2024-2025学年四川省巴中市南江县实验中学高一下学期期中测试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省巴中市南江县实验中学高一下学期期中测试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. e1=(1,2),e2=(2,3)B. e1=(3,−2),e2=(−6,4)
C. e1=(0,0),e2=(−1,3)D. e1=(1,1),e2=(2,2)
2.若复数z=(m2−m−2)+(m2−2m−3)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A. m=2B. m=−1
C. m=−1或m=2D. m=2且m≠3
3.在正六边形ABCDEF中，AF+ED+FE=( )
A. ACB. AFC. AED. AD
4.已知角α的终边经过点(−4,3)，则sin2α=( )
A. 2425B. −2425C. −1225D. 1225
5.在▵ABC中，BC=8,AC=10,cs∠BAC=35，则▵ABC的面积为( )
A. 6B. 8C. 24D. 48
6.在0,2π内函数f(x)= 1−2csx+lnsinx− 22的定义域是( )
A. π4,π3B. 3π4,5π3C. π3,3π4D. π3,3π4
7.已知▵ABC中，AB=4，AC=6，O是▵ABC内一点，且满足OA=OB=OC，则AO⋅AB+AC=( )
A. 26B. −26C. 13D. −13
8.如图，已知点G是▵ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC，则x+9y的最小值为( )
A. 52B. 4C. 163D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下化简正确的有( )
A. sin15°cs15°=12B. cs2π8−sin2π8= 22
C. tan22.5°1−tan222.5°=12D. 1−2sin222.5°= 22
10.点O(0,0)，向量OA=(0,3)，OB=(6,−3)，点P是线段AB的三等分点，则P点坐标为( )
A. (2,1)B. (2,−1)C. (4,1)D. (4,−1)
11.如图，设Ox，Oy是平面内相交成45°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系Oxy中的坐标，记为OP=(x,y)，在该坐标系中，a=(1,2)，b=(2,−1)，则下列结论中错误的是( )
A. a−b=(−1,3)B. a= 5
C. a⊥bD. b在a方向上的投影向量为 22a
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b的夹角为120°，且a⋅b=−2，b=4，则a= ．
13.函数f(x)=2xx+1在[1,2]的最大值与最小值之和是 ．
14.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了▵ABD，如图，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，则sin∠ACD的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设x,y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,−2)，且a//c，b⊥c．
(1)求2a+3b+c；
(2)求向量b+a与c+a夹角的大小．
16.(本小题15分)
已知平行四边形ABCD中，AB=2,BC=4,∠DAB=60∘，点E是线段BC的中点．
(I)求AB⋅AD的值；
(II)若AF=AE+λAD，且BD⊥AF，求λ的值．
17.(本小题15分)
如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C，并测量得到一些数据：CD=2，CE=2 3，∠D=45°，∠ACD=105°，∠ACB=48.19°，∠BCE=75°，∠E=60°.(其中cs48.19°≈23)

(1)求A，C两点之间的距离；
(2)求A，B两点之间的距离．
18.(本小题17分)
已知f(x)=m⋅n−1，其中m= 3,2csx，n=sin2x,csxx∈R．
(1)求f(x)的对称中心；
(2)在▵ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.若f(A)=1
①sin2A=sinBsinC，试判断三角形的形状；
②若a=2 3，求▵ABC面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知f(x)=sinx+π3csx+12sin2x+π3− 34．
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求f(x)在−π4,π4上的值域；
(3)将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若agx−π3−gx+π6≥2对任意的x∈π2,5π6恒成立，求a的取值范围．
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.B
5.C
6.C
7.A
8.C
9.BCD
10.AD
11.BCD
12.1
13.73
14. 146
15.(1)因为a//c，b⊥c，则−2x=22−2y=0，解得x=−1y=1,
即a=(−1,1)，b=(1,1)，
可知c=−2a，即c+2a=0，可得2a+3b+c=3b=(3,3)，
所以2a+3b+c= 32+32=3 2．
(2)由(1)可知：a=(−1,1)，b=(1,1)，
可得b+a=(0,2)，c+a=(1,−1)，
则b+a=2,c+a= 12+(−1)2= 2，b+a⋅c+a=0×1+2×(−1)=−2，
可得csb+a,c+a=b+a⋅c+ab+a⋅c+a=−22× 2=− 22，
且b+a,c+a∈0,π，则b+a,c+a=3π4，
所以向量b+a与c+a夹角为3π4．

