四川省巴中市南江县2025_2026学年高二数学上学期1月月考试题含解析

这是一份四川省巴中市南江县2025_2026学年高二数学上学期1月月考试题含解析，共22页。试卷主要包含了 已知双曲线 ， 下列给出的命题中正确的有等内容，欢迎下载使用。
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､座号､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦拭干净后，再选涂其他答案的标号.答案写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案用黑色墨迹中性笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师.
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 在平面直角坐标系 中，直线 在 轴上的截距为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令 即可求解.
【详解】由截距的概念，令 ，可得 ，
即 ，
故直线 在 轴上的截距为 ，
故选：A
2. 抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的知识可直接选出答案.
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【详解】抛物线 的准线方程为
故选：C
3. 样本数据： 的第 70 百分位数是（ ）
A. 16 B. 19 C. 20 D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的求解方法求解即可.
【详解】将样本数据从小到大排列：10,11,13,14,16,17,18,22,32,36.
样本容量 ， .
因为 是整数，所以第 70 百分位数为第 项和第 项数据的平均值，
所以第 70 百分位数为 .
故选：C.
4. 某城市一年的空气质量状况如下表所示：
不 大 于 污染指数
概率
其中当污染指数 时，空气质量为优；当 时，空气质量为良；当 时，空气
质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到优或良的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率公式可求得结果.
【详解】结合题意与表格中的数据可知，该城市一年空气质量达到优或良的概率为 .
故选：D.
5. 已知椭圆 的焦点在 轴上，且焦距为 4，则 （ ）
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A. 5 B. 6 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据要求列出方程和不等式，然后求解出 的值即可.
【详解】因为 表示焦点在 轴上且焦距为 的椭圆，
所以 ，解得 ，
故选：C.
6. 已知正四面体 的所有棱长都等于 ， ， 分别是 ， 的中点.则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的基本定理，表示 ， ，然后结合数量积，直接求
解 即可.
【详解】由题知， ， ，
所以
.
故选：B
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7. 若直线 被圆 截得的弦长为 2，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形可得 ，再利用基本不等式
可得答案.
【详解】圆 化为标准方程为 ，
所以圆心坐标为 ，半径为 ，
可得圆心到直线 的距离为 ，
若直线 被圆 截得的弦长为 2，
则 ，整理得 ，即 ，
又 ，所以
，
当且仅当 即 时等号成立，
则 的最小值为 2.
故选：C.
8. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 为 在第一象限上的一点，
若 为直角三角形，且 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线定义以及 为直角三角形，可得 ，再结合 ，
即可联立得到 ，进而求出离心率.
【详解】由题知， ，
因为点 为 在第一象限上的一点，所以 ，则 ，
又 为直角三角形，所以 不可能为 ，
若 ，则 ，
即 ，可得 ，无解，此时不存在，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ， .
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故选：C
二､多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列给出的命题中正确的有（ ）
A. 已知两个向量 ，且 ，则
B. 三棱锥 中，点 为平面 内的一点，且 ，则
C. 已知 ，则 在 上的投影向量坐标为
D. 若 是空间的一组基底，则 也是空间的一组基底
【答案】ABC
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【解析】
【分析】对于 A，利用空间向量共线的充要条件即可判断；对于 B，根据空间向量共面的充要条件判断；对
于 C，利用投影向量的定义计算判断；对于 D，根据空间的基底概念即可判断.
【详解】对于 A，由 可得 ，解得 ，故 A 正确；
对于 B，点 为平面 内的一点，且 ，
由共面向量基本定理，可得 ，即 ，故 B 正确；
对于 C，因 ，
则 在 上的投影向量为 ，故 C 正确；
对于 D， 是空间的一组基底，而 ，
即 是共面向量，
故 不是空间的一组基底，即 D 错误.
故选：ABC.
10. 已知过抛物线 焦点 的直线 与抛物线交于 两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 以 为直径的圆与准线相切
B. 若点 ，则 的最小值为 5
C. 若直线 的倾斜角为 ，则
D. 点 为线段 中点，则点 的坐标可以是
【答案】ABD
【解析】
【分析】计算 和 中点到准线的距离可判断 A；根据抛物线的定义结合距离和最小计算可判断 B；
应用韦达定理计算面积可判断 C；根据点差法可判断 D.
