广西南宁三中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷及解析（word版）

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1. 直线 l1:2x+3y−2=0,l2:2x+3y+2=0 的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 重合
【答案】B
【解析】
【分析】先将直线方程化为斜截式,比较斜率和在 y 轴的截距,得到答案.
【详解】由题 l1:y=−23x+23,l2:y=−23x−23 ,则两直线的斜率相等,在 y 轴的截距, 故两条件直线的位置关系为平行.
故选: B
【点睛】本题考查了由两直线方程的一般式判断两直线位置关系, 属于基础题.
2. 已知数列 an 的通项公式为 an=1−3n ，则 a6= ( )
A. -19 B. -17 C. -14 D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】根据通项公式直接代值计算即可.
【详解】由 an=1−3n ,则 a6=1−3×6=−17 .
故选: B.
3. 以 C3,−2 为圆心,且过点 B6,−1 的圆的标准方程为( )
A. x+32+y−22=10 B. x+32+y−22=4
C. x−32+y+22=4 D. x−32+y+22=10
【答案】D
【解析】
【分析】由圆心 C 和过点 B 求出半径,再利用圆的标准方程即可得解.
【详解】由题可知, CB=3−62+−2+12=10 ,所以圆的半径 r=10 ,
又以 C3,−2 为圆心,所以圆的标准方程为: x−32+y+22=10 ,
故选: D.
4. 如果物体的运动函数为 s=1t+2t,t>1 ,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 2 秒末的
瞬时速度是( )
A. 74 米/秒 B. 94 米/秒 C. 32 米/秒 D. 52 米/秒
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数后可求物体在 2 秒末的瞬时速度.
【详解】 s′=−1t2+2 ,所以 s′t=2=−14+2=74 (米/秒),
故选:A.
5. ” 20m>4−m ,解得 20,gx 在 R 上单调递增,
而 g1=f1e=2 ,又 fx−2ex>0 ,即 fxex>2 ,从而 gx>g1 ,根据 gx 的单调性可得 x>1 ,
故选: C.
7. 已知等差数列 an,bn 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,且 SnTn=2n+1n+2 ,则 a5b2+b8+a1b3+b7 等于 ( )
A. 1922 B. 322 C. 811 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列的性质可得: a5b2+b8+a1b3+b7=a52b5+a12b5=a32b5 . 令 Sn=n2n+1,Tn=n ( n+2) . 可得 n=1 时, a1=S1;b1=T1.n≥2 时, an=Sn−Sn−1;bn=Tn−Tn−1 ,代入计算即可.
【详解】由等差数列的性质可得: a5b2+b8+a1b3+b7=a52b5+a12b5=a3b5 .
令 Sn=n2n+1,Tn=nn+2 .
n=1 时, a1=S1=3;b1=T1=3 .
n≥2 时, an=Sn−Sn−1=n2n+1−n−12n−1=4n−1 ;
bn=Tn−Tn−1=nn+2−n−1n+1=2n+1.
∴a5b2+b8+a1b3+b7=a3b5=4×3−12×5+1=1 .
故选: D .
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.
8. 已知 F1,F2 分别是双曲线 Γ:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点, O 为坐标原点,过 F1 的直线分别交双曲线左、右两支于 A,B 两点，点 C 在 x 轴上， CB=4F2A,BF2 平分 ∠F1BC,AB 与其中一条渐近线交于点 P ，则 cs∠POF1= ( )
A 22211 B. 223 C. 263 D. 3311
【答案】D
【解析】
【分析】由 CB=4F2A 可得 CB∥AF2 ，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得 AF2=AB=3a,BF2=2a ,由余弦定理可得 ac=3311 ,从而可求解.
【详解】因为 CB=4F2A ,则 CB∥AF2 ,且 ∣F1F2∣=2c , CF2=4c ,

设 AF1=t ,则 BF1=4t,AB=3t ,
又因为 BF2 平分 ∠F1BC ,则 BCBF1=F2CF1F2=3 ,
可得 BC=3BF1=12t,AF2=14BC=3t ,
由双曲线定义可知 AF2−AF1=2t=2a ， BF1−BF2=2a ，
可得 AF2=AB=3a,BF2=2a ,且 F1F2=2c ,
因为 ∠F1AF2+∠BAF2=π ,则 cs∠F1AF2+cs∠BAF2=0 ,
可得 F1A2+F2A2−F1F222F1A⋅F2A+AB2+F2A2−BF222AB⋅AF2=0 ,
即 a2+9a2−4c22×a×3a+9a2+9a2−4a22×3a×3a=0 ,化简得 ac=3311 ,
不妨令一条渐近线与线段 AB 的交点 P 在第一象限,则 tan∠POF1=ba ,
所以 cs∠POF1=ac=3311 .
故选: D.
【点睛】关键点点睛: 这道题的关键是由 CB=4F2A 可得 CB∥AF2 ,结合角平分线的性质和双曲线的定义可得 AF2=AB=3a,BF2=2a ,再结合余弦定理分析求解.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知等比数列 an ， a1=1 ， q=2 ，则().
A. 数列 1an 是等比数列
B. 数列 1an 是递增数列
C. 数列 lg2an 是等差数列
D. 数列 lg2an 是递增数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出数列 1an 与 lg2an 的通项公式,再判断是否是等比或等差数列; 等差数列的单调性决定于公差的正负, 等比数列的单调性决定于首项的正负和公比与 1 的大小.
【详解】由 a1=1,q=2 得 an=2n−1,1an=12n−1 ,所以数列 1an 是等比数列且为递减数列,故 A 正确 B 不正确;
lg2an=n−1 ,数列 lg2an 是递增的等差数列,故 C,D 正确.
故选: ACD.
10. 已知 F1,F2 分别是双曲线 x2a2−y2b2=1 a>0,b>0 的左、右焦点, A 为左顶点, P 为双曲线右支上一点. 若 PF1=2PF2 ，且 △PF1F2 的最小内角为 30∘ ，则()
A. 双曲线的离心率为 3 B. 双曲线的渐近线方程为 y=±x
C. ∠PAF2=45∘ D. 直线 x+2y−2=0 与双曲线有两个公共点
【答案】AD
【解析】
【分析】A.易得焦点三角形为直角三角形,利用勾股定理求解判断; B.利用离心率为 3 求解判断; 解: C. 利用离心率为 3 ,结合 ∠PF2F1=90∘ 求解判断; D. 由直线方程与双曲线方程联立, 利用判别式判断.
【详解】解: 如图所示:

