北师大版（2024）八年级下册（2024）4 一元一次不等式组优质导学案

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▉题型1 一元一次不等式组的定义
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个．
1．试写出一个由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，使它的解集是﹣1＜x≤2，这个不等式组是 x≤2x＞−1（答案不唯一） ．
【答案】x≤2x＞−1（答案不唯一）
【解答】解：根据解集﹣1＜x≤2，构造的不等式为x≤2x＞−1．
答案不唯一．
▉题型2 解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
2．不等式组x−1＜0x+1≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：在x−1＜0x+1≥0中，
由x﹣1＜0得：x＜1，
由x+1≥0得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜1．
故选：A．
3．不等式组2x+1≥3x＜6−x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：2x+1≥3①x＜6−x②，
由①得x≥1；
由②得x＜3；
故不等式组的解集为1≤x＜3，
在数轴上表示出来为：．
故选：C．
4．不等式组x−2＞02x−6≥0，的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：
解不等式x﹣2＞0得：x＞2，
解不等式2x﹣6≥0得：x≥3，
在数轴上表示如图：
，
故选：B．
5．不等式组5x−3＜3x+5x＜a的解集为x＜4，则a满足的条件是（ ）
A．a＜4B．a＝4C．a≤4D．a≥4
【答案】D
【解答】解：解不等式组得x＜4x＜a，
∵不等式组5x−3＜3x+5x＜a的解集为x＜4，
∴a≥4．
故选：D．
▉题型3 一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
6．若关于x的不等式组x−m＜07−2x≤1的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7B．6＜m≤7C．6≤m＜7D．3≤m＜4
【答案】B
【解答】解：x−m＜0①7−2x≤1②，
解不等式①得：x＜m，
解不等式②得：x≥3，
∴不等式组的解集为：3≤x＜m，
∵不等式组有4个整数解，
∴不等式组的整数解是3，4，5，6，
∴6＜m≤7．
故选：B．
7．满足不等式组5x+2＞3(x−1)12x−1≤7−32x的非负整数解的个数为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】C
【解答】解：5x+2＞3(x−1)①12x−1≤7−32x ②
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得，x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
故选：C．
（多选）8．如果关于x的不等式组−x+a＜23x−12≤x+1恰有3个整数解，符合条件的a的取值是（ ）
A．2B．2.5C．4D．4.5
【答案】AB
【解答】解：−x+a＜2①3x−12≤x+1②，
解①得：x＞a﹣2，
解②得：x≤3，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为a﹣2＜x≤3，
∵不等式组有且只有3个整数解，
∴这3个整数解为1，2，3，
∴0≤a﹣2＜1，
∴2≤a＜3，
故选：AB．
9．若不等式组5x−33+3＞xx≤a的整数解有四个，则a的取值范围是 1≤a＜2 ．
【答案】1≤a＜2．
【解答】解：5x−33+3＞x①x≤a②，
解不等式①得x＞﹣3，
解不等式②得x≤a，
∵不等式组有四个整数解，即为﹣2，﹣1，0，1，
∴1≤a＜2，
故答案为：1≤a＜2．
10．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式[3x+77]=4的x的整数值有 3 个．
【答案】3
【解答】解：由题意得4≤3x+77＜5，
解得：7≤x＜283，
其整数解为7、8、9共3个．
故答案为：3．
11．在平面直角坐标系中，已知点A（4﹣m，5﹣2m）在第四象限内，且m为整数，则点A的坐标为 （1，﹣1） ．
【答案】（1，﹣1）．
【解答】解：∵点A（4﹣m，5﹣2m）在第四象限内，
∴4−m＞05−2m＜0，
解得，2.5＜m＜4，
又∵m为整数，
∴m＝3，
∴点A的坐标为（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
▉题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
12．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（ ）
A．2x≥50−x80x+50(50−x)＜3200
B．x＞12(50−x)80x+50(50−x)＜3200
C．x≥12(50−x)80x+50(50−x)≤3200
D．x≥12(50−x)50x+80(50−x)≤3200
【答案】C
【解答】解：设购买篮球x个，则购买足球（50﹣x）个，
由题意，得x≥12(50−x)80x+50(50−x)≤3200．
故选：C．
13．某电梯乘载的重量超过1000公斤时会响起警示音，小刚、小明的体重分别为55公斤、70公斤．小刚、小明依序进入电梯，小刚走进后，警示音没响，小明走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x满足（ ）
A．930＜x≤970B．875≤x＜945C．875＜x≤945D．930≤x＜970
【答案】C
【解答】解：由题意可知：x+55≤1000x+55+70＞1000，
解得875＜x≤945．
故选：C．
14．现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为（ ）
A．(4x+19)−6(x−1)≥1(4x+19)−6(x−1)≤6
B．(4x+19)−6(x−1)≤1(4x+19)−6(x−1)≥6
