广东省潮州市湘桥区八年级上学期期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省潮州市湘桥区八年级上学期期末考试数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
试卷类型：A
全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 重庆今年夏天连续高温，9月7日是二十四节气中的“白露”，“白露”是反映自然界寒气增长的重要节气，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，根据轴对称图形的知识求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2. 在式子：，，，中，分式的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的定义，对应两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此求解即可．
【详解】解：在式子：，，，中，分式有，，共2个，
故选：B．
3. 如图，在中，边上的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形的概念及三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解题的关键，根据三角形边上高的定义即可判定，从而得到答案．
【详解】解：根据高的定义：边上的高，垂足应在边上，或线段的延长线或反向延长线上，且经过顶点，
符合条件的是，
故选：D．
4. 小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为和，则另一条边的长度可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系求得第三边的取值范围，进而逐项判断即可．
【详解】解：设三角形的另一条边的长度为，
由题意，得，则，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，
故选：A．
5. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方．根据积的乘方运算法则求解即可．
【详解】
故选：A
6. 如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C
7. 若一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n-2）×180=1800，
解得：n=12．
∴这个多边形是12边形．
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n-2）×180°．
8. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求解．
【详解】解：过点B作，垂足为点F，
∵C是的中点，，
∴，
∵，，射线是的平分线，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
9. 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），用不同的方法计算剩余阴影部分的面积，可以验证的公式是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
【详解】图中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，也可以看作两个梯形的面积和，梯形的上底是b，下底是a，高为，因此阴影部分的面积为，所以有；
故选：A
10. 如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ）
A. 12B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，由于，即可求出周长的最小值．
【详解】解：连接，
垂直平分，
，
，
，
，
故周长的最小值是，
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的运算，首先计算零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
详解】解：
，
故答案为：．
12. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式是解本题的关键．直接提公因式即可得出答案．
【详解】
故答案为：
13. 如图，已知，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】
故答案为：
14. 如图，在的边上截取，连接，作的角平分线交于点，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，根据，平分得出，根据可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，平分
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质易得，，进而可得，即可确定点的坐标．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，
∵，轴，轴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（一）：共3小题，第17题8分，第18题7分，第19题7分，共22分．
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算以整数混合运算的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可；
（2）先分子乘分子，分母乘分母，再约分化简即可；
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用分式的运算法则先算括号里面的，再计算除法完成化简，然后代入求值即可．
详解】解：
；
当时，
原式.
18. 随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享汽车公司计划在如图的空地上建立一个集中充电点P，按设计要求：集中充电点P到公路，的距离相等，并且到D，E两个小区的距离也相等．请在图中确定点P的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图，作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求．
四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分）．
19. 如图，与中，，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据证明全等的方法，在直角三角形里，先考虑用即可解决问题；
（2）先根据直角三角形中两个锐角互余可得，再由（1）的全等可得到，即可求出答案．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了三角形的全等的判定和性质，角度的计算，直角三角形中两个锐角互余等知识点，解决此题的关键是熟练掌握证明全等的方法．
20. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元．
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元．
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器?
【答案】（1）甲单价为55元，乙单价为50元
（2）40个
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【小问1详解】
设乙种滑动变阻器的单价是x元，
根据题意得：
解得：．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
∴（元）
答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元．
【小问2详解】
设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个．
根据题意得：．
解得：．
答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器．
21. 综合与实践
【阅读材料】
将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．
解：因为，所以．
又因为，，所以．
【探究实践】
（1）若，，求值；
【拓展应用】
（2）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了劳动教育基地．如图，校园内有两块相邻的正方形场地（，B、C、E三点在一条直线上，边与边在一条直线上），它们的面积和为，边长和（）为，学校计划在阴影部分（和）处摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地，请求出摆放花卉场地的面积．
【答案】（1）（2）40
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，完全平方公式及平方差公式，根据题意表示出阴影部分的面积是解题的关键．
（1）利用完全平方公式变形求解即可；
（2）根据题意可得，，再求得，最后根据进行求解即可．
【详解】（1）因为，
所以，
因为，，
所以，
．
（2）设正方形、正方形的边长分别为a，b．
由题意得：，，
所以，
即，
得，
因为，又因为，
所以，
五、解答题（共2小题，每小题13分，共26分）
22. 【问题情境】在和中，，，．

（1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________；
（2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？
（3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）成立，理由见详解；
（3），理由见详解．
【解析】
【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答；
（2）证明，得到，又由，得到，即可解答；
（3），如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到．
【小问1详解】
证明：如图1，

在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
【小问2详解】
解：成立，证明：如图2，

，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
，
如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，

，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等．
23. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，．
（1）如图①，求证：是等边三角形；
（2）如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：；
（3）如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论；
（2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论；
（3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
是等边三角形；
【小问2详解】
证明：由（1）知：是等边三角形，

，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
【小问3详解】
解：，证明如下：
如图2，在上截取，连接，
∴，即，

，
，
为的中点，
平分，即，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，以及含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．