DAE = 上BAC ， : △ADE ∽△ABC ，
BC = 2 ，
:DE = ，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握运用各个知识点是解题的关键．
【2026 届习题 2】如图，矩形 ABCD 中，AD = 2 ，AB = 4 ，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 EF 丄 AC 于点 M，连接 AF、CE，求AF + CE 的最小值是 ．
【答案】5
【分析】AF 与EC 两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作CG //EF，且CG = EF ，连接AG，又因点F 是DC 上是一动点，由三角形的边与边关系AF + FG ≥ AG ，只有当点F 在直线AG 上时，AF + FG最小，由平行四边形 CEFG 可知FG = EC 时，可求AF + CE 的最小值
【详解】解：如图所示：过点 C 作CG //EF ，且CG = EF ，连接 FG，
设DF = x ，则 FC = 4 − x ,
当点A 、F、G 三点共线时，AF + FG 的最值小， ∵ CG //EF ，且CG = EF ，
:四边形 CEFG 是平行四边形； :EC //FG ，EC = FG ，
又∵点A 、F、G 三点共线， :AF //EC ，
又∵四边形 ABCD 是矩形，
:AE //DC ， D 90 ，
:四边形AECF 是平行四边形，又∵EF 丄 AC ，
:四边形AECF 是菱形， :AF = FC = 4 − x ，
在RtADF 中，由勾股定理得： AD2 + DF2 = AF2 ，
又∵AD = 2 ，DF = x ，则 AF = 4 − x ，
:22 + x2 = (4 − x)2 ，解得：x
:AF = ，
在RtADC 中，由勾股定理得，
AC2 = AD2 + DC2 = 22 + 42 ，所以 AC = 2 ∴ AM = ，
又∵MF //CG ，
∴ 上AMF = 上ACG ，上AFM = 上AGC ， ∴ △AMF∽ACG ，
即 ∴ AG = 5 ，
又∵AG = AF + FG ，FG = EC ， ∴ AF + EC = 5 ，即最小值是 5 ，故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定．
【2026 届习题 3】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB ＝90° , ∠BAC＝60° , AC＝6，AD 平分∠BAC，交边 BC 于点 D，过点 D 作 CA 的平行线，交边AB 于点 E．
(1)求线段 DE 的长；
(2)取线段 AD 的中点 M，连接 BM，交线段 DE 于点 F，延长线段 BM 交边 AC 于点 G，求的值．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．本号资料全部来*源于微信公众号：数学第六感【详解】（1）解： ∵AD 平分∠BAC， ∠BAC ＝60° ,
∴∠DAC ＝30° ,
在 Rt△ACD 中， ∠ACD ＝90° , ∠DAC＝30° , AC＝6，
∴CD ＝2 ，
在 Rt△ACB 中， ∠ACB ＝90° , ∠BAC ＝60° , AC ＝6， ∴BC ＝6 ，
∴BD＝BC－CD ＝4 ， ∵DE∥CA，
∴ = = ， ∴DE ＝4；
（2）解：如图．
∵点 M 是线段 AD 的中点， ∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴ = .
∴DF＝AG． ∵DE∥CA，
∴ = , = .
