2025-2026学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线x+my+1=0的倾斜角的大小为2π3，则实数m=( )
A. 3B. 33C. - 33D. - 3
2.若方程x25-m+y2m-1=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. [3,5)B. (1,5)C. (1,3)D. (3,5)
3.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(1,1,1)，B(-1,-2,2)，若点P与点A关于平面Oxz对称，则|BP|=( )
A. 6B. 10C. 22D. 6
4.已知直线l过定点(0,m)，点A(4,3)到直线l的距离的最大值为5，则实数m=( )
A. 0或6B. -1或7C. 6D. 7
5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C外一点，若直线PF1的倾斜角为π3，|PF2|=|F1F2|，且线段PF2的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为( )
A. 12B. 32C. 3-1D. 63
6.在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，A(2,0)，B(5,0)，且动点M满足|MA||MB|=2，则|OM|的取值范围是( )
A. (4,6)B. [4,6]C. (4,8)D. [4,8]
7.已知直线l:y=-2x，则曲线C:y= 4-(x+1)2+1上到直线l的距离为3 55的点的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆E:(x+3)2+(y-4)2=4上.若椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，且|PQ|-|PF|的最小值为2 5-6，则|PQ|+|PF|的最小值为( )
A. 4 2B. 4 2-2C. 2 3D. 2 3-2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是( )
A. 2B. -2C. 2D. -3
10.已知椭圆C:x29+y28=1的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B两点，直线y=m(00)外一点P(x0,y0)向该椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0xa2+y0yb2=1，且称该直线为点P关于椭圆C的极线.如图，两个椭圆C1，C2的方程分别为C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)，离心率分别为e1，e2.设椭圆C2在椭圆C1内，且椭圆C1上任意一点M关于椭圆C2的极线为lM.若坐标原点O到直线lM的距离为定值1，则e12-e22的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,2)，B(2,4)，C(-5,5)．
(1)求AB边上的高所在的直线方程;
(2)若直线l过点C，且对直线l上异于点C的任意一点P都满足△PAC和△PBC的面积相等，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
已知圆C过点A(- 15,1)和B(2 3,4)，且圆心C在y轴上．
(1)求圆C的标准方程;
(2)若直线l过点P(2,0)，且被圆C截得的弦长为4 3，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长半轴长等于焦距，且过点P(1,32).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，过椭圆C的右焦点F作一条直线与椭圆交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围．
18.(本小题17分)
如图1，在梯形ABCD中，AD/​/BC，∠ADC=90∘，BC=2AD=2 3，点E是CD上的点，且DC=3DE=3.现将△ADE沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且PC= 6，如图2．
(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE;
(2)设AE的中点为M，AP的中点为N．
(ⅰ)经过C，M，N三点的平面交PB于点F，求PBPF;
(ⅱ)在平面PMC内取一点Q，使得直线EQ⊥平面PBC，求PQ的长．
19.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y212=1(a>2 3)的左顶点为A，右焦点为F，且|AF|=6．
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点A作直线与椭圆C交于点P，且点P在第一象限，直线AP与直线x=8交于点Q，过点A且平行于QF的直线与直线PF交于点R．
(ⅰ)若|PQ|=|PA|，求直线QF的斜率;
(ⅱ)x轴上是否存在定点G，使得∠ARG=∠FRQ?若存在，求出定点G的坐标;若不存在，说明理由．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.A
5.C
6.D
7.C
8.B
9.ABC
10.BC
11.ABD
12.x+y-2=0
13. 6
14.14
15.解：(1)设AB边上的高为CH，
∵直线CH与AB垂直，又直线AB的斜率kAB=4-22-(-4)=13，
∴CH的斜率kCH=-3．
又∵直线CH过点C(-5,5)，
∴CH的方程为y-5=-3(x+5)，
整理成一般方程为3x+y+10=0．
(2)∵对直线l上异于点C的任意一点P都满足S△PAC=S△PBC，
则A，B两点到直线l的距离相等，
∴直线l与AB平行或过AB的中点．
