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2023-2024学年广西南宁三中高二（下）期末数学试卷 （含解析）
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这是一份2023-2024学年广西南宁三中高二（下）期末数学试卷 （含解析），共22页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在复平面内，复数z＝i3（1+i）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．A∩∁UBB．A∪∁UBC．B∩∁UAD．B∪∁UA
3．已知向量满足，且与的夹角为，则＝（ ）
A．6B．10C．15D．21
4．近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
附：，
以下结论中错误的是（ ）
A．有95%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
B．没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关
5．已知O为坐标原点，F为抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点，A为E上的一点，AF垂直于y轴，B为y轴上一点，且∠BAO＝90°，若，则p＝（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则sinαsinβ＝（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，则AC与平面BCC1B1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点，则点P到直线x﹣y﹣1＝0的最大距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对得6分。有选错的得0分，部分选对得部分分）
（多选）9．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．ω＝4
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）在上的值域为
（多选）10．已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝16，直线l：mx+y+2m+1＝0，下列说法正确的是（ ）
A．若圆C关于直线l对称，则
B．若直线l与圆C交于M，N两点，则|MN|的最小值为
C．若P（6，0），动点Q在圆C上，则的最大值为30
D．若过直线x+2y﹣9＝0上任意一点E作圆C的切线，切点为F，则|EF|的最小值为
（多选）11．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C右支上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若△PF1F2的内切圆圆心为I（4，1），直线PF1的斜率为
B．若△PF1F2的内切圆圆心为I（4，1），△PF1F2的外接圆半径为
C．若且PF1⊥PF2，则
D．若且，则|PF1|≥5|PF2|
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．展开式中x2项的系数为 ．
13．已知数列{an}满足a1＝1，an+1+an＝3n+2，则其前9项和S9＝ ．
14．已知函数f（x）＝2[sinx]+3[csx]，其中[x]表示不超过x的最大整数．如：[1]＝1，[0.5]＝0，[﹣0.5]＝﹣1，以下三个结论：
①；
②集合{y∈R|y＝f（x），x∈R}的元素个数为9；
③f（x）＞x+a对任意x∈[0，2π]都成立，则实数a的取值范围是，
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知等差数列{an}的公差d＞0，a2与a8的等差中项为5，且a4a6＝16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和T20．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°．
（1）求证：直线BD⊥平面PAC；
（2）若点M为线段PC的中点，求二面角C﹣MB﹣A的正弦值．
17．据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．
（1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
（2）设小王获得的年薪为X（单位：万元），求X的分布列及其数学期望．
18．（17分）设函数f（x）＝ax2，g（x）＝lnx．
（1）当a＝1时，
①求函数F（x）＝g（x）﹣f（x）+x的单调区间；
②对于∀x∈[1，+∞），xg（x）+f（x）≥（m+1）x﹣m成立，求实数m的取值范围．
（2）当a＞0时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）有两条公切线，求实数a的取值范围．
19．（17分）已知椭圆的离心率为，点在C上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，A为椭圆C的右顶点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设椭圆C上一点M的坐标为（x0，y0），若∠F1MF2为钝角，求横坐标x0的取值范围．
（3）过点B（5，2）的直线与椭圆C交于不同的两点D，E（D，E与A不重合），直线AD，AE分别与直线x＝5交于P，Q两点，求|BP|•|BQ|的值．
参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数z＝i3（1+i）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
解：复数z＝i3（1+i）＝﹣i（1+i）＝﹣i+1对应的点（1，﹣1）位于第四象限．
故选：D．
2．已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．A∩∁UBB．A∪∁UBC．B∩∁UAD．B∪∁UA
