湖北武汉二中2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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命题学校：武汉市第二中学 命题教师：李恒明 审题教师：左建华
考试时间：2026 年 2 月 3 日 下午 15:00－17:00 试卷满分：150 分
一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. “角 是锐角”是“角 是第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用任意角定义及充分不必要条件定义即可得到结果.
【详解】若角 是锐角，则角 是第一象限角；
但角 第一象限角，则角 不一定是锐角，
故“角 是锐角”是“角 是第一象限角”的充分不必要条件，
故选：A.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出集合 ， ，然后利用交集的运算即可求解.
【详解】由题意得 中 ，得 ，所以 ，
由 ，所以 ，
所以 ，故 B 正确.
故选：B.
3. 已知角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义，求得 ，再结合诱导公式，得到 ，即可求解.
【详解】由题意，角 的终边经过点 ，可得 ，
根据三角函数的定义，可得 ，
又由 .
故选：A.
4. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性及 在 上的函数值正负逐个选项判断即可．
【详解】因为 ，定义域为 R，
所以 ，
所以 为奇函数，又因为 时 ，所以由图象知 D 选项正确，
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故选 D．
5. 近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月 ，中国航天硕果累累，令国人倍
感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”： ，其中 是理想速度（单位： ），
是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位： ）， 是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位： ），
是火箭自身的质量（单位： ）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准
后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为 ，火箭自身的质量为 ，火箭起飞时燃料的质
量为 ，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（ ）
（ ， ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得出 ， ， ，代入等式 计算即可.
【详解】由题意可得 ， ， ，
所以该试验火箭的理想速度为
.
故选：A.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦与余弦的两角和与两角差，以及余弦的二倍角公式。
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，
联立解得 ， ，
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因为 ，
所以 ，
故选：A
7. 函数 的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由真数大于 0 可得定义域，再结合二次函数性质可得．
【详解】由已知 得 ，
在 上 递增，在 上 递减，
所以 的减区间是 ，
故选：D．
8. 已知函数 若关于 的方程 有 个不同的实数
根，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令 ，作出函数 的图象，分析可知关于 的方程 在 内有
两个不等的实根，令 ，利用二次函数的零点分布可得出关于 的不等式组，解之即
可.
【详解】令 ，作出函数 的图象如下图所示：
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因为关于 的方程 有 个不同的实数根，
则关于 的方程 在 内有两个不等的实根，
设 ，则函数 在 内有两个不等的零点，
所以， ，解得 .
故选：A.
二、多选题：本大题共 3 小题，每个小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，只有一项或
者多项是符合题目要求的.
9. 下列各式中值为 1 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A 项，逆用两角和的正切公式计算即得；对于 B 项，利用二倍角的正弦公式即得；对于 C 项，
利用二倍角的余弦公式即得；对于 D 项，利用诱导公式和同角的基本关系式计算即得.
【详解】对于 A 项， ，故 A 项符合；
对于 B 项， ,故 B 项符合；
对于 C 项， ，故 C 项不符合；
对于D项， ，
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故 D 项符合.
故选：ABD.
10. 已知函数 ，对于任意 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可.
【详解】令 ，故 A 正确；
由已知 ，①
令 满足题干要求， 则 ，故 B 错
误；
由①可知，令 ，则 ，
又因为 ，则 ，所以 ，故 C 正确；
因为 ，所以 ，
又由①，令 ，则 ，
所以 ，故 D 正确.
故选：ACD.
11. 设函数 向左平移 个单位长度得到函数 ，已知 在 上有且只
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有 5 个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线 对称
B. 在 上，方程 的根有 3 个，方程 的根有 2 个
C. 在 上单调递增
D. 的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】根据函数的零点的个数，求出参数 的范围，再判断函数的单调性、对称性和方程根的个数.
【详解】由题意， ，
由题意， 不一定是函数的对称轴，所以 A 错误；
当 时，得 ，故 ；
，所以 D 正确.
因为 ，则 的根分别可由 或 或 求出，
共有 3 个根；
当 时， 的根分别可由 或 求出，共 2 个根；
当 时， 的根分别可由 或 或 求出，
共 3 个根；所以 B 错误；
当 时，得 ，
由 ，得 ，所以 ，此时 在 上单调递增，所以
C 正确.
故选：CD.
【点睛】本题重点考查三角函数 的图象与性质，难度较大，做题时注意利用整体法判
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断：即通过将 作为整体，借助 的图象和性质来进行判断.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 若扇形的周长为 ，面积为 ，则它的圆心角的弧度数为______.
【答案】
【解析】
【分析】由扇形的面积公式和周长公式列方程，再由弧长公式解出即可.
