2025年山东中考数学一轮复习课题8 ：平行线的有关证明 练习题（含答案+解析）

这是一份2025年山东中考数学一轮复习课题8 ：平行线的有关证明 练习题（含答案+解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则∠α的度数是( )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
2.如图，在AB/​/CD中，∠AEC=40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为( )
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
3.如图，直线a/​/b，∠1=63°，∠B=45°，则∠2的度数为( )
A. 105°
B. 108°
C. 117°
D. 135°
4.下列命题：① 4的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；③天气预报说明天的降水概率是95%，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于108°，则它是正五边形，其中真命题的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.某班四个小组进行辩论比赛，赛前三位同学预测比赛结果如下：
甲说：“第二组得第一，第四组得第三”；
乙说：“第一组得第四，第三组得第二”；
丙说：“第三组得第三，第四组得第一”；
赛后得知，三人各猜对一半，则冠军是( )
A. 第一组B. 第二组C. 第三组D. 第四组
6.给出下列命题：
(1)三角形的一个外角一定大于它的一个内角
(2)若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形
(3)三角形的最小内角不能大于60°
(4)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
其中真命题的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB/​/CD的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在下列给出的条件中，不能判定AC/​/DF的是( )
A. ∠1=∠2B. ∠4+∠2=180 ∘C. ∠2=∠3D. ∠A=∠1
9.如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.如果∠1=70°，那么∠2的度数是( )
A. 20°B. 25°C. 30°D. 45°
10.如图，AB/​/CD，BC/​/DE，若∠B=72°28′，那么∠D的度数是( )
A. 72°28′
B. 101°28′
C. 107°32′
D. 127°32′
11.如图，直线a/​/b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1=40°，则∠2=( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 65°
12.如图，在弯形管道ABCD中，若AB/​/CD，拐角∠ABC=122°，则∠BCD的大小为( )
A. 58°B. 68°C. 78°D. 122°
13.如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α=145°，则∠β等于( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 85°
14.如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB=18°，∠FED=56°，则∠GFH的度数为( )
A. 34°B. 36°C. 38°D. 56°
15.随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管(点C在AB上)，EF为后下叉．已知AB // DE，AD // EF，∠BCE=67°，∠CEF=133°，则∠ADE的度数为( )
A. 57°B. 66°C. 67°D. 74°
16.如图，AB // CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为( )
A. ∠1+∠2−∠3B. ∠1+∠3−∠2
C. 180°+∠3−∠1−∠2D. ∠2+∠3−∠1−180°
17.如图，AB/​/CD，点E在线段BC上(不与点B，C重合)，连接DE.若∠D=40°，∠BED=60°，则∠B=( )
A. 10°
B. 20°
C. 40°
D. 60°
18.如图，在四边形ABCD中，CD/​/AB，AC⊥BC，若∠B=50°，则∠DCA等于( )
A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°
19.已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线.下列作图痕迹不正确的是( )
A. B. C. D.
20.如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
21.△ABC的三边分别是a，b，c，其对角分别是∠A，∠B，∠C，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠B=∠A−∠CB. a:b:c=5:12:13
C. b2−a2=c2D. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
二、填空题：
22.如图，已知l1//l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1=70°时，∠2= ______°.
