广东省河源市龙川第一实验学校上学期九年级数学期末考试卷（解析版）-A4

这是一份广东省河源市龙川第一实验学校上学期九年级数学期末考试卷（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题．，四象限内，解答题．等内容，欢迎下载使用。
一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左边看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．
【详解】解：几何体的左视图是，
故选：．
2. 已知的直径为8，点P到圆心O的距离为6，则点P与的位置是（ ）
A. 点P在上B. 点P在内
C. 点P在外D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是比较好点和圆心距离与半径大小．根据点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内，据此判断即可．
【详解】解：∵的直径为8，
∴的半径为4，
∵点P到圆心O的距离为6，，
∴点P在外．
故选：C．
3. 关于的方程的根的情况判断正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根的判别式．根据题意利用与0比较即可得到本题答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4. 正六边形的中心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正多边形中心角定义．根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案．
【详解】解：∵是正六边形，
∴中心角为：，
故选：C．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 弦是直径B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 圆是中心对称图形D. 三点确定一个圆
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆的有关概念和性质，利用圆的有关性质、确定圆的条件逐项判断即可求解，掌握圆的有关概念和性质是解题的关键．
【详解】解：、弦不一定是直径，该选项说法错误，不合题意；
、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，该选项说法错误，不合题意；
、圆是中心对称图形，该选项说法正确，符合题意；
、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，该选项说法错误，不合题意；
故选：．
6. 已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 图像经过点B. 图像分别位于第二、四象限内
C. 在每个象限内y的值随x的值增大而增大D. 时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质逐一判断即可．
【详解】因为，
所以A正确，不符合题意；
因为反比例函数，
所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大；
所以B、C正确，不符合题意；
当时，或，
所以D错误，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题的关键．
7. 如图，在中，，若，的面积为4，则的面积为（ ）

A. 6B. 8C. 9D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据的相似比可得到其面积比等于相似比的平方，即可根据此求得的面积．
【详解】解： ∵
∴，
∴，
又∵，
∴
∵
∴
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积之比，理解并学会用相似比的求面积比是解题的关键．
8. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．
【详解】解：∵的顶点坐标为（0，0）
∴将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴所得抛物线对应的函数表达式为，
故选B
【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
9. 如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ）
A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵、，
∴
∵对称，
∴，
∴
∵对称，
∴，
∴，
同理，
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
如图所示，

当三点重合时，，
∴
即
∴四边形是菱形，
如图所示，当分别为的中点时，
设，则，，
在中，，
连接，，
∵，
∴是等边三角形，
∵为中点，
∴，，
∴，
根据对称性可得，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形是矩形，

当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形

∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．有下列说法：①；②当时，；③当时，随的增大而增大；④ （为任意实数）．其中，正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线开口向下，与轴交于正半轴，可得，，根据和点可得抛物线的对称轴为直线x=-1，推出，即可判断①；根据函数图象和性质即可判断②③；当x=-1时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
∴，，
∵抛物线与轴交于点和点，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的图象在轴上方，
∴当时，，故②正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1且开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
即当x>1时，随的增大而减小，故③错误；
∵抛物线对称轴为直线x=-1且开口向下，
∴当x=-1时，抛物线有最大值，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有②④，
故选：．
二、填空题．（每题3分，共18分）
11. 二次函数的对称轴是直线______．
【答案】x=2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称轴，利用对称轴公式计算即可，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，
故答案为：x=2．
12. 如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形的顶点，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，特殊角三角函数值，熟记“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”是解题的关键．
【详解】解：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、、是小正方形顶点，
，
，
．
故答案为：．
13. 如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是__________．
【答案】##110度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理得出，从而求出，再由圆内接四边形对角互补计算即可得出答案．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
故答案为：．
14. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数的图象上，则点C的坐标为__．
【答案】（3，6）．
【解析】
【分析】设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），再根据点B与点D在反比例函数的图象上求出xy的值，进而可得出C的坐标．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（1，2），
∴设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），
∵点B与点D在反比例函数的图象上，
∴y=6，x=3，
∴点C的坐标为（3，6）．
故答案为（3，6）．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．
15. 已知抛物线过点五点，则的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线过点，可得，即得，得到抛物线的对称轴为x=-1，再根据a>0知抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近函数值越小，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为x=-1，
∵a>0，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近函数值越小，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在中，，点分别在边上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则______（结果用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，得到，再证，推出，进而由得到，最后代入代数式计算即可求解．
【详解】解：∵点和点关于直线DE对称，
∴， ，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，掌握以上知识点是解题的关键．
三、解答题．（本大题9个小题，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数，立方根，零次幂的综合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．
先算特殊角的三角函数，开立方，零次幂，再根据实数的混合运算法则即可求解．
【详解】解：
．
18. 如图，在中，，作的外接圆；作的角平分线交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】作图见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，作AB的垂直平分线交AB于点，以为半径，点为圆心作的外接圆，再作的角平分线CD交于点即可，掌握直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点、半径等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：如图所示，和射线CD即为所求．
19. 如图，一次函数的图象与y轴负半轴交于点A，与反比例函数的图象交于点．
（1）求点B的坐标．
（2）当的面积为9时，求一次函数的解析式．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）本题考查反比例函数图像上的点，将点代入求解即可得到答案；
（2）本题考查一次函数与坐标轴交点三角形问题及求一次函数的解析式，根据面积列式求出A点坐标，再将点带入求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴；
小问2详解】
解：设点，连接，
∵的面积为9，
∴，
解得：，
∴，
将点，代入一次函数得，
，
解得：，
∴．
20. 箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
【答案】解：（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果；
（2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，
画树状图如图所示，