【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可．
解：观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为A∩∁UB．
故选：A．
3．已知向量满足，且与的夹角为，则＝（ ）
A．6B．10C．15D．21
【分析】根据平面向量数量积的定义进行运算即可．
解：由，且与的夹角为，
所以
＝．
故选：C．
4．近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
附：，
以下结论中错误的是（ ）
A．有95%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
B．没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关
【分析】补全2×2列联表，计算χ2的值，再与临界值比较即可．
解：补全2×2列联表如下：
零假设H0：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，
则，
所以没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关，故B正确；
又因为χ2≈5.333＞3.841，
所以有95%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关，
即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关，故A正确，C正确，D错误．
故选：D．
5．已知O为坐标原点，F为抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点，A为E上的一点，AF垂直于y轴，B为y轴上一点，且∠BAO＝90°，若，则p＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据抛物线性质以及几何关系可得|AF|2＝|OF||BF|，从而可解．
解：因为F为抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点，A为E上的一点，AF垂直于y轴，B为y轴上一点，且∠BAO＝90°，
则|AF|2＝|OF||BF|，
又∵，
∴，
解得．
故选：B．
6．已知，则sinαsinβ＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
解：因为＝，
由于；
所以．
故选：C．
7．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，则AC与平面BCC1B1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】将棱台补全为棱锥D﹣ABC，设点A到面BCC1B1的距离为h，由VD﹣ABC＝VA﹣BCD，可得h的值，设AC与平面BCC1B1所成角为θ，则sinθ＝，进而求解即可．
解：将棱台补全为棱锥D﹣ABC，如图所示，
由∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，
得，
由AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
得AA1⊥AB，AA1⊥AC，
所以，
故BC2+BD2＝CD2，
所以，
设点A到面BCC1B1的距离为h，
因为VD﹣ABC＝VA﹣BCD，
所以，解得，
设AC与平面BCC1B1所成角为，
则，即，
所以csθ＝cs＝．
故选：B．
8．已知点，则点P到直线x﹣y﹣1＝0的最大距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画出点P表示的平面区域，结合导数的几何意义即可得出答案．
解：由，得0＜x≤1，
又，
当y＜0时，，当y≥0时，，
令的定义域为（0，+∞），
令，解得：，
易知当时，F′（x）＞0，
当时，F′（x）＜0，
所以F（x）在上单调递减，在上单调递增，且，
函数与图象如图，
由此可知：可知点P位于图中阴影部分区域，则点P到直线x﹣y﹣1＝0最大距离为函数上切线斜率为1的点到直线x﹣y﹣1＝0的距离，
由，
设，得，
则点到x﹣y﹣1＝0的距离为．
故选：B．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对得6分。有选错的得0分，部分选对得部分分）
（多选）9．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．ω＝4
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）在上的值域为
【分析】根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象求出A、φ和ω的值，写出函数的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，A＝3，f（0）＝3sinφ＝﹣，解得sinφ＝﹣，
因为|φ|＜，所以φ＝﹣，选项A正确；
因为，所以，解得ω＝8+48k（k∈Z）；
又因为，所以0＜ω＜24，当k＝1时，ω＝8，选项B错误；
因为，所以令，解得，
所以f（x）的图象关于直线对称，选项C正确；
因为当时，，所以，
所以f（x）在上的值域为[﹣，3]，选项D正确．
故选：ACD．
（多选）10．已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝16，直线l：mx+y+2m+1＝0，下列说法正确的是（ ）
A．若圆C关于直线l对称，则
B．若直线l与圆C交于M，N两点，则|MN|的最小值为
C．若P（6，0），动点Q在圆C上，则的最大值为30
D．若过直线x+2y﹣9＝0上任意一点E作圆C的切线，切点为F，则|EF|的最小值为
【分析】由圆心在直线上代入计算可判断A；由圆的弦长公式计算可判断B；由投影向量的定义和数量积的几何意义可判断C；由点到直线的距离公式和勾股定理计算即可判断D．
解：对于A，若圆C关于直线l对称，则圆心C在直线l上，
将（1，﹣2）代入方程mx+y+2m+1＝0，解得，故A正确；
对于B，因为直线l过定点A（﹣2，﹣1），当直线l与AC垂直时，弦长|MN|最短，
此时圆心C到直线l的距离为，所以弦长|MN|为，故B错误；
对于在方向上的投影的最大值为5，所以的最大值为6×5＝30，故C正确；