∵BD ＝4 ， BC ＝6 ， DF＝AG，
EF 2
∴ = ．
DF 3
【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
【2026 届习题 4】如图，在平行四边形ABCD 中，点 E 是 AD 上一点，AE = 2ED ，连接 BE 交AC 于点 G，延长BE 交 CD 的延长线于点 F，则 的值为( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG ，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和 AE ＝2ED 即可得结果．
【详解】解： ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴ =
∵△ABE∽△DFE，
∵AE ＝2ED， ∴AB ＝2DF，
,
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
【2026 届习题 5】（1）某学校“ 学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目
如图，在△ABC 中，点 O 在线段 BC 上， ∠BAO ＝30° , ∠OAC＝75° , AO ＝ ，BO：CO ＝2：1，求 AB 的长经过数学小组成员讨论发现，过点 B 作 BD∥AC，交AO 的延长线于点 D，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图2）
请回答： ∠ADB = ° , AB =
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图 3 在四边形ABCD 中对角线 AC 与BD 相交于点 O，AC⊥AD，AO = , ∠ABC = ∠ACB ＝75° , BO：OD ＝2：
1，求 DC 的长
【答案】（1）75 ，3 CD
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°,结合∠BOD=∠COA 可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出 OD 的值，进而可得出 AD 的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出 AB=AD 即可求解；
（2）过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E，同（1）可得出AE= 3，在 Rt△AEB 中，利用勾股定理可求出 BE 的长度，再在 Rt△CAD 中，利用勾股定理即可求出 DC 的长．
【详解】解：（1）如图 2 中，过点 B 作 BD∥AC，交 AO 的延长线于点 D，
∵BD∥AC，
∴∠ADB = ∠OAC ＝75° . ∵∠BOD = ∠COA，
∴△BOD∽△COA，
又∵AO = ,
∴OD ＝2AO ＝2 ，
∴AD＝AO+OD ＝3 ．
∵∠BAD ＝30° , ∠ADB ＝75° ,
∴∠ABD ＝180° - ∠BAD - ∠ADB ＝75° = ∠ADB， ∴AB＝AD ＝3 ；
故答案为：75 ，3 ．
（2）如图 3 中，过点 B 作 BE∥AD 交AC 于点 E．
∵AC⊥AD ，BE∥AD，
∴∠DAC = ∠BEA ＝90° . ∵∠AOD = ∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∵BO：OD ＝1 ：3，
∵AO = , ∴EO ＝2 ， ∴AE ＝3 ．
∵∠ABC = ∠ACB ＝75° , ∴∠BAC ＝30° , AB＝AC， ∴AB ＝2BE．
在 Rt△AEB 中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2 ）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE ＝3，
∴AB＝AC＝6，AD
在 Rt△CAD 中，AC2+AD2 ＝CD2，即 62+ CD2，解得：CD （负根已经舍弃）．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，掌握平行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
【2026 届习题 6】如图，在平行四边形 ABCD 中， ∠ABC 的平分线交AC 于点 E，交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G，若 AF＝2FD，则 的值为( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【详解】解：由 AF＝2DF，可以假设 DF＝k，则 AF＝2k，AD ＝3k，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB ＝CD，
∴∠AFB = ∠FBC= ∠DFG ， ∠ABF= ∠G， ∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABF= ∠CBG，
