武汉市第二中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份武汉市第二中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
2．设集合,则( )
A.B.C.D.
3．已知,,且,则的最小值为( )
A.B.C.D.
4．,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
5．若,,则( )
A.B.C.D.
6．要得到函数的图象,可以将函数的图象( )
A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度
7．已知函数,其中.若在区间上单调递增,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．为迎接大运会的到来,学校决定在半径为,圆心角为的扇形空地OPQ的内部修建一平行四边形观赛场地ABCD,如图所示.则观赛场地的面积最大值为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.的角是一个锐角
B.与的终边相同
C.将时钟拨快分钟,则分钟转过的角度是
D.若是第一象限角,则为第一或第三象限角
10．下列各式中值为1的是( )
A.B.
C.D.
11．已知函数,则以下结论正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象关于点成中心对称
C.函数与的图象在上有偶数个交点
D.当时,
12．已知函数,,的零点分别为a,b,c,下列各式正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．已知扇形的周长为4,圆心角为,则扇形面积为__________.
14．已知幂函数是R上的增函数,则m的值为__________________．
15．某公园有一座摩天轮,其旋转半径30米,最高点距离地面70米,匀速运行一周大约18分钟某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第3分钟时,他距地面大约为____________米
16．已知函数,若的值域为,则实数c的取值范围是_________.
四、解答题
17．回答下列问题
（1）计算;
（2）计算．
18．已知实数x满足,.
（1）若,求实数x的取值范围;
（2）已知实数x满足.若存在实数a,使得p是q的必要不充分条件,则求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
19．已知函数．
（1）化简的解析式;
（2）若,且,,求．
20．已知函数,如图A、B是直线与曲线的两个交点,且,又．
（1）求函数的解析式;
（2）求函数的增区间．
21．已知函数．
（1）判断并证明的奇偶性,并求出使成立的的取值范围;
（2）设（1）中的取值范围为集合A,现有函数,其定义域为D,若对A中任意一个元素,都存在n个不同的实数,,,···,,使（其中,2,3,···,n,,）则称为A的“重对应函数”试判断是否为A的“n重对应函数”？如果是,写出并计算出;如果不是,请说明理由．
22．已知函数满足：对,都有,且当时,函数．
（1）求实数m的值,并写出函数在区间的零点无需证明;
（2）函数,,是否存在实数k,使得恒成立？若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由．
参考答案
1．答案：D
解析：因为命题“,”是存在量词命题,
所以其否定是全称量词命题即,,
故选：D.
2．答案：D
解析：因为,所以,解得,
因为,所以,解得,
所以,,
故．
故选：D．
3．答案：A
解析：因为,
所以,
当且仅当时,即取等号,
所以的最小值为.
故选：A.
4．答案：D
解析：易知,,
因为,函数在区间内单调递增,所以,
所以.
故选：D.
5．答案：A
解析：因为,所以,
,则,,.
所以,所以,
故选：A.
6．答案：A
解析：,,
,
所以的图象向右平移得到的图象.
故选：A.
7．答案：A
解析：,
函数在区间内单调递增,
,,
, ,
若在区间上单调递增,则,
解得,当时,,又因, .
故选：A.
8．答案：D
解析：如图所示：
连接OC,设,作,,垂足分别为F,E．
根据平面几何知识可知,,,．
,．
故四边形ABCD的面积S也为四边形DFEC的面积,
即有
,其中．
所以当即时,．
故选：D．
9．答案：CD
解析：A项,,是钝角,A错误;
B项,,与终边相同,
,是第三象限角,而是第一象限角,B错误;
C项,时钟拨快30分钟,则分钟转过的角为负角,且是整个表盘的一半,则为,C正确;
D项,是第一象限角,,,
,,是第一或第三象限角,D正确．
故选：CD．
10．答案：ABD
解析：选项A,,即A符合题意;
选项B,,即B符合题意;
选项C,,即C不符合题意．
选项D,
,即D符合题意．
故选：ABD．
11．答案：AD
解析：对于选项A：,
函数最小正周期为,故A正确;
对于选项B：,
函数的图象关于点成中心对称,故B错误;
对于选项C：,
函数的图象关于点成中心对称,
即函数与的图象均关于点成中心对称,
,即为函数与的一个交点,
当,函数与的图象有个交点,
则当,函数与的图象有个交点,
综上所述：函数与的图象有个交点,为奇数个,故C错误;
对于选项D：当时,则,所以,
且,,,
,故D正确．
故选：AD．
12．答案：ACD
解析：函数,,,
显然,,均为单调递增函数,
由题意得：,,即,
又由于单调递增,故,
即,,故A,C正确
又,,故
故,
又,因此有,故B错误,
,因此,故D正确．
故选：ACD．
13．答案：1
解析：设扇形的半径为r,则,可得,而扇形的弧长为,
所以扇形面积为.
故答案为：1.
14．答案：3
解析：因为为幂函数,所以即或,
又因为为R上的增函数,所以.
故答案为：3.
15．答案：25
解析：如图设AF为地面,圆O为摩天轮,其旋转半径30米,最高点距离地面70米,
则摩天轮的最低点B离地面10米,即,
以AF所在直线为x轴,BO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
某人在最低点B的位置坐上摩天轮,则第t分钟时所在位置的高度为h,
则,
由题意,,
则,
所以,
当时,．
故答案为：25．
16．答案：
解析：函数,当时,,当时,,
而,即有,依题意,,即,又,则有,
当时,函数在上的取值集合为,不符合题意,
于是,函数在上单调递增,则,
有,因此,
所以实数c的取值范围是.
故答案为：.
17．答案：（1）0;
（2）3.
解析：（1）
;
（2）
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）时,由不等式可得：,即实数x的取值范围为.
（2）由不等式可得：,因,故,则有：,
因p是q的必要不充分条件,故,,则,故得：
即实数a的取值范围为.
19．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）
（2）由于,
故,
所以,
由于,
故,,,
所以,,
故,,
故
,
所以．
20．答案：（1）;
（2）,．
解析：（1）由题意设,,则,,
由图可知点A,,在同一个周期内,
则,,
又因为,则,可得,解得,
则,解得,，
所以,,
即;
（2）函数
,
令,则,
所以,
令,,解得,
所以函数的单调递增区间为,．
21．答案：（1）函数为偶函数,证明见解析
（2）是,．
解析：（1）函数为偶函数,证明如下：
函数,其定义域为R,
又,则函数为偶函数．
设,则,
又由,则,,,
故,
故函数在上为增函数;
又由,
则,即,
变形可得,解得,
即的取值范围是．
（2）因为,所以,作出在上的图象如下图,

由图象可知,当时,函数与在上的图象恒有4个交点,
根据定义可得是的“重对应函数”,即．
由的对称性知：,,
则,
所以是A的“4重对应函数”,
,．
22．答案：（1）,零点是2;
（2）存在,
解析：（1）由题意可得：,且当时,,
则,解得,
在上单调递减,
由于,且时,增大的幅度比增大的幅度越来越快,
故在上单调递增,
函数在区间上单调递减,
又,
故函数在区间的零点是2;
（2）令,可得,即,
定义域为,
,则对,,且,
可得,且在是增函数,
则,即,
在是增函数,
若恒成立,则首先要满足恒成立,
又,,
令,令,,
则,解得,
又,
故当时,对任意时恒成立,
而在上是增函数,在上是减函数,
在上是增函数,又,
故恒成立,只需恒成立,
即,解得,
综上所述：存在实数k,使得恒成立,k的取值范围为．