对于D，当切线长|EF|最小时，|EC|最小，此时EC与直线l垂直，|EC|为点C到直线l的距离，为，由勾股定理得，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C右支上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若△PF1F2的内切圆圆心为I（4，1），直线PF1的斜率为
B．若△PF1F2的内切圆圆心为I（4，1），△PF1F2的外接圆半径为
C．若且PF1⊥PF2，则
D．若且，则|PF1|≥5|PF2|
【分析】根据双曲线的性质，结合内心的性质，确定内切圆的圆心在x轴的射影为双曲线的顶点，再结合二倍角和正切公式，即可判断A；根据A的结果判断△PF1F2是直角三角形，再结合正弦定理判断B；由斜率结合三角形的正切公式，表示|PF1|和|PF2|，再根据双曲线的定义和离心率公式，即可判断C；由正切值求cs∠PF1F2＝，再根据余弦定理求|PF1|和|PF2|，结合离心率公式，即可判断D．
解：如图1，由条件知点P在双曲线C的右支上，
设圆I分别与△PF1F2的三边切于点M，N，A，
则|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1A|，|F2N|＝|F2A|，
∵|PF1|﹣|PF2|＝|F1M|﹣|F2N|＝|AF1|﹣|F2A|＝（xA+c）﹣（c﹣xA）＝2xA＝2a，
∴a＝xA＝4，得F1（﹣5，0），F2（5，0），
连接IF1，IF2，IA，则tan∠IF1A＝＝，
∴＝tan∠PF1A＝tan2∠IF1A＝＝，故A正确；
同理，tan∠IF2A＝＝1，△PF1F2是直角三角形，sin∠F1PF2＝，
由正弦定理得＝2R，解得R＝，故B错误；
若PF1⊥PF2，则|PF1|＝|F1F2|sin∠PF2O＝2b，|PF2|＝|F1F2|cs∠PF2O＝2a，
且|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，∴，
∴e＝＝＝，故C正确；
∵＝﹣，∴cs∠PF2F1＝，
解得|PF2|＝，|PF1|＝＝≥0，
∴，∴|PF1|≥5|PF2|，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．展开式中x2项的系数为 30 ．
【分析】利用二项式展开式的通项公式，求解即可．
解：展开式的通项公式为，
当6﹣2r＝2时，r＝2，
所以，即x2项的系数为30．
故答案为：30．
13．已知数列{an}满足a1＝1，an+1+an＝3n+2，则其前9项和S9＝ 69 ．
【分析】由数列的递推式和等差数列的求和公式，可得所求和．
解：由a1＝1，an+1+an＝3n+2，
可得S9＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a6+a7）+（a8+a9）
＝1+（3×2+2）+（3×4+2）+（3×6+2）+（3×8+2）
＝1+3×20+8＝69．
故答案为：69．
14．已知函数f（x）＝2[sinx]+3[csx]，其中[x]表示不超过x的最大整数．如：[1]＝1，[0.5]＝0，[﹣0.5]＝﹣1，以下三个结论：
①；
②集合{y∈R|y＝f（x），x∈R}的元素个数为9；
③f（x）＞x+a对任意x∈[0，2π]都成立，则实数a的取值范围是，
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【分析】利用给定定义直接判断①；当x∈[0，2π]时，求出每个元素判断②；举反例判断③；利用题意分离参数，得到a＜g（x）min，再结合给定定义求解g（x）min，最后得到参数范围即可．
解：对于①，，故①正确；
对于②，由周期性可知，f（x）＝2[sinx]+3[csx]的周期为2π，
故讨论x∈[0，2π]即可，易得当x＝0时，f（x）＝20+31＝4，
当时，f（x）＝21+30＝3，
当x＝π时，，
当时，，
当x＝2π时，f（x）＝20+31＝4，
当时，f（x）＝26+30＝2，
当时，，
当时，，
当时，，
故该集合元素个数为6，故②错误．
对于③，当x＝0时，f（x）﹣x＝4﹣0＝4，
当时，，
当x＝π时，，
当时，，
当x＝2π时，f（x）﹣x＝4﹣2π，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
而f（x）＞x+a对任意x∈[0，2π]都成立，故a＜f（x）﹣x恒成立，
令g（x）＝f（x）﹣x，而，
所以，故③正确．
故答案为：①③．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知等差数列{an}的公差d＞0，a2与a8的等差中项为5，且a4a6＝16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和T20．
【分析】（1）由等差数列的性质和通项公式，解方程可得公差，进而得到所求；
（2）由等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
解：（1）因为{an}为等差数列，且a2与a3的等差中项为5，
所以a2+a8＝2×5＝2a5，
解得a5＝5．
因为a4a6＝16，所以（5﹣d）（5+d）＝16，解得d＝±3，
因为d＞0，所以d＝3，
所以an＝a5+（n﹣5）d＝5+3（n﹣5）＝3n﹣10，
故数列{an}的通项公式为an＝3n﹣10；
（2），
即，
即
所以T20＝b1+b2+b3+b4+⋯+b19+b20
＝（b1+b3+...+b19）+（b2+b4+...+b20）
＝（﹣7﹣1+...+47）+（﹣+﹣+...+﹣）
＝×10×（﹣7+47）+（﹣﹣）＝200﹣＝．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°．
（1）求证：直线BD⊥平面PAC；
（2）若点M为线段PC的中点，求二面角C﹣MB﹣A的正弦值．
【分析】（1）结合已知根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面MBC和平面MBA的法向量，利用向量夹角公式即可求解．
【解答】解（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，
即BD⊥PA，
又因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA∩AC＝A，AC，PA⊂平面PAC，