∴∠ABF= ∠AFB = ∠DFG = ∠G， ∴AB ＝CD ＝2k，DF＝DG ＝k，
∴CG ＝CD+DG ＝3k， ∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴ = = = ，
BE AB 2k 2
EG CG 3k 3
故选：C．
【2026 届习题 7】已知RtABC 中，上ACB = 90O ，上CAB = 30O（如图）．以线段 为边向外作等边三角形ABD ，点E 是线段 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点 ．本号#资料*全部来源于微信公众号：数学第六感
（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；
（2）连接CD ，交 于点 ．
①若AB = 6 ，求BM 的长；
1 1 1
②作MN 丄 AC ，垂足为N ，求证： + = ．
BC AD MN
【答案】（1）证明见解析；（2）① BM = 2 ；②证明见解析． 【详解】（1） ∵△ABD 是等边三角形
∴ AD = AB = BD ，上BAD = 上ABD = 上D = 60O在RtABC 中，上CAB = 30O
∴ 上ABC = 60O
∵点E 是线段 的中点
1
∴ CE = BE = AE = AB
2
∴ BCE 是等边三角形
∴ 上CEB = 上CBE = 上ABC = 60O ，BC = CE ∴ 上ABD = 上CEB = 60O
∴ CF//BD
上CBD + 上D = 上CBE + 上ABD + 上D = 60O + 60O + 60O = 180O ∴ BC//FD
∴四边形BCFD 为平行四边形；
（2）①如图，连接CD ，交 于点∵ BC//FD
∴ BCM ~ ADM
BM BC
∴ =
AM AD
∴ = = AM AD 2
∵ BC = CE = AB ，AB = AD BM BC 1
∵ AB = BM + AM = 6
∴ BM = AB = 2 ；
②如图，作MN 丄 AC ，垂足为N
∵ 上ACB = 90O ，上CAD = 上BAC + 上BAD = 30O + 60O = 90O ，MN 丄 AC ∴ BC//MN//DA
∴ AMN ABC ， CMN ~CDA
MN AN MN CN
∴ = ， =
BC AC DA CA
∴ MN + MN = AN + CN = AN + CN = AC = 1 BC DA AC CA AC AC
1 1 1
∴ + = ．
BC AD MN
【2026 届习题 8】如图，在 ABC 中，点 D 在 AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB ，那么可添加的条件是 ．
【答案】 7ACD = 7ABC （答案不唯一，也可以增加条件：7ADC = 7ACB 或AC2 = AD AB ）．
【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似．本号资料全部来#源于微信公众号：*数学第六感
【详解】若增加条件： ∠ACD=∠ABC， ∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，
∴ ADC ACB ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键．
【2026 届习题 9】如图，ABC 中，点 在边AB 上，且7ACD = 7ABC ，若AC = ，AD = 1，则DB 的长为 ．
【答案】2
AD AC
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出 = ，代入
AC AB
AC、AD 的值可求出 AB 的长，再根据 BD=AB-AD 即可求出结论． 【详解】解： ∵∠ACD=∠ABC， ∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
AD AC
∴ = ． AC AB
∵AC= ，AD=1，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案为 2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．
【2026 届习题 10】如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∠B ＝90° , E 为AB 上一点，分别以 ED 、EC 为折痕将两个角(∠A 、 ∠B)向内折起，点A 、B 恰好落在 CD 边的点 F 处，若 AD ＝3 ，BC＝5，则 EF 的长是( )
A. B ．2 C. D ．2
【解析】 ∵AD∥BC，
∴∠ADF+∠FCB ＝180° .
根据折叠前后的图形全等得到 DF＝DA ＝3，
∠ADE = ∠FDE，CF＝CB ＝5 ， ∠BCE = ∠FCE， ∠EFC = ∠B ＝90° , ∴∠FDE+∠FCE ＝90° , ∠FCE+∠FEC ＝90° ,
∠DFE = ∠EFC＝90° ,
∴∠FDE = ∠FEC， ∴△DEF∽△ECF，
CF EF，
∴EF＝DF
∴EF2＝DF·CF＝3×5 ＝15， ∴EF＝ .故选 A.