【详解】设扇形的弧长为 ，半径为 ，
由题意可知 ，解得 ，
设扇形的圆心角为 ，则 .
故答案为：
13. 已知 ， ，则 ________
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】通过已知条件得出 或 ，然后根据 进行分析得出
，代入 计算即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
或 ，
①当 时， ，
由 ，所以不存在整数 满足题意，
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②当 时， ，
由 ，当 时 ，
所以 ，
故答案为： .
14 已知 ， ， ，则 ______.
【答案】2
【解析】
【分析】将两式变形，构造函数，由单调性得出 的关系，即可求解.
【详解】 左右同时乘以 2 得 ，
左右同时加 2 得 ，
设 ，则 单调递增，
由于 ， ，
则 ，
则 ，
则 ，
故答案为：2.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ．
（1）若 ，求实数 x 的取值范围；
（2）求 的值域．
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】（1）根据指数函数单调性可得 ，结合二次不等式运算求解即可；
（2）根据二次函数分析可知 ，结合指数函数性质求值域
【小问 1 详解】
因为 ，且 在定义域 上单调递增，
则 ，解得 ，
所以实数 x 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
因为 ，当且仅当 时等号成立，
且 在定义域 上单调递增，则 ，
又因为 ，所以 的值域为 .
16. 已知角 满足 .
（1）求 的值；
（2）若角α是第三象限角， ，求 的值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系分象限求解计算；
（2）应用诱导公式化简再求值即可.
【小问 1 详解】
由题意和同角三角函数基本关系式，有 ，
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消去 得 ，解得 或 ，
当角 是第一象限角时， ， ， ，
因为角 是第三象限角， ， ， .
【小问 2 详解】
由题意可得 ，
因为角 是第三象限角，所以 ，所以 .
17. 如图，函数 的图象经过点 和 .将 图象
上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的 2 倍（横坐标不变），最后
再把图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.
（1）求函数 的解析式及其单调递增区间；
（2）求函数 在 上的值域.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据 图象上点的坐标求出 ，然后根据 图象的变化求出 的解析式，进
而根据正弦函数的单调性求出单调递增区间；
（2）先利用三角恒等变换化简函数 的解析式，然后根据 的范围求出值域即可.
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【小问 1 详解】
由题意，知 的最小正周期 ，所以 ，
又 ，得 ，解得 ，
结合 ，得 ，所以 .
由题意，得 ，
令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 .
【小问 2 详解】
由（1）得
，
由 ，得 ，所以 ，
所以 的值域为 ，
即所求函数的值域为 .
18. 已知 ．
（1）若 为奇函数，求 的值，并解方程 ；
（2）解关于 的不等式 ．
【答案】（1）
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（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由 为奇函数，可令 ，求出 的值，并根据对数运算求出 ，
即得方程的解集；
（2）将不等式代入化简为 ，即 ，分别在
三种情况下分类讨论即可.
【小问 1 详解】
的定义域为 R，
因为 为奇函数，则 ，
解得 ，故 ，
又 ，即 ，
所以函数 为奇函数，故 .
又 ，即 ，
解得 ，即 .
【小问 2 详解】
因为 ， ， ，
关于 的不等式 可转化为 ，
即 ，
①当 时， ；
②当 时， ，解得 ，
③当 时， 或 ，解得 或 ， ，
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综上，当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 .
19. 已知函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若对于任意的 ，都有 ，求实数 m 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在 ，使 在区间[ ，β]上的值域是
？若存在，求实数 m 的取值范围:若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据对数函数性质把对数不等式化为一元二次不等式后求解，注意对数函数的定义域；
（2）根据对数函数性质求得 在 上的最大值 ，由 可得；
（3）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在 上有两个不等实根，由一元二次方程根的分
布知识求解可得．
小问 1 详解】
∵
∴ 的定义域为（1，+∞）.
由 ，
化简得 ，解得 ，又 ，
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∴所求不等式的解集为 .
【小问 2 详解】
对于任意的 ，都有 ，等价于 ，
∵
设
则 t 在 上是增函数，下面按照 的单调性分类讨论:
当 时， 在 上递减，则 ，解得 ，
当 时， 在 上递增，则 ，解得 与 矛
盾，故舍去.
综上， .
小问 3 详解】
∵ ，
∴ 在( ,+∞)上递减，
∴ ，即 ，即关于 x 方程 在( ,+∞)上有两
个不等的实根，
设 ，
则 ，即 ．
综上，不存在这样的α，β满足条件.
【点睛】结论点睛：一元二次方程根的分布： ，记 ，
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（1）方程 的两根都大于 ；
（2）方程 的两根都小于 ；
（3）方程 的一根大于 ，一根小于 ；
（4）方程 的两根都都在区间 上 ．