由图可知，共有12种等可能结果；
（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为 ．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．
【答案】96米
【解析】
【分析】根据题意可得是直角三角形，解可求出AC的长，再证明是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．
【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴米，
∵，
∴
∴，
∴ 即是直角三角形，
∴，
∴米，
∴米，
答：A，B两点间的距离为96米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．
22. 如图，在中，对角线和相交于点，．
（1）求证：是菱形；
（2）延长至点，连接交于点，其反向延长线交于点，若，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（）利用勾股定理的逆定理证明，得到，即可求证；
（）设CD的中点为，连接，可得是的中位线， 得到，，由菱形的性质得，，，进而得，，得到，即得，再由可得，最后证明得到即可求解．
【小问1详解】
证明：∵中，对角线和BD相交于点，，，
∴，，
又∵，
∴在中，，
∴，
即，
∴是菱形；
【小问2详解】
解：如图，设CD的中点为，连接，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
由①知，四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
23. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：．
（1）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）25元或35元
（2）当该纪念册销售单价定为30元时，才能使该纪念册所获利润最大，最大利润为200元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，根据题意找出等量关系并列出方程或解析式是解题的关键．
（1）根据题意，利用单本利润乘以销售数量等于总利润列方程求解即可；
（2）根据题意，利用单本利润乘以销售数量等于总利润列函数解析式，再化成顶点式即可得解．
【小问1详解】
解：依题意得：，
解得：，，
每本纪念册的销售单价为25元或35元，
【小问2详解】
由题意得：
，
，即开口向下，
当时，w有最大值，最大值为200，
当该纪念册销售单价定为30元时，才能使该纪念册所获利润最大，最大利润为200元．
24. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图和图所示，为水面截线，为截面切线，．
计算 在图中，已知，作于点．
（）求的长．
操作 将图中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．
探究 在图中，
（）操作后水面高度下降了多少？
（）连接并延长交于点，求线段与的长度．
【答案】（）；（）；（），的长为．
【解析】
【分析】（）连接，利用垂径定理可得，再根据勾股定理计算即可；
（）由切线的性质得，进而得到，再根据直接三角形的性质求出即可求解；
（）由半圆中点为得到，得到，再利用三角函数和弧长公式求出线段和的长即可．
【详解】解：（）连接，如图，
由题意得，，
∵，
∴，，
∴
（）由题意得，，
∵与半圆的切点为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴操作后水面高度下降了；
（）∵，，
∴，
∵半圆的中点为，
∴，
∴，
∴,
∴，
的长．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的切线的性质，弧长公式，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；
（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为，直线的解析式为，
（2）
（3）存在或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，则，中，，证明，根据相似三角形的性质以及建立方程，解方程即可求解；
（3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，证明是等腰直角三角形，则设，则，，根据列出方程，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线解析式，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
【小问2详解】
如图，设直线与轴交于点，
由，令,得，则，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
中，，
设的面积为，的面积为，
，
，
，
即，
设，则，
，
解得或（舍），
当时，，
【小问3详解】
设直线交轴于点，设交于点，连接，，，如图，
由，令，得，则
设过直线的解析式为，
解得
过直线的解析式为，
等腰直角三角形
是等腰直角三角形
直线垂直平分线段
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
解得
或即或