C．(4x+19)−6(x−1)≤1(4x+19)−6(x−1)≥5
D．(4x+19)−6(x−1)≥1(4x+19)−6(x−1)≤5
【答案】D
【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，
∴学生总人数为（4x+19）人，
∵一间宿舍不空也不满，
∴学生总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数在1和5之间，
∴列的不等式组为：(4x+19)−6(x−1)≥1(4x+19)−6(x−1)≤5
故选：D．
15．用若干辆载重量为6千克的货车运一批货物，若每辆汽车只装4千克，则剩下18千克货物；若每辆汽车只装6千克，则最后一辆货车装的货物不足5千克．若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（ ）
A．6x−(4x+18)＞06x−(4x+18)≤5
B．4x+18−6(x−1)＞04x+18−6(x−1)≤5
C．6(x−1)−(4x+18)＞06(x−1)−(4x+18)＜5
D．4x+18−6(x−1)＞04x+18−6(x−1)＜5
【答案】D
【解答】解：设有x辆货车，
每辆汽车只装4千克，则剩下18千克货物，
所以，货物总重为（4x+18）千克，
每辆汽车只装6千克，则最后一辆货车装的货物不足5千克，
根据等量关系，可得到不等式为：
4x+18﹣6（x﹣1）＜5和4x+18﹣6（x﹣1）＞0．
故选：D．
16．若干名学生住宿舍，每间住4人，2人无处住；每间住6人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有x间宿舍，则可列不等式（组）为 1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6 ．
【答案】1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6
【解答】解：设有x间宿舍，则学生有（4x+2）人，由题意得：
1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6，
故答案为：1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6．
▉题型5 一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
17．如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50千克、70千克．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x千克，则x的取值范围是（ ）
A．280＜x≤350B．280＜x≤400C．330＜x≤350D．330＜x≤400
【答案】A
【解答】解：根据题意得：x+50≤400x+50+70＞400，
解得：280＜x≤350．
故选：A．
18．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（ ）
A．8（x﹣1）＜5x+12＜8B．0＜5x+12＜8（x﹣1）
C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8D．8x＜5x+12＜8
【答案】C
【解答】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个，由题意得：
0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，
所以可列不等式为：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，
故选：C．
19．把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生（ ）
A．11人B．12人C．11或12人D．13人
【答案】C
【解答】解：假设共有学生x人，根据题意得出：5x+7≥6(x−1)+16(x−1)+3＞5x+7，
解得：10＜x≤12．
因为x是正整数，所以符合条件的x的值是11或12．
观察选项，选项C符合题意．
故选：C．
20．小亮和小颖共下了8盘围棋（没有平局），两人商定的规则为：小亮胜一盘记1分，小颖胜一盘记2分．下完第7盘后，小亮得分高于小颖；下完第8盘后，小颖得分高于小亮，小亮最终胜（ ）
A．2盘B．3盘C．4盘D．5盘
【答案】D
【解答】解：设小亮最终胜x场，则小颖胜（8﹣x）场，
根据题意得：x＞2(8−x−1)x＜2(8−x)，
解得：143＜x＜163，
又∵x为正整数，
∴x＝5，
∴小亮最终胜5场．
故选：D．
21．某电信公司最近开发A、B两种型号的手机，一经营手机专卖店销售A、B两种型号的手机，上周销售1部A型3部B型的手机，销售额为8400元．本周销售2部A型1部B型的手机，销售额为5800元．
（1）求每部A型和每部B型手机销售价格各是多少元？
（2）如果某单位拟向该店购买A、B两种型号的手机共6部，发给职工联系业务，购手机费用不少于11200元且不多于11600元，问有哪几种购买方案？
（3）在（2）中哪种方案费用更省？最少费用是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A型手机每部售价x元，B型手机每部售价y元，
根据题意得x+3y=84002x+y=5800，解得x=1800y=2200，
答：A型手机每部售价1800元，B型手机每部售价2200元；
（2）设购买A型手机a部，则购买B型手机（6﹣a）部，
根据题意得11200≤1800a+2200（6﹣a）≤11600
解得4≤a≤5
因为a为整数，
所以a＝4或5，
所以有两种购买方案，即方案①：购买A型手机4部，购买B型手机2部；方案②：购买A型手机5部，购买B型手机1部；
（3）按方案①购买所需费用为：1800×4+2200×2＝11600（元）
按方案②购买所需费用为：1800×5+2200＝11200（元），
因此，按方案②购买更省，最少费用是11200元．
22．吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元．
（1）该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m、n的值．
