初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理导学案

第06课  勾股定理

知识点01  勾股定理

直角三角形两直角边的          等于斜边的           .如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么                .

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

注意：

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形      之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

           ，           ，                       .

知识点02  勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.

下图中：

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.

方法三：下图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

知识点03  勾股定理的作用

（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

（2）用于解决带有平方关系的证明问题；

（3）利用勾股定理，作出长为 的线段.

考法01   勾股定理的理解

【典例1】已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）

A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对

【即学即练】如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（       ）米

A． B． C．+1 D．3

考法02  勾股定理证明的理解

【典例2】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　

A．9 B．6 C．4 D．3

【即学即练】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（       ）

A．13 B．19 C．25 D．169

【即学即练】如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．

考法03  数轴上画无理数

【典例3】如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【即学即练】如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（　　）

A．+1 B．-1 C．-+1 D．--1

考法04  勾股定理的简单应用

【典例4】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．

【即学即练】在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

【即学即练】如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？

【即学即练】（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.

【即学即练】在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（        ）

A．10 B．8 C．6或10 D．8或10

【即学即练】在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC+BC=14cm，AB=10cm，则Rt△ABC的面积是(　　)

A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2

考法05  折叠与勾股定理

【典例5】如图，把长方形沿AE对折后点D落在BC边的点F处，BC＝5cm，AB＝4cm，

求：（1）CF的长；（2）EF的长．

【即学即练】如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．

考法06  勾股定理与最短路径

【典例6】如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是　　

A．20 B．25 C．30 D．32

【即学即练】如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是(　　)

A．13 cm B．4cm C．4cm D．52 cm

【即学即练】如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）

A． B． C． D．

【即学即练】如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离是（       ）

A．13 B．14 C．15 D．16

【即学即练】如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（                 ）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm

【即学即练】如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

题组A  基础过关练

1．等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是（       ）

A．13 B．8 C． D．

2．我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能用来证明勾股定理的是（   ）

A． B． C． D．

3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是(　　)

A．1 B． C．2 D．

4．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　）

A．4米 B．5米 C．6米 D．7米

5．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（       ）

A．25 B． C． D．

6．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(     )

A．9 B．10 C． D．

7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　）

A． B． C． D．

8．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（     ）．

A． B． C． D．

题组B  能力提升练

9．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．

10．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积是_______

11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.

12．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．

13．在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_____．

14．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是____________．

15．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长为________.

题组C  培优拔尖练

16．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.

（1）试说明；

（2）设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.

17．已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.

18．如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，

（1）求证：△AOC≌△BOD；

（2）若AD=3，BD=1，求CD．

19．如图，在中，，，点是上一动点、连接，过点作，并且始终保持，连接，

（1）求证：；

（2）若平分交于，

①探究线段，，之间的数量关系，并证明；

②若，，求的长，

20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？