所以直线BD⊥平面PAC；
（2）因为底面ABCD是菱形，所以AB＝AD＝2，又∠BAD＝60°，
所以△BAD为等边三角形，则BD＝2，在△ADC中，∠ADC＝120°，AD＝DC＝2，
则，
设BD与AC的交点为点O，以点O为坐标原点，过点O且平行于AP的直线为z轴，以AC，BC所在的直线为y轴和x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面MBC的法向量为，
则，即，即，
令z1＝1，则，
设平面MBA的法向量为，
则，即，即，
令z2＝1，则，
设二面角C﹣MB﹣A的平面角为α，
，
所以，
故二面角C﹣MB﹣A的正弦值．
17．据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．
（1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
（2）设小王获得的年薪为X（单位：万元），求X的分布列及其数学期望．
【分析】（1）记事件A：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，记事件B：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）依题意X的可能取值为0，10，12，18，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．
解：（1）记事件A：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，
记事件B：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，
则，，
显然A与B互斥，所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率．
（2）依题意X的可能取值为0，10，12，18，
则，，
，，
则X的分布列如下表：
故．
18．（17分）设函数f（x）＝ax2，g（x）＝lnx．
（1）当a＝1时，
①求函数F（x）＝g（x）﹣f（x）+x的单调区间；
②对于∀x∈[1，+∞），xg（x）+f（x）≥（m+1）x﹣m成立，求实数m的取值范围．
（2）当a＞0时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）有两条公切线，求实数a的取值范围．
【分析】（1）①把a＝1代入，对F（x）求导，结合导数与单调性关系即可求解；
②由已知不等式特点构造函数，对其求导，结合恒成立与最值关系的转化及导数与单调性及最值关系即可求解；
（2）结合导数的几何意义在切线斜率求解中的应用及函数性质在零点个数求解中的应用即可求解．
解：（1）①当a＝1时，F（x）＝g（x）﹣f（x）+x＝lnx﹣x2+x，
，
当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0，
F（x）的单调递增区为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
②由xg（x）+f（x）≥（m+1）x﹣m，
整理得：，
令恒成立，
可得，．
令k（x）＝x2+x﹣m（x≥1），
显然k（x）在[1，+∞）上为增函数，则k（x）min＝h（1）＝2﹣m，
①当m≤2时，得k（x）≥0，∴h′（x）≥0，得h（x）在x∈[1，+∞）上递增，
∴h（x）min＝h（1）＝0≥0恒成立，故满足题意；
②当m＞2时，令k（x）＝x2+x﹣m＝0，得（舍）．
得时，k（x）＜0，则h（x）在上递减，
时，k（x）＞0，则h（x）在上递增，又h（1）＝0，
∴极小值，不可能恒成立，不符合题意，
综上可得，实数m的取值范围是（﹣∞，2]；
（2）设公切线切y＝f（x）于点（x1，f（x1）），切y＝g（x）于（x2，y2），
则有，
即，
得，代入，得，
构造函数h（x）＝x2lnx﹣x2，h′（x）＝x（2lnx﹣1），
x＞0．当递减，当递增，，
又当x→+∞时，h（x）→+∞，当x→0时，h（x）→0，
即，得．
19．（17分）已知椭圆的离心率为，点在C上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，A为椭圆C的右顶点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设椭圆C上一点M的坐标为（x0，y0），若∠F1MF2为钝角，求横坐标x0的取值范围．
（3）过点B（5，2）的直线与椭圆C交于不同的两点D，E（D，E与A不重合），直线AD，AE分别与直线x＝5交于P，Q两点，求|BP|•|BQ|的值．
【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及a，b，c的关系列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；
（2）因为∠F1MF2为钝角，可得，结合向量的坐标运算进行求解即可；
（3）设出直线DE的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，得到直线AD的方程，令x＝5，求出点P的纵坐标，进而可得|BP|，同理得|BQ|，进而即可求解．
解：（1）因为椭圆C的离心率为，
所以，①
因为点在椭圆C上，
所以，②
又a2＝b2+c2，③
联立①②③，
解得a＝4，b＝2，
则椭圆C的方程为；
（2）若∠F1MF2为钝角，
此时，
易知，
所以，
此时，
因为点M在椭圆C上，
所以，
则，
解得；
（3）易知直线DE的斜率存在，
设直线DE的方程为y＝k（x﹣5）+2，D（x1，y1），E（x2，y2），
联立，消去y并整理得（4k2+1）x2﹣（40k2﹣16k）x+100k2﹣80k＝0，
由韦达定理得，
直线AD的方程为，
令x＝5，
解得，
所以，
同理得，
所以|BP|•|BQ|＝||
＝
＝＝．
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
初中生
160
40
高中生
140
60
P（χ2≥k）
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
初中生
160
40
高中生
140
60
P（χ2≥k）
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
