广西南宁第三中学2023~2024学年高二下册期末考试数学试卷[附解析]

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A.B.C.D.
3.已知向量满足，且与的夹角为，则（ ）
A.6B.10C.15D.21
4.近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
附：，
以下结论中错误的是（ ）
A.有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
B.没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
D.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关
5.已知为坐标原点，为抛物线E:x2=2pyp>0的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（ ）
A.B.C.D.
6.已知，则（ ）
A.B.
C.D.
7.如图，在三棱台中，平面，则与平面所成角余弦值为（ ）

A.B.
C D.
8.已知点，则点到直线的最大距离为（ ）
A.B.
C.D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对得6分.有选错的得0分，部分选对得部分分）
9.已知函数(其中)的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B.
C.图象关于直线对称
D.在上的值域为
10.已知圆，直线，下列说法正确是（ ）
A.若圆关于直线对称，则
B.若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为
C.若，动点在圆上，则的最大值为30
D.若过直线上任意一点作圆切线，切点为，则的最小值为
11.已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（ ）
A.若的内切圆圆心为，直线的斜率为
B.若的内切圆圆心为的外接圆半径为
C.若且，则
D.若且，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.展开式中项的系数为________.
13.已知数列满足，则其前9项和 ___.
14.已知函数，其中表示不超过的最大整数.如：，以下三个结论：
①；
②集合的元素个数为9；
③对任意都成立，则实数的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是___.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知等差数列的公差与的等差中项为5，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和T20.
16.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.
（1）求证：直线平面；
（2）若点为线段的中点，求二面角的正弦值.
17.据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．
（1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
（2）设小王获得的年薪为（单位：万元），求的分布列及其数学期望．
18.设函数.
（1）当时，
①求函数的单调区间；
②对于成立，求实数的取值范围.
（2）当a>0时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围.
19.已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围；
（3）过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值.
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
初中生
160
40
高中生
140
60
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635