四川省南江中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份四川省南江中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量 若，则（ ）
A．B．1C．D．4
2．已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．7D．
3．在中，设，若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量和满足与的夹角为，则（ ）
A．B．2C．D．
5．已知，，，则（ ）
A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线
6．已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
7．设是方程的两根，且，则（ ）
A．B．C．或D．
8．已知函数，将函数向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则的最小值为
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
10．下列叙述中错误的是（ ）
A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
11．如果平面向量，，那么下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．与的夹角为D．在上的投影向量的模为
三、填空题（本大题共3小题）
12．设，向量，，且，则 ．
13．已知，则 .
14．如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为，与的夹角为,且，，若,则的值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量.
(1)求与;
(2)求与的夹角的余弦值.
16．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明.
17．已知函数的部分图象大致如图所示.
(1)求函数解析式；
(2)当时，求函数的单调递增区间.
18．已知函数．
(1)求函数的最小值，及取最小值时的的值；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的最小正周期和单调递减区间．
19．如图，在中，是的中点，．
(1)若，，求；
(2)若，求的值；
(3)过点作直线分别于边、交于、两点（点、与点、不重合），设，，求的最小值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】，∴
∴.
故选 C.
2．【答案】B
【详解】由题意，可得，
.
故选B.
3．【答案】D
【详解】在中，；①
在中，；②
①+②，得
因为，所以，
即
故选D.
4．【答案】D
【详解】由题意，.
故选D.
5．【答案】A
【详解】，，，
，，与共线，
因为两向量有一个公共点B，、B、D三点共线，故A正确．
由，，可得，
所以不存在使得，故A、B、C三点不共线，故B不正确；
由，，可得，
所以不存在使，故B、C、D三点不共线，故C不正确；
因为，，
所以，
又，可得，
所以不存在使，故A、C、D三点不共线，故D不正确；
故选A.
6．【答案】D
【详解】∵，∴，，
即，
两边同时平方可得，，
所以.
故选D.
7．【答案】B
【详解】因为是方程的两根，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
则，
所以.
故选B.
8．【答案】B
【详解】由，
向右平移个单位后得到
因为为奇函数，所以，
所以，得，
即
因为，所以的最小值为，
故选B项.
9．【答案】CD
【详解】对于A，，，设存在使得，即，明显不可能，则不共线，所以可以作为一组基底，故A错误；
对于B，假设，共线，则，明显不可能，则不共线，所以可以作为一组基底 ，故B错误；
C.因，则共线，所以不可以作为一组基底，故C正确；
D. 因，则共线，所以不可以作为一组基底，故D正确；
故选CD.
10．【答案】BC
【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确；
对于B，向量无法比较大小，故B错误；
对于C，若是零向量，则不成立，故C错误；
对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同且模长为1的单位向量，故D正确．
故选BC．
11．【答案】ABC
【详解】对于A，，则，所以A错误；
对于B，，则不平行，所以B错误；
对于C，，又，则，所以C错误；
对于D，在上的投影向量的模为，所以D正确.
故选ABC.
12．【答案】
【详解】因，，，则.
13．【答案】/
【详解】∵，则，
∴.
14．【答案】6
【详解】
.
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由，得，
而，则；
（2），
即与的夹角的余弦值为.
16．【答案】(1)
(2)是上的增函数，证明见解析
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
检验：因为，故满足题意，
所以；
（2）是上的增函数，证明如下：
设任意，，
，
∵，∴，，，，
∴是上的单调增函数.
17．【答案】(1)
(2)、.
【详解】（1）由图可知，，则，，所以，
又因为点在函数图象上，处在函数单调减区间上，
所以，即，解得，，
又，所以，即.
（2）令，解得，，
当时，；当时，；
又，所以的单调递增区间为、.
18．【答案】(1)当，时，取得最小值：.
(2)最小正周期为：；单调递减区间为：，
【详解】（1）.
所以的最小值为，
此时：，，即，.
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再将的图象向右平移个单位，得到.
由，得函数的最小正周期为.
由，
得，，
所以，.
所以函数的单调递减区间为：，.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量线性运算和向量数量积的运算律直接求解即可；
（2）设,利用向量线性运算可得，根据三点共线得，然后计算即可求解；
（3）由（2）知，利用向量线性运算可得，根据三点共线得，然后使用基本不等式计算即可.
【详解】（1）因为为中点，,
所以,
所以，
所以.
（2）因为，所以,
设,
则，
又因为三点共线，
所以，即.
所以,
因为,
所以，即.
（3）由（2）可知，，
因为,
所以,
因为三点共线，
所以，，
即,
所以
，
当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为.