总计
初中生
160
40
200
高中生
140
60
200
总计
300
100
400
X
0
10
12
18
P
1．在复平面内，复数z＝i3（1+i）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．A∩∁UBB．A∪∁UBC．B∩∁UAD．B∪∁UA
3．已知向量满足，且与的夹角为，则＝（ ）
A．6B．10C．15D．21
4．近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
附：，
以下结论中错误的是（ ）
A．有95%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
B．没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关
5．已知O为坐标原点，F为抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点，A为E上的一点，AF垂直于y轴，B为y轴上一点，且∠BAO＝90°，若，则p＝（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则sinαsinβ＝（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，则AC与平面BCC1B1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点，则点P到直线x﹣y﹣1＝0的最大距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对得6分。有选错的得0分，部分选对得部分分）
（多选）9．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．ω＝4
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）在上的值域为
（多选）10．已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝16，直线l：mx+y+2m+1＝0，下列说法正确的是（ ）
A．若圆C关于直线l对称，则
B．若直线l与圆C交于M，N两点，则|MN|的最小值为
C．若P（6，0），动点Q在圆C上，则的最大值为30
D．若过直线x+2y﹣9＝0上任意一点E作圆C的切线，切点为F，则|EF|的最小值为
（多选）11．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C右支上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若△PF1F2的内切圆圆心为I（4，1），直线PF1的斜率为
B．若△PF1F2的内切圆圆心为I（4，1），△PF1F2的外接圆半径为
C．若且PF1⊥PF2，则
D．若且，则|PF1|≥5|PF2|
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．展开式中x2项的系数为 ．
13．已知数列{an}满足a1＝1，an+1+an＝3n+2，则其前9项和S9＝ ．
14．已知函数f（x）＝2[sinx]+3[csx]，其中[x]表示不超过x的最大整数．如：[1]＝1，[0.5]＝0，[﹣0.5]＝﹣1，以下三个结论：
①；
②集合{y∈R|y＝f（x），x∈R}的元素个数为9；
③f（x）＞x+a对任意x∈[0，2π]都成立，则实数a的取值范围是，
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知等差数列{an}的公差d＞0，a2与a8的等差中项为5，且a4a6＝16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和T20．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°．
（1）求证：直线BD⊥平面PAC；
（2）若点M为线段PC的中点，求二面角C﹣MB﹣A的正弦值．
17．据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．
（1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
（2）设小王获得的年薪为X（单位：万元），求X的分布列及其数学期望．
18．（17分）设函数f（x）＝ax2，g（x）＝lnx．
（1）当a＝1时，
①求函数F（x）＝g（x）﹣f（x）+x的单调区间；
②对于∀x∈[1，+∞），xg（x）+f（x）≥（m+1）x﹣m成立，求实数m的取值范围．
（2）当a＞0时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）有两条公切线，求实数a的取值范围．
19．（17分）已知椭圆的离心率为，点在C上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，A为椭圆C的右顶点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设椭圆C上一点M的坐标为（x0，y0），若∠F1MF2为钝角，求横坐标x0的取值范围．
（3）过点B（5，2）的直线与椭圆C交于不同的两点D，E（D，E与A不重合），直线AD，AE分别与直线x＝5交于P，Q两点，求|BP|•|BQ|的值．
参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数z＝i3（1+i）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
解：复数z＝i3（1+i）＝﹣i（1+i）＝﹣i+1对应的点（1，﹣1）位于第四象限．
故选：D．
2．已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．A∩∁UBB．A∪∁UBC．B∩∁UAD．B∪∁UA
【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可．
解：观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为A∩∁UB．
故选：A．
3．已知向量满足，且与的夹角为，则＝（ ）
A．6B．10C．15D．21