23.在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=40°，BO、CO平分∠ABC、∠ACB，则∠BOC=________．
三、解答题：
24.如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD．
(1)当AD为BC边上的中线时，若AE=6，△ABC的面积为30，求CD的长；
(2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．
25.阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”.例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“3倍角三角形”.反之，若一个三角形是“3倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
(1)如图(1)，已知∠MON=60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，判断△AOB是不是“3倍角三角形”，为什么？
(2)在上题的条件下，以A为端点画射线AC，交线段OB于点C(点C不与点O，点B重合)，若△AOC是“3倍角三角形”，求∠ACB的度数；
(3)如图(2)，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B，若△BCD是“3倍角三角形”，直接写出∠B的度数．
26.如图，在△ABC中，点D、点E分别为BC、BA上一点，DA平分∠EDC，∠ADC=∠DAC，∠B=42°，∠BAD=26°．
(1)判断AC与DE的位置关系并说明理由；
(2)求∠C的度数．
27.(一)【问题】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
(1)若∠A=80°，则∠BEC=______；
(2)若∠A=n°，则∠BEC=______．
(二)【探究】
(1)如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB.若∠A=n°，则∠BEC=______；
(2)如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由：
28.受自行车尾灯设计的启发某班开展项目式学习，以下是某小组的活动记录．
请你结合活动记录完成以下任务：
(1)①的依据定理是__________________，②的依据定理是__________________；
(2)③猜想∠β与∠α之间的关系为__________________，并说明理由；
(3)∠BCD的度数为__________________．
29.(1)如图1，若∠A=50°，BF平分∠PBC，CF平分∠QCB，则∠BFC= ______°；
(2)如图1，若∠A=α，∠CBF=13∠PBC，∠BCF=13∠BCQ，则∠BFC= ______(用含α的式子表示)；
(3)如图1，若∠A=α，∠CBF=1n∠PBC，∠BCF=1n∠BCQ，则∠BFC= ______(用含α，n的式子表示)；
(4)如图2，若∠A=α，∠B=β，∠PCF=1n∠PCD，∠QDF=1n∠QDC，则∠DFC= ______(用含α，β，n的式子表示)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如图：
∵AB/​/CD，
∴∠BAD=∠D=30°，
∵∠BAE=45°，
∴∠α=45°−30°=15°．
故选：B．
根据平行线的性质和三角板的特殊角的度数解答即可．
本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
2.【答案】B
【解析】解：因为AB/​/CD，∠AEC=40°，
所以∠ECD=∠AEC=40°，
因为CB平分∠DCE，
所以∠BCD=12∠DCE=20°，
因为AB/​/CD，
所以∠ABC=∠BCD=20°，
故选：B．
由两直线平行，内错角相等得到∠ECD=40°，由角平分线的定义得到∠BCD=20°，最后根据两直线平行，内错角相等即可得解．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵a/​/b，∠1=63°，
∴∠DCB=∠1=63°，
又∵∠B=45°，
∴∠2=∠DCB+∠B=63°+45°=108°．
故选：B．
首先根据平行线的性质得∠DCB=∠1=63°，再由三角形的外角定理可得∠2的度数．
此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角定理是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：① 4的算术平方根是 2，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题，符合题意；
③天气预报说明天的降水概率是95%，则明天下雨可能性很大，不能确定是否一定下雨，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④若一个多边形的各内角都等于108°，各边也相等，则它是正五边形，，故原命题错误，不符合题意；
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：假设甲说的第一句对，第二组得第一对，则第四组得第三错；
由此可知，丙说的第四组得第一错，则第三组得第三对；
则乙说的：第一组得第四对，第三组得第二错，
由此可推知：第二组第一，第四组第二，第三组第三，第一组第4，符合题意；
假设甲说的第一句错，第二组得第一错，则第四组得第三对；
由此可知，丙说的第四组得第一错，则第三组得第三错；与已知出现矛盾，故此推理错误；
故选：B．
分别假设甲、乙、丙三人所说的其中一句话正确，进而分析得出符合题意的答案．
此题主要考查了推理与论证，通过假设其中一句话是正确的，根据所给条件进行推理，与题意相符则正确，与题意矛盾则排除是完成此类问题的基本思路．
6.【答案】C
【解析】解：(1)三角形的一个外角不一定大于它的一个内角，故错误；
(2)若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形，故正确；
(3)三角形的最小内角不能大于60°，故正确，
