2025-2026学年湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“α是锐角”是“α是第一象限角”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
2.已知集合A={x|y= 3−x}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=( )
A. ⌀B. [1,3]C. [1,3)D. (1,3]
3.已知角α的终边经过点P(−2,1)，则cs(α+3π2)的值为( )
A. 55B. 2 55C. − 55D. −2 55
4.函数f(x)=2xcsxx2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月…中国航天硕果累累，令国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：v=v0lnMm，其中v是理想速度(单位：m/s)，v0是燃料燃烧时产生的喷气速度(单位：m/s)，M是火箭起飞时的总质量(单位：kg)，m是火箭自身的质量(单位：kg).小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为( )(ln2≈0.7,ln3≈1.1)
A. 40m/sB. 36m/sC. 78m/sD. 95m/s
6.已知sin(α+β)=12,tanα=2tanβ，则cs(2α−2β)=( )
A. 1718B. 12C. −12D. −1718
7.函数y=lg(4+3x−x2)的单调递减区间是( )
A. [32,4)B. (−1,32]C. [32,+∞)D. (−1,4)
8.已知函数f(x)=2x−1+1,x≤2|lg2(x−2)|,x>2，若关于x的方程f2(x)−(a+8)f(x)−a=0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为( )
A. (−4,−154]B. [−154,0)C. (−4,0)D. (−4,−72)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中值为1的是( )
A. tan13°+tan32°1−tan13∘tan32∘B. 4sinπ12csπ12
C. 22(cs2π8−sin2π8)D. sin111°cs381°+sin21°sin159°
10.已知函数y=f(x)，对于任意x，y∈R，f(x)f(y)=f(x−y)，则( )
A. f(0)=1B. f(x2)=2f(x)
C. f(x)>0D. f(x)+f(y)2≥f(x+y2)
11.设函数g(x)=sinωx(ω>0)向左平移π5ω个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=π2对称
B. 在(0,2π)上，方程f(x)=1的根有3个，方程f(x)=−1的根有2个
C. f(x)在(0,π10)上单调递增
D. ω的取值范围是[125,2910)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若扇形的周长为40cm，面积为100cm2，则它的圆心角的弧度数为 ．
13.已知θ∈(0,π2)，sin2θ=sin(θ+2π3)，则cs3θ= ．
14.已知x∈R，y>0，x+22x−1=2，4y+lg2y=2，则x+2y= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=3−x2+2x．
(1)若f(x)≥1，求实数x的取值范围；
(2)求f(x)的值域．
16.(本小题15分)
已知角α满足sinα−csα=− 55．
(1)求tanα的值；
(2)若角α是第三象限角，f(α)=sin(α−π)tan(5π+α)cs(π+α)tan(2π−α)cs(−3π2−α)，求f(α)的值．
17.(本小题15分)
如图，函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,00；
(2)若对于任意的x∈[3m,4m]，都有f(x)≤1，求实数m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，是否存在α,β∈(5m2,+∞)，使f(x)在区间[α,β]上的值域是[lgmβ,lgmα]？若存在，求实数m的取值范围：若不存在，说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.D
5.A
6.A
7.A
8.A
9.ABD
10.ACD
11.CD
12.2rad
13.12
14.2
15.解：(1)因为f(x)=3−x2+2x≥1=30，且y=3x在定义域R内单调递增，
则−x2+2x≥0，解得0≤x≤2，
所以实数x的取值范围是[0,2]．
(2)因为−x2+2x=−(x−1)2+1≤1，当且仅当x=1时等号成立，
且y=3x在定义域R内单调递增，则f(x)=3−x2+2x≤31=3，
又因为f(x)=3−x2+2x>0，所以f(x)的值域为(0,3]．
16.解：(1)由题意和同角三角函数基本关系式，有sinα−csα=− 55sin2α+cs2α=1，
消去sinα得5cs2α− 5csα−2=0，解得csα=2 55或csα=− 55，
当角α是第一象限角时，csα=2 55,sinα= 55,tanα=12，
因为角α是第三象限角，csα=− 55,sinα=−2 55,tanα=2．
(2)由题意可得f(α)=−sinαtanα(−csα)−tanαsinα=−csα，
因为角α是第三象限角，
所以csα=− 55，所以f(α)= 55．
17.(1)由题意可得，T=2(4π3−π3)=2π，
故ω=1，
由五点作图可得π3+φ=π2，则φ=π6，f(x)=sin(x+π6)，
将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，然后把各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，最后再把图象向右平移π6个单位长度，
得到函数g(x)=2sin(2x−π6)，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，
则−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
故g(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z；
(2)y=g(x)+ 3g(x+7π12)=2sin(2x−π6)−2 3sin2x
= 3sin2x−cs2x−2 3sin2x
=− 3sin2x−cs2x
=−2sin(2x+π6)，
当−π6≤x≤π3时，−π6≤2x+π6≤5π6，
所以−12≤sin(2x+π6)≤1，
所以g(x)在[−π6,π3]上的值域为[−2,1]．
18.解：(1)f(x)=ln( x2+1−x)+ax2的定义域为R，
若f(x)为奇函数，
则f(−1)+f(1)=ln( 2+1)+ln( 2−1)+2a=ln1+2a=0，
解得a=0，故f(x)=ln( x2+1−x)，
经验证a=0符合题意，所以f(x)=ln( x2+1−x)=ln1 x2+1+x，
由于u=1 x2+1+x在0,+∞上单调递增，又y=lnu在定义域上单调递增，
所以函数f(x)在0,+∞上单调递增，又函数f(x)是奇函数，f0=0，
所以函数f(x)在R上单调递增，
又f(tanx)=−ln32=ln 33=f 33，
则tanx= 33，即x=kπ+π6(k∈Z)；
(2)因为g(x)=a(csx+1)，a∈R．
y=ln( x2+1−x)为奇函数，cs(x+π2)=−sinx，
所以关于x的不等式f(sinx)+f(cs(x+π2))≤g(x)可转化为2asin2x≤a(csx+1)，a∈R．
即a(2−2cs2x−csx−1)≤0⇔a(csx+1)(2csx−1)≥0，
①当a=0时，x∈R；
②当a0时，x=2kπ+π或2kπ−π3≤x≤π3+2kπ(k∈Z)；
综上，当a=0时，原不等式的解集为R；
当a0时，原不等式的解集为{x|x=2kπ+π或2kπ−π3≤x≤π3+2kπ(k∈Z)}．
19.解：(1)∵m=12，
∴f(x)=lg12(x−12)+lg12(x−1)的定义域为(1,+∞)．
由lg12[(x−12)(x−1)]+lg25=lg12[(x−12)(x−1)]+lg1215>0，
化简得(x−12)(x−1)