【分析】根据平面向量数量积的定义进行运算即可．
解：由，且与的夹角为，
所以
＝．
故选：C．
4．近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
附：，
以下结论中错误的是（ ）
A．有95%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
B．没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关
【分析】补全2×2列联表，计算χ2的值，再与临界值比较即可．
解：补全2×2列联表如下：
零假设H0：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，
则，
所以没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关，故B正确；
又因为χ2≈5.333＞3.841，
所以有95%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关，
即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关，故A正确，C正确，D错误．
故选：D．
5．已知O为坐标原点，F为抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点，A为E上的一点，AF垂直于y轴，B为y轴上一点，且∠BAO＝90°，若，则p＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据抛物线性质以及几何关系可得|AF|2＝|OF||BF|，从而可解．
解：因为F为抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点，A为E上的一点，AF垂直于y轴，B为y轴上一点，且∠BAO＝90°，
则|AF|2＝|OF||BF|，
又∵，
∴，
解得．
故选：B．
6．已知，则sinαsinβ＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
解：因为＝，
由于；
所以．
故选：C．
7．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，则AC与平面BCC1B1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】将棱台补全为棱锥D﹣ABC，设点A到面BCC1B1的距离为h，由VD﹣ABC＝VA﹣BCD，可得h的值，设AC与平面BCC1B1所成角为θ，则sinθ＝，进而求解即可．
解：将棱台补全为棱锥D﹣ABC，如图所示，
由∠ABC＝90°，AA1＝A1B1＝B1C1＝1，AB＝2，
得，
由AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
得AA1⊥AB，AA1⊥AC，
所以，
故BC2+BD2＝CD2，
所以，
设点A到面BCC1B1的距离为h，
因为VD﹣ABC＝VA﹣BCD，
所以，解得，
设AC与平面BCC1B1所成角为，
则，即，
所以csθ＝cs＝．
故选：B．
8．已知点，则点P到直线x﹣y﹣1＝0的最大距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画出点P表示的平面区域，结合导数的几何意义即可得出答案．
解：由，得0＜x≤1，
又，
当y＜0时，，当y≥0时，，
令的定义域为（0，+∞），
令，解得：，
易知当时，F′（x）＞0，
当时，F′（x）＜0，
所以F（x）在上单调递减，在上单调递增，且，
函数与图象如图，
由此可知：可知点P位于图中阴影部分区域，则点P到直线x﹣y﹣1＝0最大距离为函数上切线斜率为1的点到直线x﹣y﹣1＝0的距离，
由，
设，得，
则点到x﹣y﹣1＝0的距离为．
故选：B．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对得6分。有选错的得0分，部分选对得部分分）
（多选）9．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．ω＝4
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）在上的值域为
【分析】根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象求出A、φ和ω的值，写出函数的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，A＝3，f（0）＝3sinφ＝﹣，解得sinφ＝﹣，
因为|φ|＜，所以φ＝﹣，选项A正确；
因为，所以，解得ω＝8+48k（k∈Z）；
又因为，所以0＜ω＜24，当k＝1时，ω＝8，选项B错误；
因为，所以令，解得，
所以f（x）的图象关于直线对称，选项C正确；
因为当时，，所以，
所以f（x）在上的值域为[﹣，3]，选项D正确．
故选：ACD．
（多选）10．已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝16，直线l：mx+y+2m+1＝0，下列说法正确的是（ ）
A．若圆C关于直线l对称，则
B．若直线l与圆C交于M，N两点，则|MN|的最小值为
C．若P（6，0），动点Q在圆C上，则的最大值为30
D．若过直线x+2y﹣9＝0上任意一点E作圆C的切线，切点为F，则|EF|的最小值为
【分析】由圆心在直线上代入计算可判断A；由圆的弦长公式计算可判断B；由投影向量的定义和数量积的几何意义可判断C；由点到直线的距离公式和勾股定理计算即可判断D．
解：对于A，若圆C关于直线l对称，则圆心C在直线l上，
将（1，﹣2）代入方程mx+y+2m+1＝0，解得，故A正确；
对于B，因为直线l过定点A（﹣2，﹣1），当直线l与AC垂直时，弦长|MN|最短，
此时圆心C到直线l的距离为，所以弦长|MN|为，故B错误；
对于在方向上的投影的最大值为5，所以的最大值为6×5＝30，故C正确；
对于D，当切线长|EF|最小时，|EC|最小，此时EC与直线l垂直，|EC|为点C到直线l的距离，为，由勾股定理得，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C右支上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若△PF1F2的内切圆圆心为I（4，1），直线PF1的斜率为
