四川省巴中市南江中学2025-2026学年高一上学期1月检测试数学试题（Word版附解析）

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命题人：王磊 审题人：王成林
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 是第几象限角（ ）
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】A
【解析】
【分析】由 终边相同，即可判断.
【详解】 ，
故 终边相同，
又 ，第一象限的角，
所以 是第一象限的角，
故选：A
2. 已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可.
【详解】因为 ，所以两边平方得 ，所以“ ”是“ ”的充分条件；
当 时，去掉平方得 ，所以“ ”是“ ”的必要条件；
所以“ ”是“ ”的充要条件；
故选：D.
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3. 已知 ， ， ，那么 的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】 函数 在 上单调递减， ，故 ；
函数 在 上单调递增， ，故 ；
函数 在 上单调递减， ，故 ，
综上， .
故选：B.
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用“齐次式”，即可求解.
【详解】因为 ，则 ，
故选：D.
5. 函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】求出 的零点个数可排除 A；求出 的定义域可排除 C；根据 时函数值的正负可
排除 D.
【详解】令 ，得 ，所以 只有 1 个零点，
即函数 的图象与 轴只有 1 个交点，故 A 错误；
由 ，得 ，
所以 的定义域为 ，故 C 错误；
当 时， ，故 D 错误.
故选：B.
6. 圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环 的外圆弧 的长为 ，圆心为
，点 分别为 的中点，扇环 的面积为 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】设 ， ，则圆弧 ，代入扇形的弧长及面积公式，化简计算，即可得答案.
【详解】设 ， ，则圆弧 ，
由题意得 ，解得 ，
所以 .
故选：D
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7. 函数 单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间.
【详解】由 ，可得 或 ，
所以 的定义域为 ，
对于 ，开口向上且对称轴为 ，
所以 上单调递减，在 上单调递增，而 单调递增，
所以 的单调递减区间为 .
故选：A
8. 已知函数 若关于 的方程 有 7 个不相等
的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象进行数形结合分析可得.
【详解】由 ，得 ，
所以 或 .
再由 ，图象如下：
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显然 与 有三个交点，所以 有三个不同的实数根.
所以 必须有四个不同的实数根，即 与 有四个交点，
因 ，再结合图象分析判断可得 .
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中有多项是符合题目
要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. （多选）已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】已知 及 的范围，结合同角三角函数的基本关系可以求出 ，进而可得 ，再结合诱
导公式对选项进行验证即可.
【详解】因为 ，所以 ，则 ．
则 ， ，
， ．
故选：AC
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 命题“ ”的否定为“ ”
B. 的图象恒过定点
C. 已知 是定义在 上的偶函数，且在 是减函数，则
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D. 幂函数 在 上为减函数，则 的值为 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题，指数函数过定点、偶函数的性质、幂函数的定义进行逐项
计算判断即可.
【详解】对于 A：存在量词命题的否定是全称命题，将 改为 ，然后否定结论，
所以命题“ ”的否定为“ ”，A 错误；
对于 B：令 ，则 ，所以 恒过定点 ，B 正确；
对于 C：因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，
而 在 是减函数，所以 ，即 ，C 正确；
对于 D：因为 为幂函数，所以 ，
解得 或 .
当 时， ，在 上为增函数，不符合题意；
当 时， ，在 上为减函数，符合题意；D 正确.
故选：BCD.
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 时， 为奇函数
B. ，使得 有两个零点
C. 时，若 ，且 与 有三个交点 ，则
D. 时， 的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用奇函数的定义判断 A；根据函数的单调性判断零点个数判断 B；先求得函数 关于点
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中心对称，然后得函数 与函数 的交点也关于点 中心对称，即可求解
判 断 C； 先 求 得 ， 然 后 不 等 式 化 为
，进而由函数 在 R 上单调递增得 ，解不等式即可判断 D.
【详解】A， 时， ，定义域 R，
且 ，所以 为奇函数，正确；
B，因为 都是 R 上的增函数，所以函数 在 R 上单调递增，
所以函数 在 R 上至多一个零点，故不存在 ，使得 有两个零点，错误；
C， 时， ，因为 ，
所以 ，所以函数 关于点 中心对称，
又 ，所以函数 关于点 中心对称，
所以函数 与函数 的交点也关于点 中心对称，
由 与 有三个交点 ，
不妨 ，则 ，即 ，正确；
D， 时， ，
因为 ，所以 ，
所以 化为 ，
因为 都是 R 上的增函数，所以函数 在 R 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 或 ，
即 的解集为 ，正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的值域为_________．
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【答案】
【解析】
【分析】由换元法，借助二次函数性质及指数函数单调性计算即可求解.
【详解】令 ，
则 ，所以 ，
设 ， ，
因为 在区间 上单调递增，
所以 ，即函数 的值域为 .