16.法1：(I)
以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
A(0,0),C(4,2 3),E(3, 3),B(2,0),D(2,2 3)，
AD=(2,2 3),AB=(2,0)，
∴AB⋅AD=4；
(II)AF=AE+λAD,AF=(3+2λ, 3+2 3λ),BD=(0,2 3)
∵BD⊥AF,∴BD⋅AF=2 3( 3+2 3λ)=0，
∴λ=−12．
法2：
(I)AB⋅AD=|AB|⋅|AD|cs60∘=2×4×12=4；
(II)AF=AE+λAD⇒EF=λAD，∴EF//AD，
∵BD⊥AF，BD⊥AB，
∴F与B重合，
∴λ=−12．

17.(1)由题意知，在▵ACD中，A=30°．
由正弦定理得AC=CDsin45°sin30°=2 2．
(2)在▵BCE中，∠CBE=45°，由正弦定理得BC=CEsin60°sin45°=3 2，
在▵ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcs∠ACB=10，
∴AB= 10

18.(1)因为m= 3,2csx，n=sin2x,csxx∈R，
f(x)=m⋅n−1= 3sin2x+2cs2x−1，
= 3sin2x+cs2x=2sin2x+π6，
令2x+π6=kπ,k∈Z，可得x=12kπ−π12,k∈Z，
所以函数f(x)的对称中心为12kπ−π12,0,k∈Z．
(2)①因为f(A)=1，
所以sin2A+π6=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π3，
因为sin2A=sinBsinC，由正弦定理得a2=bc，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc，即(b−c)2=0
所以b=c，又A=π3，
所以三角形为等边三角形．
②因为a=2 3，a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc，
即12=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，即bc≤12，
当且仅当b=c=2 3时，等号成立，
又因为S▵ABC=12bcsinA= 34bc≤ 34×12=3 3，
所以▵ABC面积的最大值为3 3．

19.(1)f(x)=12sinxcsx+ 32cs2x+12sin2x+π3− 34
=14sin2x+ 34cs2x+12sin2x+π3=12sin2x+π3+12sin2x+π3=sin2x+π3．
最小正周期T=2π2=π．
令2x+π3∈2kπ−π2,2kπ+π2，解得x∈kπ−5π12,kπ+π12,k∈Z．
故f(x)的增区间为kπ−5π12,kπ+π12,k∈Z．
(2)x∈−π4,π4时，2x+π3∈−π6,5π6，故sin2x+π3∈−12,1．
即f(x)在−π4,π4上的值域为−12,1．
(3)g(x)=sinx+π3，原不等式可化为asinx−csx≥2对任意的x∈π2,5π6恒成立
⇔a2sin2x≥csx+22对任意的x∈π2,5π6恒成立，
a2≥csx+221−cs2x对任意的x∈π2,5π6恒成立且a>0，
记t=csx,t∈− 32,0，条件可化为a2≥(t+2)21−t2对任意的t∈− 32,0成立，
设y=(t+2)21−t2,t∈− 32,0，则y=t2+4t+41−t2=−1+4t+51−t2，
设u=4t+5,u∈5−2 3,5，
则φ(u)=−1+u1−116(u−5)2=−1+u−116u2+58u−916=−1+158−116u+9u，
由y=u+9u在5−2 3,3上递减，(3,5)上递增可得，φ(u)在5−2 3,3上递减，在(3,5)上递增，
u=5−2 3即t=− 32时，y=42− 322=4− 32，
u=5即t=0时，y=4，
因此f(u)的最大值为4− 32，由题意得a2≥4− 32，故a≥4− 3．