【详解】由题意可知抛物线的焦点 ，准线方程为 ；
设 ， 的中点 ，
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则 到准线 的距离为 ， ，
所以以 为直径的圆与准线相切，故 A 正确；
过点 作 垂直于准线，垂足为 ，
则 ，当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为 5，故 B 正确；
若直线 的倾斜角为 ，则直线 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离 ，
由 得 ，
所以 ， ，
所以 ，故 C 错误；
假设点 的坐标为 ，则 ，
由直线 与抛物线交于 两点得 ，两式相减得 ，
即 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，点 在直线 上，
由 得 ， ，故 D 正确.
故选：ABD
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11. 如图，正方体 的棱长为 分别是棱 的中点，点 是其侧面 上
的动点（含边界），下列说法正确的是（ ）
A. 当 在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
B. 当 时，三棱锥 的体积为定值
C. 当 平面 时，点 的轨迹长度为
D. 过 作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】由 ，得到异面直线 与 所成角即为直线 与 所成角，求得所成角的最大
值与最小值，可判定 A 正确；以 为原点，建立空间直角坐标系，求得 的法向量 和
，结合向量的距离公式和体积公式，可判定 B 错误；求得平面 的法向量为
，根据 ，求得点 的轨迹是直线 ，结合两点间距离公式，可
判定 C 正确；根据球的截面的性质，结合距离公式，可判定 D 错误.
【详解】对于 A，在正方体 中，可得 ，
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所以异面直线 与 所成角即为直线 与 所成角，
当 M 运动到 点或 A 点时，异面直线 与 所成角最小 ，
当 M 运动到线段 中点时，异面直线 与 所成角最大 ，所以 A 正确；
对于 B，以 为原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，连接 ，
设 ，则 ，
由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
在正方体 中，由 ，
可得 是等边三角形，所以 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，可得 ，
所以三棱锥 的体积为 ，所以 B 错误；
对于 C，连接 ，因为正方体 的棱长为 ，
可得 ，设
因为 分别是棱 的中点，所以 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
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令 ，可得 ，故 ，
因为 平面 ，所以 ，可得 ，
整理得 ，即 ，
则点 的轨迹是直线 ，在面 内，
又由 ，当 时， ，可得 ；
当 时， ，可得 ，
所以轨迹是点 和点 构成的线段，
由两点间距离公式得 ，
即此时点 的轨迹长度为 ，所以 C 正确；
对于 D，由正方体性质得外接球的球心就是正方体的中心，如图所示，把球心记为 ，
连接 ，由外接球性质得 ，外接球半径为 ，
由两点间距离公式得 ，
又由球的截面的性质，可得截面一定是圆，且设圆的半径为 ，
由勾股定理得 ，所以截面面积为 ，
即截面面积的最小值为 ，所以 D 错误.
故选：AC.
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三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知直线 ， ，且 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线垂直的充要条件可求出 的值.
【详解】因为直线 ， ，且 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
13. 抛物线 上一点 与焦点的距离等于 5，且 在第一象限内，则 的坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线定义，由抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，求出点的横坐标，再代入
抛物线方程求出纵坐标.
【详解】由题意设 ， ，
抛物线准线方程为 ，
由抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，可得： ，
即 ，代入抛物线方程可得 ，
所以 ，
故 的坐标是 ，
故答案为：
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14. 已知 、 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是他们的一个公共点，且 ，则椭圆和双曲线
的离心率的倒数之和的最大值为___.
【答案】
【解析】
【分析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2, 由余弦定理可得
4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cs ，①在椭圆中，①化简为即 4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，
化简为即 4c2=4a12+r1r2…③， ，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值.
【详解】设椭圆 长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1，（a＞a1），半焦距为 c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2,
∵∠F1PF2= ，则∴由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cs ，①
在椭圆中，①化简为即 4c2=4a2﹣3r1r2…②，
在双曲线中，①化简为即 4c2=4a12+r1r2…③，
，
由柯西不等式得（1+ ）（ ）≥（ ）2
故答案为
【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关
键．属于难题．
四､解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的 500 名志愿者中随机抽
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取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：第 1 组 、第 2 组
、第 3 组 、第 4 组 、第 5 组 ．
（1）求图中 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 的人数；
（2）若在抽出的第 2 组和第 4 组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取 5 名志愿者参加中心广场
的宣传活动，再从这 5 名中采用简单随即抽样方法选取 2 名志愿者担任主要负责人，求抽取的 2 名志愿者
中恰好来自同一组的概率．
【答案】（1） ， 人.
（2） .
【解析】
【分析】（1）由直方图频率和为 1，列方程求 ，再根据直方图求 500 名志愿者中年龄在 的人数；
（2）由分层抽样的等比例性质求出 5 名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的 2 名志愿者中
恰好来自同一组的概率.