【2026 届习题 11】如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB ＝90°,点 D 在AB 上，且 ．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若 AD ＝3 ，BD ＝2，求 CD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1） ∵ , 上A = 上A ， ∴ ACD ~ ABC ；
（2） ∵ ACD ~ ABC ，
∴ 上ADC = 上ACB = 90 ，上ACD = 上B ， ∴ 上CDB = 180 − 90 = 90 = 上ACD ， ∴ ACD CBD ，
,即 CD2 = AD . BD = 3× 2 = 6 ， ∴ CD = ．
【2026 届习题 12】ABC 中，上ABC = 90，BD 丄 AC ，点 E 为BD的中点，连接AE 并延长交 于点F，且有AF = CF ，过 F 点作FH丄 AC 于点 H．
（1）求证： ADE∽ CDB ；
（2）求证：AE=2EF ；
（3）若 FH=，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4． 【详解】证明：（1）: BD 丄 AC, FH 丄 AC ，
:上ADE = 上CDB = 90O, BD FH ，
AF = CF
,
:上DAE = 上DCB ，
在 ADE 和△CDB中，
〔上ADE = 上CDB {
l上DAE = 上DCB ，
: ADE CDB ；
:DE = BE = BD ， 2
（2） 点E 为BD的中点， 1
: = = ， CD DB 2
由（1）已证： ADE CDB ， AD DE 1
设AD = a(a > 0) ，则 CD = 2a ，AC = AD + CD = 3a ， FH 丄 AC, AF = CF ，
1 3
:AH = CH = AC = a （等腰三角形的三线合一）， 2 2
,
:DH = AH − AD = a ，又 BD FH
AE AD a
: = = = 2
a
EF DH 1 ，
2
即AE = 2EF ；
:AE = AF ， 3
（3）由（2）已证： AE = 2EF ， 2
BD FH
,
: ADE AHF ，
DE AE DE 2
FH AF 3 3 ，
2
: = ，即 =
解得DE = ，
3
:BD = 2DE = ， 3
上ABC = 90O, BD 丄 AC ，
,
:上BAC + 上ABD = 上BAC + 上C = 90O
:上ABD = 上C ，
在△ABD 和△BCD 中，
,
: ABD BCD AD BD
: = ， BD CD
〔上ADB = 上BDC = 90O {
l上ABD = 上C ，
由（2）可知，设AD = b(b > 0) ，则 CD = 2b ，
解得b = 2 或b = − 2 （不符题意，舍去），
: CD = 2b = ， 3
)2
( 4
( 4 6 )2
3 3 4
则在RtBCD 中，
BC = =
+ |
3
= 4
|
.
(3
,
( 3 ,
4
【2026届习题 13】如图，正方形ABCD 中，点 F 是BC 边上一点，连接AF ，以 AF 为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点 ，连接DG ．以下四个结论：①上EAB = 上GAD ；②ΔAFC∽ΔAGD ；
③ 2AE2 = AH . AC ；④ DG 丄 AC ．其中正确的个数为( )
A ．1个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【答案】D
【分析】①四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形，∠EAB 、∠GAD 与∠BAG 的和均为90°, 即可证明∠EAB
AC AF
与∠GAD 相等；②由题意易得 AD=DC，AG=FG，进而可得 = ，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四
AD AG
AF AC
边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有 = ，然后根据等量关系可求解；
AH AF
④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°,则问题可求证．
【详解】解：①∵四边形AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG ， ∠GAD=90°-∠BAG ∴∠EAB=∠GAD
∴①正确
②∵四边形AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形∴AD=DC ，AG=FG
∴AC= AD ，AF= AG
AC AF
∴ = ， =
AD AG
即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC ∴∠DAG=∠CAF
∴ ΔAFC∽ΔAGD
∴②正确
③∵四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形，AF、AC 为对角线