①当直线l与AB平行时，l的斜率与AB的斜率相等且过点C(-5,5)，
则直线l的方程为y-5=13(x+5)，整理成一般方程为x-3y+20=0;
②当直线l过AB的中点(-1,3)时，直线l的斜率kl=5-3-5-(-1)=-12且过点C(-5,5)，
则直线l的方程为y-3=-12(x+1)，整理成一般方程为x+2y-5=0．
综上，直线l的方程为x-3y+20=0或x+2y-5=0．
16.解：(1)∵圆C的圆心在y轴上，不妨设圆C的标准方程为x2+(y-b)2=r2(r>0)，
代入点A(- 15,1)，B(2 3,4)，得15+(1-b)2=r212+(4-b)2=r2，解得b=2 r=4，
即圆C的标准方程为x2+(y-2)2=16．
(2)∵直线l被圆C截得的弦长为4 3，且圆C的半径为4，
∴圆心C到直线l的距离为d= 16-12=2，
①当直线l斜率不存在，即直线l为x=2时，满足d=2;
②当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-2)，则由d=|2k+2| k2+1=2，解得k=0，即直线l的方程为y=0，
综上，直线l的方程为x=2或y=0．
17.解：(1)由椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长半轴长等于焦距，且过点P(1,32)，
得a=2c1a2+94b2=1，
又∵a2=b2+c2，解得a=2 b= 3，
则椭圆C的方程为x24+y23=1;
(2)当直线MN与x轴重合时，四边形AMBN显然不存在．
不妨设直线MN:x=my+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
将直线方程与椭圆C:x24+y23=1联立，
得(3m2+4)y2+6my-9=0，显然Δ>0恒成立，
则y1+y2=-6m3m2+4y1·y2=-93m2+4且y1，y2异号．
则四边形AMBN的面积
S=S△MAB+S△NAB=12|AB||y1|+12|AB||y2|=12|AB||y1-y2|=2 (y1+y2)2-4y1y2=24 m2+13m2+4
令t= m2+1≥1，四边形AMBN的面积可化为S=24t3t2+1=243t+1t．
∵函数y=3t+1t在[1,+∞)上单调递增，则3t+1t≥4，
∴四边形AMBN的面积的取值范围为(0,6]．
18.(1)证明：在平面PAE内过点P作PH⊥AE于点H，连接CH．
在梯形ABCD中，由∠ADC=90∘，AD= 3，DE=1，
易得∠DEA=60∘，
则EH=DEcs∠DEA=12，DH= 32，即PH= 32．
在△CEH中，由余弦定理，得CH2=EH2+EC2-2EH⋅EC⋅cs∠HEC
=14+4+1=214．
∵PC= 6，且PC2=PH2+CH2，∴PH⊥HC．
又AE∩CH=H，AE，CH⊂平面ABCE，
得PH⊥平面ABCE．
∵PH⊂平面PAE，
∴平面PAE⊥平面ABCE．
(2)解：过点H作AB的平行线交BC于点G，易得HG⊥AE．
以H为原点，分别以HA，HG，HP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系H-xyz，
由已知，得A(32,0,0)，B(32,2 3,0)，C(-32, 3,0)，E(-12,0,0)，P(0,0, 32)，
则AE的中点M(12,0,0)，AP的中点N(34,0, 34).
(i)设PFPB=λ，即PF=λPB，
由PB=(32,2 3,- 32)，得PF=(32λ,2 3λ,- 32λ)，
则F(32λ,2 3λ, 32- 32λ).
∵C，M，N，F四点共面，∴MF=sMC+tMN，
即(32λ-12,2 3λ, 32- 32λ)=s(-2, 3,0)+t(14,0, 34)
=(-2s+14t, 3s, 34t)，
得32λ-12=-2s+14t2 3λ= 3s 32- 32λ= 34t，解得λ=16，
故PBPF=6．
(ii)设MQ=mMP+nMC
=m(-12,0, 32)+n(-2, 3,0)
=(-12m-2n, 3n, 32m)，
则Q(12-12m-2n, 3n, 32m)，
EQ=(1-12m-2n, 3n, 32m)．
∵直线EQ⊥平面PBC，
得EQ⋅CB=3(1-12m-2n)+3n=0EQ⋅PB=32(1-12m-2n)+6n-34m=0，解得m=32n=14．
则Q(-34, 34,3 34)，
∴|PQ|= 916+316+316= 154，即PQ的长为 154．
19.解：(1)由题意，得a+c=6a2=12+c2，(a>2 3)解得a=4．
∴椭圆C的方程为x216+y212=1．
(2)(i)∵|PQ|=|PA|，且A，P，Q三点共线，
∴点P的横坐标为2．
由点P在椭圆C上，将横坐标代入，得点P的纵坐标为3．
则直线AP的方程为x-2y+4=0，与直线x=8联立，得点Q的坐标为(8,6)．
∵点F的坐标为(2,0)，
∴直线QF的斜率为1．
(ii)设直线x=8与x轴的交点为S，由(i)猜想QF平分∠PFS．
∵直线AP不与x轴重合，∴设AP的方程为x=my-4，P(x0,y0)，
将直线AP的方程与椭圆C的方程联立，
得(3m2+4)y2-24my=0，
则y0=24m3m2+4，
即P(12m2-163m2+4,24m3m2+4).
将直线AP的方程与直线x=8联立，易得Q(8,12m).
①当PF斜率不存在时，由(i)得∠PFQ=∠SFQ;
②当PF斜率存在时，tan∠QFS=2m，tan2∠QFS=4m1-4m2=4mm2-4，
∵tan∠PFS=24m3m2+412m2-163m2+4-2=24m6m2-24=4mm2-4=tan2∠QFS，
∴∠PFQ=∠SFQ.由AR//FQ，
得∠RAF=∠QFS=∠RFQ=∠ARF，
则|FR|=|FA|=4．
设点F关于直线x=8的对称点为H(14,0)，
则△FAR∽△QHF，|RF||FQ|=|RA||FH|，
∵|FH|=|AS|=12，
∴|RF||FQI=|RA||FH|=|RA||AS|，
又∵∠RAS=∠RFQ，
∴△RAS∽△RFQ，则∠ARS=∠FRQ，
即x轴上存在定点G(8,0)，使得∠ARG=∠FRQ．