【小问 1 详解】
由直方图知： ，可得 ，
∴500 名志愿者中年龄在 的人数为 人.
【小问 2 详解】
由 ,
故 5 名志愿者有 2 名来自第 2 组，令两人分别为 、 ,
3 名来自第 4 组，令三人分别为 、 、 ，
则有 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共十种基本可能，
其中有 、 、 、 四种符合要求，
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∴抽取的 2 名志愿者中恰好来自同一组的概率 .
16. 已知双曲线 ， ， 为双曲线的左、右焦点．
（1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程；
（2）设点 是 上第一象限内的点， ，求 x 的值．
【答案】（1）顶点坐标为 ， ；焦点坐标 ， ；离心率为 ；渐近线
方程
（2）
【解析】
【分析】（1）先把双曲线方程变形为标准方程，可得 ，根据曲双曲线的性质得到顶点坐标、焦点坐标、
离心率与渐近线方程；
（2）根据题中向量的数量积公式列等式，解得 x 的值.
【小问 1 详解】
由题意得 ，
可得 ， ， ，
故顶点坐标为 ， ，焦点坐标 ， ，
离心率为 ，渐近线为 ；
【小问 2 详解】
设 ，则 ，
点 Q 在第一象限， ，且 ， ，
，
解得 ，
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．
17. 已知圆 过点 ，且圆心 在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）若直线 过点 且与圆 相切，求 的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）圆心 在直线 和线段 的中垂线上，求出即可得解；
（2）根据圆心到切线的距离等于半径求切线方程.
【小问 1 详解】
因为点 ，
所以线段 的中点为 ，
所以 的中垂线方程为 ．
联立 得 ，故圆 的圆心为点 ，
又圆 半径 ，
所以所求圆 的方程为 ．
小问 2 详解】
由题意及（1）知，圆 的圆心为 ，半径为 ，直线 过点 ．
①若 的斜率不存在，则 的方程为 ，此时，圆心 到 的距离为 3，符合题意；
②若 的斜率存在，设 的方程为 ，即 ，
因为 与圆 相切，所以 ，解得 ，
此时， 的方程为 ．
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综上， 的方程为 或 ．
18. 如图，等腰梯形 ABCD 中， ， ， ， ，且 于 E，将 沿
AE 翻折至 ，使得 .
（1）证明： ；
（2）求 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值；
（3）求平面 PCD 与平面 PAD 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3） .
【解析】
【分析】（1）由 ， 得到 平面 即可求证；
（2）连接 ED，过 D 作 于 F，分别以 EC，EA，EP 为 轴 轴 轴建立空间直角坐标系，由线
面夹角的向量法求解即可；
（3）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；
【小问 1 详解】
， ，
又 沿 AE 翻折至 ， ，即 .
平面 ， 平面 ，
平面 .
又 平面 ， .
【小问 2 详解】
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连接 ED，过 D 作 于
，
又 四边形 为等腰梯形，且 ，
又 ， .
又 且
，即 .
又 ， ， 平面 ， 平面
平面 .
以 E 为坐标原点，分别以 为 轴 轴 轴建立空间直角坐标系
， ， ，
， ， .
设平面 PAD 的法向量为
则 ，即
令 ，则 ， ， .
设 与平面 所成角为
则
与平面 所成角的正弦值为 .
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【小问 3 详解】
设平面 的法向量为
则 ，即
令 ，则 ， ， .
由（2）知平面 的法向量为
.
平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
19. 已知椭圆 的两个焦点 ，过 点且与坐标轴不平行的直线 与椭圆 相交于 ，
两点， 的周长等于 8.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若过点 的直线与椭圆 交于两点 ，设直线 的斜率分别为 .
（i）求证： 为定值；
（ii）求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii） .
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义，结合椭圆标准方程中 的关系进行求解即可；
（2）（i）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可；
（ii）法一：根据三角形面积之间的关系，结合一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解即可；
法二：根据三角形面积公式，结合点到直线距离公式、一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解
即可.
【小问 1 详解】
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因为 的周长等于 8，
所以 ，
由椭圆的定义可知： ，
所以 ，
由题意可得椭圆焦点在 轴上，
所以 ，
所以椭圆的方程为 .
【小问 2 详解】
（i）证明：由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为 0 时，显然 ，所以 ；
当直线斜率不为 0 时，设直线方程为 ，
联立 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
综上， 为定值 0.
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（ii）由（i）可得 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 面积 最大值为 .
法二：
点 到直线 的距离
所以
所以
，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 面积的最大值为 .
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