故答案为： .
13. 已知 ，用 和 表示 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数式化为对数式及换底公式，对数的运算性质可得.
【详解】由 ，得 ，所以 .
故答案为： .
14. 若函数 值域为 ，且在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数函数性质，结合二次函数性质列式求解.
【详解】由 的值域为 ，得函数 的值域包含 ，
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则 ，解得 或 ；
令 ，由函数 在 上单调递增，函数 是减函数，
得函数 在 上单调递减且 ，
因此 ，解得 ，
又 或 ，于是有 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用诱导公式对函数进行化简，然后根据 及同角三角函数关系即
可求解；
（2）利用诱导公式并且对角进行构造即可求解，
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．
【小问 1 详解】
，
∵ ， ，
∴
．
【小问 2 详解】
∵ ，
∴ ，
则 ．
16. 已知函数 ，且 .
（1）求函数 的解析式，判断函数 的奇偶性并证明；
（2）用定义证明 在区间 上单调递减；
（3）求函数 在区间 上的值域.（直接写出结果）
【答案】（1） ，奇函数，证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）运用代入法，结合奇函数的定义进行判断证明即可；
（2）根据函数单调性的定义进行运算证明即可；
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（3）根据奇函数的单调性进行求解即可.
【小问 1 详解】
由题设， ，解得 ，故 ，
函数 为奇函数，证明如下：
定义域为 ，关于原点对称，
又 ，
所以函数 为奇函数；
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
任取 ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
则 ，故 ，
则 在区间 上单调递减；
【小问 3 详解】
由（1）（2）知， 在 上单调递减，且函数 为奇函数，
所以 在 上递减，则函数 在 上递减，
而 ， ，
故 在区间 上的值域为 .
17. 2025 年 10 月 29 日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展.如
今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源
汽车生产设备，通过市场分析，每生产 （千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利 （万元），关
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系如下： ，该公司预计 2025 年全年其他成本总投入为 万元.由市场调
研知，该种车销路畅通，供不应求.记 2025 年的全年利润为 （单位：万元）.
（1）求函数 的解析式；
（2）当 2025 年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.
【答案】（1） ；
（2） 千辆时，取得最大值 30 万元.
【解析】
【分析】（1）根据给定信息直接求出 的解析式.
（2）利用二次函数、基本不等式分段求出最大值，再比较大小即得.
【小问 1 详解】
由函数 ，得 .
【小问 2 详解】
当 时， ，在 处取最大值， （万元）；
当 时，
（万元），当且仅当 （千辆）时取等号，
而 ，所以在 千辆时取得最大值 30 万元.
18. 设函数
（1）当 时，解不等式 ；
（2）已知对任意的实数 ， 恒成立，求证： ；
（3）当 时，是否存在实数 ，使得对任意的 ，不等式 恒成立，
若存在，求出 的范围；若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）结合函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
（2）由 结合已知条件，即可得到 的单调性，从而得证；
（3）结合函数的单调性可得 在 恒成立，再参变分离结合函数的性质计算可得.
【小问 1 详解】
当 时，函数 在 上单调递增，
则不等式 即为 ，解得 ，
故解不等式 的解集为 .
【小问 2 详解】
，又 恒成立，
即 恒成立，
函数 上单调递增， .
【小问 3 详解】
当 时，函数 在 上单调递增，
可知 ，
则 在 恒成立，
可得 在 恒成立，
令 ，则 ，
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令 ，则 在 上单调递增， ，
由于 时， 恒成立，即 ， ，
综上， 的范围为 .
19. 若函数 满足：对任意正数 ，都有 ，则称函数 为“ 函数”．
（1）试判断函数 是否为“ 函数”，并说明理由；
（2）若函数 是“ 函数”，求实数 a 的取值范围；
（3）若函数 为“ 函数”， ，对任意正数 ，都有 ， ，证明：对任意
，都有 ．
【答案】（1）函数 不是“ 函数”，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“ 函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可；
（2）根据函数 是“ 函数”列出不等式，转化为求最值问题即可；
（3）由题意令 ，得到 ，进而得到 和 即可得证.
【小问 1 详解】
对于 ，取 ，
则 ， ．
因为 ，不满足 ，
故 不是“ 函数”；
【小问 2 详解】
因为函数 是“ 函数”，
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所以对于任意的 ，
有 恒成立，
即 恒成立，
所以 恒成立，
又 ，故 ，
则 ，
则 ，即 ，即实数 的取值范围为
【小问 3 详解】
由函数 为“ 函数”，可知对于任意正数 ，
都有 ， ，且 ，
令 ，可知 ，即 ，
故对于自然数 与正数 ，
都有 ，
对任意 ，可得 ，又 ，
所以 ，
同理 ，
故 ，
即 .
【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
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（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用
书上的概念.
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