(4)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故正确．
故选：C．
据三角形的外角的性质和三角形内角和定理对各个选项进行判断即可．
本题考查的是三角形的外角的性质和三角形内角和定理的应用，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、由∠1=∠2，不能判定AB/​/CD，故A不符合题意；
B、如图，
∵∠1=∠2，∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB/​/CD，
故B符合题意；
C、∵∠1=∠2，
∴AC/​/BD，
故C不符合题意；
D、由∠1=∠2，不能判定AB/​/CD，故D不符合题意；
故选：B．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】此题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．
【详解】A、∵∠1=∠2，∴AB//EF，故该选项符合题意；
B、∵∠4+∠2=180 ∘，∴AC//DF，故该选项不符合题意；
C、∵∠2=∠3，∴AC//DF，故该选项不符合题意；
D、∵∠A=∠1，∴AC//DF，故该选项不符合题意；
故选：A．
9.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得∠2的度数．
【解答】
解：如图．
因为a // b，∠1=70°，
所以∠1=∠3=70°，
所以∠2=180°−90°−70°=20°，
故选：A．
10.【答案】C
【解析】解：∵AB/​/CD，∠B=72°28′，
∴∠C=∠B=72°28′，
∵BC/​/DE，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠D=180°−∠C=107°32′，
故选：C．
先根据AB/​/CD求出∠C的度数，再由BC/​/DE即可求出∠D的度数．
本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：如图：
因为∠4=90°，∠1=40°，∠1+∠3+∠4=180°，
所以∠3=180°−90°−40°=50°，
因为直线a/​/b，
所以∠2=∠3=50°．
故选：B．
先由已知直角三角板得∠4=90°，然后由∠1+∠3+∠4=180°，求出∠3的度数，再由直线a/​/b，根据平行线的性质，得出∠2=∠3=50°．
此题考查了平行线性质，解题的关键是熟练掌握平行线性质：两直线平行，同位角相等．
12.【答案】A
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=122°，
∴∠BCD=180°−122°=58°，
故选：A．
根据平行线的性质得出∠ABC+∠BCD=180°，代入求出即可．
本题考查了平行线的性质，能熟练地运用平行线的性质定理进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．
13.【答案】D
【解析】解：如图所示：
由题意得：EC/​/AD，∠BAC=60°，
∴∠CAD=180°−∠α=35°，
∴∠β=180°−∠BAC−∠CAD=85°．
故选：D．
由平行线的性质可得∠CAD的度数，再结合平角性质即可求∠β的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
14.【答案】C
【解析】解：∵AB/​/CD，∠FED=56°，
∴∠FED=∠GFB=56°，
∵∠HFB=18°，
∴∠GFH=∠GFB−∠HFB=38°．
15.【答案】B
【解析】解：∵AB//DE，
∴∠BCE=∠DEC=67°，
∵∠CEF=133°，
∴∠DEF=∠CEF−∠DEC=66°，
∵AD//EF，
∴∠ADE=∠DEF=66°．
16.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线来构造平行线，利用平行线的性质进行推导．先过点E作EG/​/AB，过点F作FH/​/CD，利用平行线的性质求得∠GEF和∠EFH，最后根据∠CFH=∠3−∠EFH求得∠4即可．
【解答】
解：过点E作EG/​/AB，过点F作FH/​/CD，
因为AB/​/CD，
所以AB//CD//EG//FH，
所以∠1=∠AEG，
所以∠GEF=∠2−∠1，
因为EG/​/FH，
所以∠EFH=180°−∠GEF=180°−(∠2−∠1)=180°−∠2+∠1，
所以∠CFH=∠3−∠EFH=∠3−(180°−∠2+∠1)=∠3+∠2−∠1−180°，
因为FH/​/CD，
所以∠4=∠CFH=∠3+∠2−∠1−180°，
故选D．
17.【答案】B
【解析】解：∵∠C+∠D=∠BED=60°，
∴∠C=60°−∠D=60°−40°=20°．
又∵AB/​/CD，
∴∠B=∠C=20°．
故选：B．
利用平行线的性质及外角计算即可．
本题简单地考查了平行线的性质，知识点比较基础，一定要掌握．
18.【答案】C
【解析】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=50°，
∴∠CAB=90°−∠B=40°，
∵CD//AB，
∴∠DCA=∠CAB=40°．
故选：C．
由AC⊥BC可得∠ACB=90°，又∠B=50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB=40°，再根据平行线的性质可得∠DCA=∠CAB=40°．
本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．
19.【答案】B
【解析】解：如图所示，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠BOM，
又∵PO=PM，
∴∠AOM=∠PMO，
∴∠PMO=∠BOM，
∴PM//OB．
故A选项不符合题意．
如图所示，
∵OP=OM，
∴∠OPM=∠OMP．
又∵PN平分∠APM，
∴∠APN=∠MPN．
据此无法得到判定PN//OB的条件．
故B选项符合题意．
如图所示，
∵OP=ON=PM=MN，
∴四边形OPMN是菱形，
∴PM//OB．
故C选项不符合题意．
如图所示，
根据作图步骤可知，
这里作了一个角(∠APM)等于已知角(∠O)，