（2）该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？
【答案】（1）m的值为10，n的值为14；
（2）共有3种购买方案：
方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；
方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；
方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个．
【解答】解：（1）根据题意得：10m+5n=1706m+10n=200，
解得：m=10n=14，
答：m＝10，n＝14；
（2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，则设购买“妮妮“造型钥匙扣挂件（100﹣x）个，
根据题意得：10x+14(100−x)≥116010x+14(100−x)≤1168，
解得：58≤x≤60，
又∵x为正整数，
∴x可以为58，59，60，
∴共有3种购买方案：
方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；
方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；
方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个；
23．每年3月12日是植树节，某学校植树小组若干人植树，植树若干棵．若每人植4棵，则余20棵没人植，若每人植8棵，则有一人比其他人植的少（但有树植），问这个植树小组有多少人？共有多少棵树？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设个植树小组有x人去植树，共有y棵树．
由“每人植4棵，则余20棵没人植”和“若每人植8棵，则有一人比其他人植的少（但有树植）”得：
y=4x+200＜y−8(x−1)＜8，将y＝4x+20代入第二个式子得：
0＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8，
5＜x＜7．
答这个植树小组有6人去植树，共有4×6+20＝44棵树．
24．根据以下素材，探索完成任务．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车（8﹣a）辆，
根据题意得：50a+35(8−a)≥305450a+300(8−a)≤2900，
解得：53≤a≤103，
又∵a为正整数，
∴a可以为2，3，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：选择方案1所需总租金为450×2+300×6＝2700（元）；
选择方案2所需总租金为450×3+300×5＝2850（元）．
∵2700＜2850，2900﹣2700＝200（元），
∴花费最少的方案比预算2900元省200元钱．
25．学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A种奖品和4个B种奖品共需170元；购买4个A种奖品和3个B种奖品共需180元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共25个，且A种奖品的数量不少于B种奖品数量的13，购买奖品的花费不得高于600元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：3x+4y=1704x+3y=180，
解得：x=30y=20．
答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元．
（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（25﹣m）个，
依题意，得：m≥13(25−m)30m+20(25−m)≤600，
解得：254≤m≤10．
∵m为整数，
∴m＝7，8，9，10，
∴25﹣m＝18，17，16，15．
∴学校有四种购买方案，
∵A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元，
∴m＝7时，花费最少，
即购买A奖品7个，购买B奖品18个，花费最少．
26．永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
【答案】（1）购买A种树每棵需400元，B种树每棵需500元；
（2）共有3种购买方案，
方案1：购买A种树48棵，B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，B种树50棵．
【解答】解：（1）设购买A种树每棵需x元，B种树每棵需y元，
根据题意得：3x+4y=32005x+2y=3000，
解得：x=400y=500．
答：购买A种树每棵需400元，B种树每棵需500元；
（2）设购买A种树m棵，则购买B种树（100﹣m）棵，
根据题意得：m≥48400m+500(100−m)≥45000，
解得：48≤m≤50，
又∵m为正整数，
∴m可以为48，49，50，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买A种树48棵，B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，B种树50棵．
题型1 一元一次不等式组的定义
题型2 解一元一次不等式组
题型3 一元一次不等式组的整数解
题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式组
题型5 一元一次不等式组的应用
背景
某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动．
素材1
A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元．
素材2
八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内．
问题解决
任务1
根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．
任务2
在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？