第二十章 勾股定理(单元自测卷)-2026年八年级数学（人教版）寒假预习讲义（含答案）

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一、单选题（共30分）
二、填空题（共18分）
11．−1+10/10−1 12．45° 13．12尺
14．21013 15．261 16．0,32或0,−6
三、解答题（共72分）
17．（8分）
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=90°−60°=30°，
∵∠B=30°，c=2，
∴b=12c=1，
由勾股定理：a=c2−b2
=22−12
=3；
（2）解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴∠B=90°−45°=45°，
∵∠A=∠B=45°，
∴b=a=2，
由勾股定理：c=a2+b2
=(2)2+(2)2
=2+2
=2．
18．（8分）
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
在Rt△BCD中，BD=BC2−CD2=6．
设AC=AB=x，则AD=x−6．
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，
即x2=x−62+82，
解得x=253，
∴AC=253．
19．（8分）
【详解】（1）解：连接AC，
∵∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，
∴AC=CD2+AD2=32+42=5m，
∵AB=13m，BC=12m，
∴CB2+AC2=52+122=132=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
则四边形ABCD面积为：
S△ABC−S△ACD=12BC⋅AC−12DC⋅AD
=12×5×12−12×3×4=24m2．
答：这块绿地ABCD的面积是24m2．
20．（8分）
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2+AC2=AB2，
即72+AC2=252，
∴AC=24m，
答：这架云梯的顶端到地面的距离是24m；
（2）解：∵梯子的顶端A下滑了4m至点A'，
∴A'C=AC−AA'=24−4=20m，
在Rt△A'B'C中，由勾股定理得A'C2+B'C2=A'B2，
即202+B'C2=252 ，
∴B'C=15m，
∴B'B=B'C−BC=15−7=8m
答：梯子的底端在水平方向滑动了8m．
21．（8分）
【详解】（1）解：如图所示，过点A作AH⊥ON于H，可知点A到射线ON的最短距离为线段AH的长度．

∵∠O=45°，
∴OH=AH，
又∵OA=322m，OH2+AH2=OA2，
∴AH=22OA=22×322=32m．
∵32mAC，
∴2+8>10，
（2）解：如图3：
取点C关于AB的对称点E，连接AE，DE，
由对称的性质可知：∠CAB=∠EAB，
由图可知：AD=22+32=13,DE=22+32=13,AE=12+52=26,
则AD2+DE2=AE2,AD=DE，
∴ ∠ADE=90°，
∴ △ADE是等腰直角三角形，
∴ ∠DAE=45°,
∵ ∠DAE=∠DAB+∠EAB,
∴ ∠DAB+∠CAB=∠DAB+∠EAB=∠DAE=45°，
即：∠DAB+∠CAB=45°．
23．（10分）
【详解】（1）证明：∵S四边形ABDC=12c2，S梯形AEDC=12(b+a)b，S△BED=12(a−b)a，且S四边形ABDC=S梯形AEDC+S△BED，
∴12c2=12(b+a)b+12(a−b)a，
∴12c2=12b2+12ab+12a2−12ab，
∴a2+b2=c2；
（2）解：设AB边上的高为h，
根据题意，AB=22+22=22，且S△ABC=12AB⋅h=12×22h=2h，
又S△ABC=4×2×4×2−12×2×2−12×3×2×4×2−123×2×4×2=14
故2h=14，
解得h=72，
故答案为：72；
（3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2=AB2−BD2=16−x2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2=AC2−CD2=52−(6−x)2=−11+12x−x2，∴16−x2=−11+12x−x2，
解得x=94．
24．（12分）
【详解】（1）解：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵∠DBE=90°
∴BD2+BE2=DE2，
∴BD2+AD2=DE2．
故答案为：BD2+AD2=DE2
（2）解：成立，理由如下：
如图，连接BE，

∵CE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°=∠ACB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCESAS，
∴AD=BE，∠CBE=∠A，
∵∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴BD2+BE2=DE2，
∴BD2+AD2=DE2．
（3）解：连接AE，如图，

由（1）的结论知，AE2+AD2=DE2，AE=BD，
∵AD=3，AB=9，
∴BD=AE=AB−AD=6，
∴62+32=DE2，
∴DE2=45，
∵CD2+CE2=DE2，CD=CE，
∴CD2=12DE2，
∴S△CDE=12CD2=454．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
B
D
C
B
A
B
B