因为 PF1=2PF2,PF1−PF2=2a ,所以 PF1=4a,PF2=2a ,
又 ∠PF1F2=30∘ ,则 ∠PF2F1=90∘,∠F1PF2=60∘ ,
由勾股定理得 2c2+2a2=4a2 ,解得 e=3 ,故 A 正确;
则 ba=e2−1=2 ,所以渐近线方程为 y=±2x ,故 B 错误;
因为 e=3 ,所以 c=3a ,则 AF2=c+a=3+1a ,而 PF2=2a ,所以 AF2≠PF2 , 所以 ∠PAF2≠45∘ ,故 C 错误;
由 x2a2−y22a2=1x+2y−2=0 ,消去 x 得 7y2−16y+8−2a2=0 ,则
Δ=162−4⋅7⋅8−2a2=32+56a2>0,
所以直线 x+2y−2=0 与双曲线有两个公共点,故 D 正确,
故选: AD
11. 已知函数 fx=13x3−ax+2lnx 恰有两个极值点 x1,x2x13 B. 存在 a∈R ,使得 fx 有三个零点
C. fx21,y′0,gx 单调递增,当 x∈1,+∞ 时, g′x0 时,函数 y=lnx+ax+1 在 0,a 上单调递减,
在 a,+∞ 上单调递增,在 x=a 处取得最小值 lna+2 ,
因为 a>1 ,所以 h′x 在 1,a 上单调递减,在 a,+∞ 上单调递增,
所以 h′x≥h′a=lna>0 ,
所以函数 hx 在 1,+∞ 上单调递增.
所以 hx>h1=0
即当 a>1 时, fx−2x>−2 在 1,+∞ 上恒成立.
19. 已知抛物线 E:y2=2pxp>0 上一点 H3,y 到其焦点 F 的距离为 4 .
(1)求抛物线 E 的方程；
(2)已知抛物线 E 的准线为 l,O 为坐标原点，若过焦点 F 的动直线与抛物线交于 A,B 两点，直线 AO 与 l 交于点 C ,
(i) 证明: 直线 BC//x 轴;
(ii) 过 A,B 两点分别作抛物线的切线 l1,l2,l1,l2 相交于点 Q 且分别与直线 x=2 相交于点 M,N , 求 △QMN 面积的取值范围.
【答案】(1) y2=4x
(2)(i)证明见解析；(ii) [9,+∞) .
【解析】
【分析】(1) 根据抛物线定义,利用焦半径公式可求 p ;
(2)(i)设 Ay124,y1,By224,y2 ，联立直线与抛物线组成方程，可求得 yC=yB ，可得结论；
(ii) 设 l1:y−y1=kx−y124 ,与抛物线方程联立,利用根与系数关系. 分别求出 M2,4y1+y12,N2,4y2+y22,xQ=−1 ,进而计算可求面积的取值范围.
【小问 1 详解】
由题意可知抛物线准线为 l:x=−p2 ,则 H3,y 到准线 l 的距离为 3+p2 ,根据抛物线的定义可知 3+p2=4 ,即 p=2
所以抛物线方程为: y2=4x ;
【小问 2 详解】
(i) 证明: 由 (1) 可知抛物线的焦点 F1,0 ,准线方程 l 为 x=−1 , 设 Ay124,y1,By224,y2 ,
所以直线 AO 的方程为 y=4y1x ,
由题意可得点 C−1,−4y1 ,
设直线 AB 的方程为 x=my+1 ,
联立 x=my+1y2=4x ,整理可得 y2−4my−4=0 ,
所以 y1+y2=4m,y1y2=−4 ,可得 y2=−4y1 ,
所以 yC=y2=yB ,
所以直线 BC//x 轴.
(ii) 设 l1:y−y1=kx−y124 ,
联立方程组 y−y1=kx−y124y2=4x
消去 x ,整理得 ky2−4y+4y1−ky12=0 ,
所以 Δ=16−4k4y1−ky12=0 ,

所以 k=2y1 ,则 l1:y−y1=2y1x−y124 ,即 y=2y1x+y12 ,
令 x=2 ,得 M2,4y1+y12 ,
同理 l2:y=2y2x+y22,N2,4y2+y22 ,
联立 y=2y1x+y12y=2y2x+y22 ,
得交点 Q 的横坐标为 xQ=y1y24=−1 ,
S△QMN=12MN⋅2−xQ=124y1+y12−4y2−y22⋅3=3232y1−y2
=94y1+y22−4y1y2=9m2+1≥9,
∴△QMN 面积的取值范围是 [9,+∞) .x
(0,1)
1
(1,+∞)
y′
-
0
+
y
单调递减
极小值
单调递增