数学不等式及其基本性质优质学案设计

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▉题型1 不等式的定义
【知识点的认识】
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
1．下列各式中，是不等式的是（ ）
A．x＝3B．x﹣1C．x+y＝1D．4x+5＞0
2．下面给出的5个式子：
①3＞0；
②4x+y＜2；
③2x＝3；
④x﹣1；
⑤x﹣2≥3．
其中不等式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
4．一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式 ．
5．a与2的差不大于0，用不等式表示为 ．
6．“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为 ．
7．某饮料瓶上有这样的字样，保质期18个月．如果用x（单位：月）表示保质期，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为 ．
▉题型2 不等式的性质
【知识点的认识】
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
8．如果a＜b，那么下列不等式正确的是（ ）
A．﹣2+a＜﹣2+bB．﹣2a＜﹣2bC．a2＞b2D．a2＞b2
9．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0B．a3＞b3C．ac2＞bc2D．2a﹣1＜2b﹣1
10．若x＜y，则下列结论成立的是（ ）
A．x+2＞y+2B．﹣2x＞﹣2yC．3x＞3yD．﹣1+x＞﹣1+y
11．已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x+5＜y﹣5B．﹣2x＜﹣2yC．a2x2＜a2y2D．x3＜y3
12．若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．a+1＞b+1B．−a3＜−b3C．3a﹣1＞3b﹣1D．1﹣a＞1﹣b
13．已知a≥b，则一定有﹣2025a□﹣2025b，“☐”中应填的符号是（ ）
A．≤B．≥C．＜D．＞
14．若x＞y，且mx＜my，则m的值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
15．根据不等式的性质，下列变形中正确的是（ ）
A．由a＜b，得﹣3a＜﹣3b
B．由12a＞2，得a＜2
C．由a（c2+1）＞b（c2+1），得a＞b
D．由a＞b，得a+c＜b+c
16．由x＜y得到ax≥ay的条件是（ ）
A．a＞0B．a≥0C．a＜0D．a≤0
17．下列变形不正确的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+cB．若a﹣c＞b﹣c，则a＞b
C．若ac2＞bc2，则a＞bD．若a＞b，则ac2＞bc2
18．把方程13x=2变形为x＝6的依据是（ ）
A．不等式的基本性质1B．等式的基本性质1
C．等式的基本性质2D．分数的基本性质
19．若m＞n，则﹣3m ﹣3n（填“＞”或“＜”）．
20．根据等式和不等式的性质，可以得到：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b．若a﹣b＜0，则a＜b；这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．
（1）已知A＝5m2﹣4（74m−12），B＝7（m2﹣m）+3，请运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小；
（2）比较3a+2b与2a+3b的大小．
21．阅读下面的解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小．
解：因为a＞b①，
所以﹣2024a＞﹣2024b②，
所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③．
问：
（1）上述解题过程中，从第 步开始出现错误；
（2）错误的原因 ．
（3）请写出正确的解题过程．
▉题型3 不等式的解集
【知识点的认识】
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
22．若不等式“x■3”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ）
A．≤B．＜C．≥D．＞
23．x＜6x＞a若不等式组有解，则a的取值范围为（ ）
A．a＞6B．a≤6C．a＜6D．a≥6
24．下面各数中，是不等式x≥﹣3的解的是（ ）
A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣1
25．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜13，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（ ）
A．x＜−12B．x＞12C．x＞−12D．x＜12
26．关于x的不等式﹣2x+a≥2的解集如图所示，a的值是（ ）
A．0B．2C．﹣2D．﹣4
27．如果不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＞1，那么a必须满足 ．
▉题型4 在数轴上表示不等式的解集
【知识点的认识】
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
28．不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
29．下列不等式中，与﹣x+1＞0组成的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式是（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x≤﹣1D．x≥﹣1
30．如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．x≤3C．﹣2＜x＜3D．﹣2≤x＜3
31．若某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）
A．1＜x＜2B．1＜x≤2C．x＜1D．x≥2
32．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：a▲b＝3a﹣b．已知关于x的不等式x▲k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ．
33．如图，数轴上表示关于x的不等式的解集为 ．
34．关于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是 ．
35．综合与实践
我们知道|x|的几何意义是在数轴上x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上x1与x2对应的点之间的距离．
例1：解方程：|x|＝2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2．
例2：解不等式：|x﹣1|＞2．在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图1），因为在数轴上与数1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3．因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．
例3：解方程：|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上与数1和数﹣2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上数1和数﹣2对应的点的距离为3（如图2），满足方程的x对应的点在数1的右边或数﹣2的左边．若x对应的点在数1的右边，可得x＝2；若x对应的点在数﹣2的左边，可得x＝﹣3，因此方程|x﹣1|+|x+2|＝5的解是x＝2或x＝﹣3．
参考阅读材料，解答下列问题．
（1）方程|x﹣3|＝4的解为 ．
（2）解不等式：|x﹣3|≤1．
（3）解不等式：|x﹣4|+|x+5|≥11．
36．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程．
对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；
对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3而大于3的绝对值是是大于3的，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．
（1）不等式|2x|＜5的解集为 ．
（2）不等式2•|3x﹣1|＞10的解集为 或 ．
（3）已知关于x、y的二元一次方程组2x−y=4m−5x+4y=−7m+2的解满足|x﹣2y|≤10其中m是非负整数，求m的值．题型1 不等式的定义
题型2 不等式的性质
题型3 不等式的解集
题型4 在数轴上表示不等式的解集