∴∠AFH=∠ACF=45°又∵∠FAH=∠CAF
∴△HAF∽△FAC
即AF2 = AC·AH又∵AF= AE
∴ 2AE2 = AH . AC ∴③正确
④由②知ΔAFC∽ΔAGD
又∵四边形 ABCD 为正方形， AC 为对角线∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG 在正方形另外一条对角线上
∴DG⊥AC ∴④正确故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．本号资料全部来源于微#信公众号：数学#第六感
【2026 届习题 14】如图，在四边形ABCD 中，AE⊥BC，垂足为 E， ∠BAE = ∠ADC，BE ＝CE ＝2，CD ＝5，AD =kAB（k 为常数），则 BD 的长为 ．（用含 k的式子表示）
【答案】 ·
【分析】连接AC，将△ABD 绕点A 逆时针旋转至△ACG，连接 DG，根据相似三角形的判定与性质求出 DG=kBC，然后根据题意推出∠CDG=90°,即可利用勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接AC， ∵AE⊥BC，BE ＝CE ＝2，
∴BC=4，AE 垂直平分 BC，AB=AC，
将△ABD 绕点A 逆时针旋转至△ACG，如图所示，连接 DG，则 AD=AG ，BD=CG，
由旋转的性质可得： ∠BAC=∠DAG， ∵AB=AC，AD=AG，
∴△ABC∽△ADG，
AD DG
∴ = ，
AB BC
∵AD ＝kAB，
∴DG=kBC=4k，
∵∠BAE+∠ABC=90° , ∠BAE=∠ADC， ∴∠ABC+∠ADC=90° ,
∵△ABC∽△ADG，
∴∠ABC=∠ADG，
∴∠ADG+∠ADC=90° ,
即： ∠CDG=90° ,
∴ CG = = ， ∴ BD = CG = ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，旋转构造辅助线，以及勾股定理解三角形等，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
【2026 届习题 15】如图，在矩形 ABCD 中，CD ＝4，E 是 BC 的中点，连接AE，tan∠AEB = ，P 是AD 边上一动点，沿过点 P 的直线将矩形折叠，使点 D 落在AE 上的点D 处，当△APD’是直角三角形时，PD 的值为( )
A ．- 或 B ． 或 C ． 或 D ． 或
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到AB ＝CD ，∠B ＝90°, 根据勾股定理求得AE，当△APD'是直角三角形时，分两种情况分类计算即可；
【详解】 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ， ∠B ＝90° ,
4
∵CD ＝4 ，tan∠AEB = ， ∴BE ＝3，本号资料全部#来源于微信公众号：数学第六感
3
在 Rt△ABE 中，AE = = = 5 ， ∵E 是 BC 的中点，∴AD ＝6，
由折叠可知，PD＝PD'，
设 PD＝x，则 PD'＝x，AP ＝6 -x，当△APD'是直角三角形时，
①当∠AD'P ＝90°时，
∴∠AD'P = ∠B ＝90° , ∵AD∥BC，
∴∠PAD' = ∠AEB， ∴△ABE∽△PD'A，
AP PD,
∴ = ， AE AB
6 − x x
∴ = ，
5 4
∴x = ，
8
∴PD = ；
3
②当∠APD' ＝90°时，
∴∠APD' = ∠B ＝90° , ∵∠PAE = ∠AEB，
∴△APD'∽△EBA，
6 − x x
3 4 ，
∴ =
综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD 的值为 或 ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
【2026 届习题 16】（1）问题
如图 1，在四边形ABCD 中，点 P 为AB 上一点，当上DPC = 上A = 上B = 90O 时，求证：AD . BC = AP . BP ．
（2）探究
若将90O 角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图 3，在 ABC 中，AB = 2 ，上B = 45O ，以点A 为直角顶点作等腰Rt△ADE ．点 D 在BC 上，点 E 在AC 上，点 F 在BC 上，且上EFD = 45O ，若 CE = ，求CD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由上DPC = 上A = 上B = 90O 可得上ADP = 上BPC , 即可证到 ADP∽ BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由上DPC = 上A = 上B = α 可得上ADP = 上BPC , 即可证到 ADP∽ BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明△ABD∽△DFE ,求出DF = 4 ，再证△EFC∽△DEC ,可求FC = 1 ,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图 1，