B．若△PF1F2的内切圆圆心为I（4，1），△PF1F2的外接圆半径为
C．若且PF1⊥PF2，则
D．若且，则|PF1|≥5|PF2|
【分析】根据双曲线的性质，结合内心的性质，确定内切圆的圆心在x轴的射影为双曲线的顶点，再结合二倍角和正切公式，即可判断A；根据A的结果判断△PF1F2是直角三角形，再结合正弦定理判断B；由斜率结合三角形的正切公式，表示|PF1|和|PF2|，再根据双曲线的定义和离心率公式，即可判断C；由正切值求cs∠PF1F2＝，再根据余弦定理求|PF1|和|PF2|，结合离心率公式，即可判断D．
解：如图1，由条件知点P在双曲线C的右支上，
设圆I分别与△PF1F2的三边切于点M，N，A，
则|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1A|，|F2N|＝|F2A|，
∵|PF1|﹣|PF2|＝|F1M|﹣|F2N|＝|AF1|﹣|F2A|＝（xA+c）﹣（c﹣xA）＝2xA＝2a，
∴a＝xA＝4，得F1（﹣5，0），F2（5，0），
连接IF1，IF2，IA，则tan∠IF1A＝＝，
∴＝tan∠PF1A＝tan2∠IF1A＝＝，故A正确；
同理，tan∠IF2A＝＝1，△PF1F2是直角三角形，sin∠F1PF2＝，
由正弦定理得＝2R，解得R＝，故B错误；
若PF1⊥PF2，则|PF1|＝|F1F2|sin∠PF2O＝2b，|PF2|＝|F1F2|cs∠PF2O＝2a，
且|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，∴，
∴e＝＝＝，故C正确；
∵＝﹣，∴cs∠PF2F1＝，
解得|PF2|＝，|PF1|＝＝≥0，
∴，∴|PF1|≥5|PF2|，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．展开式中x2项的系数为 30 ．
【分析】利用二项式展开式的通项公式，求解即可．
解：展开式的通项公式为，
当6﹣2r＝2时，r＝2，
所以，即x2项的系数为30．
故答案为：30．
13．已知数列{an}满足a1＝1，an+1+an＝3n+2，则其前9项和S9＝ 69 ．
【分析】由数列的递推式和等差数列的求和公式，可得所求和．
解：由a1＝1，an+1+an＝3n+2，
可得S9＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a6+a7）+（a8+a9）
＝1+（3×2+2）+（3×4+2）+（3×6+2）+（3×8+2）
＝1+3×20+8＝69．
故答案为：69．
14．已知函数f（x）＝2[sinx]+3[csx]，其中[x]表示不超过x的最大整数．如：[1]＝1，[0.5]＝0，[﹣0.5]＝﹣1，以下三个结论：
①；
②集合{y∈R|y＝f（x），x∈R}的元素个数为9；
③f（x）＞x+a对任意x∈[0，2π]都成立，则实数a的取值范围是，
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【分析】利用给定定义直接判断①；当x∈[0，2π]时，求出每个元素判断②；举反例判断③；利用题意分离参数，得到a＜g（x）min，再结合给定定义求解g（x）min，最后得到参数范围即可．
解：对于①，，故①正确；
对于②，由周期性可知，f（x）＝2[sinx]+3[csx]的周期为2π，
故讨论x∈[0，2π]即可，易得当x＝0时，f（x）＝20+31＝4，
当时，f（x）＝21+30＝3，
当x＝π时，，
当时，，
当x＝2π时，f（x）＝20+31＝4，
当时，f（x）＝26+30＝2，
当时，，
当时，，
当时，，
故该集合元素个数为6，故②错误．
对于③，当x＝0时，f（x）﹣x＝4﹣0＝4，
当时，，
当x＝π时，，
当时，，
当x＝2π时，f（x）﹣x＝4﹣2π，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
而f（x）＞x+a对任意x∈[0，2π]都成立，故a＜f（x）﹣x恒成立，
令g（x）＝f（x）﹣x，而，
所以，故③正确．
故答案为：①③．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知等差数列{an}的公差d＞0，a2与a8的等差中项为5，且a4a6＝16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和T20．
【分析】（1）由等差数列的性质和通项公式，解方程可得公差，进而得到所求；
（2）由等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
解：（1）因为{an}为等差数列，且a2与a3的等差中项为5，
所以a2+a8＝2×5＝2a5，
解得a5＝5．
因为a4a6＝16，所以（5﹣d）（5+d）＝16，解得d＝±3，
因为d＞0，所以d＝3，
所以an＝a5+（n﹣5）d＝5+3（n﹣5）＝3n﹣10，
故数列{an}的通项公式为an＝3n﹣10；
（2），
即，
即
所以T20＝b1+b2+b3+b4+⋯+b19+b20
＝（b1+b3+...+b19）+（b2+b4+...+b20）
＝（﹣7﹣1+...+47）+（﹣+﹣+...+﹣）
＝×10×（﹣7+47）+（﹣﹣）＝200﹣＝．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°．
（1）求证：直线BD⊥平面PAC；
（2）若点M为线段PC的中点，求二面角C﹣MB﹣A的正弦值．
【分析】（1）结合已知根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面MBC和平面MBA的法向量，利用向量夹角公式即可求解．
【解答】解（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，
即BD⊥PA，
又因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA∩AC＝A，AC，PA⊂平面PAC，
所以直线BD⊥平面PAC；
（2）因为底面ABCD是菱形，所以AB＝AD＝2，又∠BAD＝60°，
所以△BAD为等边三角形，则BD＝2，在△ADC中，∠ADC＝120°，AD＝DC＝2，
则，
设BD与AC的交点为点O，以点O为坐标原点，过点O且平行于AP的直线为z轴，以AC，BC所在的直线为y轴和x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面MBC的法向量为，
