湖北省2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题（Word版附解析）

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命题单位：荆州市教科院 审题单位：恩施州教科院 2025.1
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 抛物线 y2=4x 的焦点坐标是
A. （0,2） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0）
2 已知 ， ，且 ，则 （ ）
A. 0.5 B. 0.4 C. 0.9 D. 0.2
3. 设数列 ， 都是等比数列，则在 4 个数列 ， ， ， 中，一定是等
比数列的有（ ）
A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4. 直线 的一个方向向量的坐标为 ，直线 过点 且与 垂直，则 的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 是等差数列， ， ，则 的前 10 项和为（ ）
A. 90 B. 100 C. 110 D. 120
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6. 已知正三棱柱 的各条棱长均相等，棱 的中点为 ，则直线 与直线 所成的角
的余弦值为（ ）
A. 0 B. C. D.
7. 柜子里有红、黄、蓝三种颜色的鞋子各一双，从 6 只鞋子中随机地取出 3 只，则取出的 3 只鞋子颜色均
不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在
同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆.已知二面角 的大小为 ，半
平面 内的圆 在半平面 上的投影是椭圆 ， 在半平面 上的投影是椭圆 ，则椭圆 的离心率
为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件： “点数不大于 2”； “点数大于 2”； “点数
大于 5”； “点数为奇数”.则下列说法正确的有（ ）
A. B. ， 为对立事件
C. 与 互斥 D.
10. 已知 ，设两条直线 ， 交点的轨迹为曲线 ，则下列说法正确
的有（ ）
A. 当 时，曲线 是椭圆的一部分，且椭圆焦点在 轴上
B. 当 时，曲线 是椭圆的一部分，且椭圆焦点在 轴上
C. 当 时，曲线 是椭圆的一部分
D. 当 时，曲线 是双曲线的一部分
11. 已知正方体 的棱长为 4，点 在面 （包含边界）内运动，且
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；点 在面 （包含边界）内运动，且 到直线 的距离与其到平面 的距离相等.若
平面 ，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 直线 不可能与平面 垂直
C. 的轨迹为抛物线的一部分
D. 线段 长度的取值范围为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ， ，且 ，则 _____.
13. 双曲线 的左右焦点分别为 ， ，以线段 为直径的圆与双曲线 的
渐近线在第一象限的交点为 ，若 ，则 _____.
14. 数列 中 ，且满足 ， ，则数列 的前 2024 项的和为_____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 满足 ，且 ，设 .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
16 已知圆 内有一点 ，过 作直线与圆 交于 ， 两点.
（1）若弦 被点 平分，求直线 的方程.
（2）若 ，求直线 的方程.
17. 如 图 ， 平 行 六 面 体 的 所 有 棱 长 均 相 等 ， ， ， 平 面
平面 ，点 ， 满足 ， .
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（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角 的正弦值.
18. 已知椭圆 的中心在坐标原点，左顶点为 ，焦点在 轴上且焦距为 2，过右焦点 的直线 （不与 轴
重合）交椭圆于 ， 两点，当直线 与 轴垂直时， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）证明：直线 ， 的斜率之积为定值.
19. 已知 ， 两个盒子里分别有 ， 个小球，另有足够多 小球备用.重复进行 次如下操作：
每次从 ， 中随机选取一个盒子，向里面放入 1 个球或放入 2 个球，从剩下的另一个盒子里取出 1 个球
或取出 2 个球.每一次操作中某个盒子里“放入 1 个球”“放入 2 个球”及“取出 1 个球”“取出 2 个球”均是等可能
的，这 次操作结果均相互独立.
（1）若 ， ，求第一次操作后， 盒子里球的个数多于 盒子里球的个数的概率；
（2）求完成一次操作后， ， 两个盒子里球的个数之和减少的概率 ；
（3）求重复进行 次操作后， ， 两个盒子里球的个数之和为 的概率.
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