上DPC = 90O
,
:上BPC + 上APD = 90O 上A = 90O ，
:上ADP + 上APD = 90O
:上APD = 上BPC ，又 上A = 上B = 90O :△ADP∽△BPC ， :AD : BP = AP : BC
:AD . BC = AP . BP ；
上BPD = 上DPC + 上BPC
（2）结论AD . BC = AP . BP 仍成立；理由：如图 2，
,又 上BPD = 上A+ 上APD，
:上DPC + 上BPC = 上A + 上APD ， 上DPC = 上A = α ,
:上BPC = 上APD ，又 上A = 上B = α ,
:△ADP∽△BPC ，
:AD : BP = AP : BC
:AD . BC = AP . BP ；
（3）: 上EFD = 45O ,
:上B = 上ADE = 45O ,
,
:上BAD = 上EDF
: ABD∽ DFE
:AB : DF = AD : DE
Rt△ADE 是等腰直角三角形
:AD: DE = 1:
:AB: DF = 1: AB = 2
:DF = 4
Rt△ADE 是等腰直角三角形
:上AED = 45O 上EFD = 45O
:上DEC = 上EFC = 180O − 45O = 135O又 上C = 上C
: DEC∽ EFC
:DC : EC = EC : CF 即EC2 = FC .(4 + FC)
EC =
: 5 = FC(4 + FC)
:FC = 1
解得CD = 5 ．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造45 角将问题转化为一线三角是解题的关键．
【2026 届习题 17】C
【2026 届习题 18】（1）略 （2） 、
【2026 届习题 19】如图，⊙O 的弦 AB 、CD 相交于点 P，已知 CP=3 ，PD=4，AP=2，那么AB= 8 ．
【2026 届习题 20】10
【2026 届习题 21】如图，已知 AB 是⊙O 的弦，P 是 AB 上一点，若 AB=10cm ，PB=4cm ，OP=5cm，则⊙O 的半径等于 7 ．
【2026 届习题 22】如图，点 P 为弦AB 上的一点，连接 OP，过点 P 作 PC丄OP，PC 交⊙O 于 C，若 AP ＝9，BP =4，则 PC＝ 6 ．
【2026 届习题 23】一圆周上有三点A、B、C，∠A 的平分线交边 BC 于 D，交圆于 E，已知 BC=2，AC=3，AB=4，
.
则 AD•DE=
【2026 届习题 24】如图 PA 切⊙O 于点A ， ∠PAB ＝30°,则∠AOB ＝ 60 度， ∠ACB ＝ 30 度．
【2026 届习题 25】如图，△ABC 内接于⊙O，BD 切⊙O 于点 B，AB＝AC，若∠CBD ＝40°, 则∠ABC 等于（ D ）
A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°
【2026 届习题 26】圆内接四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，EF 切圆于 C，若∠BCD ＝120°, 则∠BCE＝（ A ）
A ．30° B ．40° C ．45° D ．60°
【2026 届习题 27】如图，CD 是⊙O 的切线，T 为切点，A 是上的一点，若∠TAB ＝100°,则∠BTD 的度数为（ D ）
A ．20° B ．40° C ．60° D ．80°
【2026 届习题 28】如图，A 、B 、C、D 为⊙O 上的点，直线 BA 与 DC 相交于点 P ，PA ＝2，PC ＝CD ＝3，则 PB =（ D ）
A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
【2026 届习题 29】如图，四边形 ABCD 是圆的内接四边形，AB、DC 的延长线交于点 P，若 C 是 PD 的中点，且PD ＝6，PB ＝2，那么AB 的长为（ B ）
A ．9 B ．7 C ．3 D．
【2026 届习题 30】如图，⊙O 的割线 PAB 交于⊙O 于点A、B，PA ＝4cm，AB ＝5cm，PO ＝7.5cm，则⊙O 的直径长为
9 cm．
【2026 届习题 31】如图，在△ABC 中，∠C＝60°,以 AB 为直径的圆分别交 AC，BC 于点 D，E，已知圆 O 的半径为 ．则 DE 的长为 、 ．
【2026 届习题 32】如图，已知 PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 与⊙O 相交于 B、C 两点，PB ＝2cm，BC＝8cm，则 PA 的长等于（ D ）
A ．4cm B ．16cm C ．20cm D ．2cm
【2026 届习题 33】如图，直线 PA 过半圆的圆心 O，交半圆于 A ，B 两点，PC 切半圆与点 C，已知 PC＝3 ，PB = 1，则该半圆的半径为 4 ．
【2026 届习题 34】如图，在△ABC 中， ∠C ＝90° , AB ＝5，AC ＝4，以 AC 为直径作圆与斜边交于点 P，则 BP的长为