则，即，即，
令z1＝1，则，
设平面MBA的法向量为，
则，即，即，
令z2＝1，则，
设二面角C﹣MB﹣A的平面角为α，
，
所以，
故二面角C﹣MB﹣A的正弦值．
17．据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．
（1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
（2）设小王获得的年薪为X（单位：万元），求X的分布列及其数学期望．
【分析】（1）记事件A：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，记事件B：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）依题意X的可能取值为0，10，12，18，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．
解：（1）记事件A：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，
记事件B：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，
则，，
显然A与B互斥，所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率．
（2）依题意X的可能取值为0，10，12，18，
则，，
，，
则X的分布列如下表：
故．
18．（17分）设函数f（x）＝ax2，g（x）＝lnx．
（1）当a＝1时，
①求函数F（x）＝g（x）﹣f（x）+x的单调区间；
②对于∀x∈[1，+∞），xg（x）+f（x）≥（m+1）x﹣m成立，求实数m的取值范围．
（2）当a＞0时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）有两条公切线，求实数a的取值范围．
【分析】（1）①把a＝1代入，对F（x）求导，结合导数与单调性关系即可求解；
②由已知不等式特点构造函数，对其求导，结合恒成立与最值关系的转化及导数与单调性及最值关系即可求解；
（2）结合导数的几何意义在切线斜率求解中的应用及函数性质在零点个数求解中的应用即可求解．
解：（1）①当a＝1时，F（x）＝g（x）﹣f（x）+x＝lnx﹣x2+x，
，
当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0，
F（x）的单调递增区为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
②由xg（x）+f（x）≥（m+1）x﹣m，
整理得：，
令恒成立，
可得，．
令k（x）＝x2+x﹣m（x≥1），
显然k（x）在[1，+∞）上为增函数，则k（x）min＝h（1）＝2﹣m，
①当m≤2时，得k（x）≥0，∴h′（x）≥0，得h（x）在x∈[1，+∞）上递增，
∴h（x）min＝h（1）＝0≥0恒成立，故满足题意；
②当m＞2时，令k（x）＝x2+x﹣m＝0，得（舍）．
得时，k（x）＜0，则h（x）在上递减，
时，k（x）＞0，则h（x）在上递增，又h（1）＝0，
∴极小值，不可能恒成立，不符合题意，
综上可得，实数m的取值范围是（﹣∞，2]；
（2）设公切线切y＝f（x）于点（x1，f（x1）），切y＝g（x）于（x2，y2），
则有，
即，
得，代入，得，
构造函数h（x）＝x2lnx﹣x2，h′（x）＝x（2lnx﹣1），
x＞0．当递减，当递增，，
又当x→+∞时，h（x）→+∞，当x→0时，h（x）→0，
即，得．
19．（17分）已知椭圆的离心率为，点在C上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，A为椭圆C的右顶点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设椭圆C上一点M的坐标为（x0，y0），若∠F1MF2为钝角，求横坐标x0的取值范围．
（3）过点B（5，2）的直线与椭圆C交于不同的两点D，E（D，E与A不重合），直线AD，AE分别与直线x＝5交于P，Q两点，求|BP|•|BQ|的值．
【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及a，b，c的关系列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；
（2）因为∠F1MF2为钝角，可得，结合向量的坐标运算进行求解即可；
（3）设出直线DE的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，得到直线AD的方程，令x＝5，求出点P的纵坐标，进而可得|BP|，同理得|BQ|，进而即可求解．
解：（1）因为椭圆C的离心率为，
所以，①
因为点在椭圆C上，
所以，②
又a2＝b2+c2，③
联立①②③，
解得a＝4，b＝2，
则椭圆C的方程为；
（2）若∠F1MF2为钝角，
此时，
易知，
所以，
此时，
因为点M在椭圆C上，
所以，
则，
解得；
（3）易知直线DE的斜率存在，
设直线DE的方程为y＝k（x﹣5）+2，D（x1，y1），E（x2，y2），
联立，消去y并整理得（4k2+1）x2﹣（40k2﹣16k）x+100k2﹣80k＝0，
由韦达定理得，
直线AD的方程为，
令x＝5，
解得，
所以，
同理得，
所以|BP|•|BQ|＝||
＝
＝＝．
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初中生
160
40
高中生
140
60
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0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
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200
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X
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18
P
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