∵∠APM=∠O，
∴PM//OB．
故D选项不符合题意．
故选：B．
根据所给作图痕迹，结合平行线的判定，依次进行判断即可．
本题主要考查了平行线的判定及作图−基本作图，熟知平行线的判定是解题的关键．
20.【答案】B
【解析】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，
∵EF⊥平面镜，
∴CD/​/EF，
∴∠CDH=∠EFH=α，
根据题意可知：AG/​/DF，
∴∠AGC=∠CDH=α，
∴∠AGC=α，
∵∠AGC=12∠AGB=12×60°=30°，
∴α=30°．
故选：B．
作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD/​/EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．
本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB．
21.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．根据三角形内角和定理判断A、D即可；根据勾股定理的逆定理判断B、C即可．
【解答】
解：A.∵∠B=∠A−∠C，
∴∠B+∠C=∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，即△ABC是直角三角形，故本选项错误；
B.∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；
C.∵b2−a2=c2，
∴b2=a2+c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；
D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项正确；
故选D．
22.【答案】65
【解析】解：如图，
∵l1/​/l2，
∴∠1=∠3=70°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠2=180°−45°−70°=65°．
故答案为：65．
利用平行线的性质求出∠3=70°，可得结论．
本题考查等腰直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的性质．
23.【答案】120°
【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=40°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC=12×80°=40°，∠OCB=12∠ACB=20°，
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=120°．
故答案为：120°．
由在△ABC中，∠ACB=80°，∠ACB=40°，BO、CO平分∠ABC、∠ACB，根据角平分线的定义，即可求得∠OBC与∠OCB的度数，继而求得答案．
此题考查了角平分线的定义与三角形内角和定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
24.【答案】解：(1)∵AD为BC边上的中线，
∴S△ADC=12S△ABC=12×30=15，
∵AE为边BC上的高，AE=6，
∴12CD·AE=15，
∴CD=5．
(2)∵∠BAC=180°−∠B−∠C=78°，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC=39°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=36°+39°=75°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°−75°=15°．
【解析】本题灵活考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质，掌握这几个知识点的熟练应用是解决此题的关键．
(1)利用三角形中线定义及三角形面积求出CD长；
(2)利用三角形内角和先求∠BAC，再用外角性质和直角三角形性质求出∠DAE．
25.【答案】【小题1】
解：∵AB⊥OA，
∴∠OAB=90°．
∵∠MON=60°，
∴∠OBA=30°，
∴3×30°=90°，
∴∠OAB=3∠OBA，
∴△AOB是“3倍角三角形”．
【小题2】
当∠AOC=3∠OAC时，即3∠OAC=60°，
∴∠OAC=20°，
∴∠ACB=80°；
当∠AOC=3∠ACO时，即3∠ACO=60°，
∴∠ACO=20°，此时点C不在线段OB上，舍去；
当∠ACO=3∠OAC时，4∠OAC=180°−60°，
∴∠OAC=30°，
∴∠ACO=90°，
∴∠ACB=90°．
综上所述：∠ACB的度数为80°或90°．
【小题3】
.延长EF交BC于点G，∵∠EFC+∠BDC=180°，∠EFC+∠DFE=180°，
∴∠BDC=∠DFE，∴BD // EF．
∴∠DEF+∠BDE=180°．
又∠DEF=∠B，
∴∠B+∠BDE=180°，∴DE // BC，
∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC，∴∠B=∠DCB．
∵△BCD是“3倍角三角形”，
当∠BDC=3∠B时，3∠B+2∠B=180°，
∴∠B=36°；
当∠B=3∠BDC时， 13∠B+2∠B=180∘ ，
∴ ∠B=5407∘ ．
综上所述：∠B的度数为36°或 5407∘ ．

【解析】1. 分别求出△ABC的三个内角，然后根据新概念进行判断；
2. 分∠AOC=3∠OAC，∠AOC=3∠ACO，∠ACO=3∠OAC三种情况进行讨论；
3. 延长EF交BC于点G，构造3倍角基本图形来解决问题．
26.【答案】解：(1)AC//DE;
理由：∵DA平分∠EDC
∴∠ADE=∠ADC
∵∠ADC=∠DAC
∴∠ADE=∠DAC
∴DE/​/AC
(2)∵∠B=42°，∠BAD=26°．
∴∠ADC=∠B+∠BAD=68°
∴∠BDE=180°−68°−68°=44°
∵AC/​/DE
∴∠C=∠BDE=44°
【解析】本题考查平行线的判定与性质，三角形的外角性质等知识．
(1)证∠ADE=∠DAC，即可解答;
(2)由三角形外角性质得出∠ADC，得出∠BDE，即可解答．
27.【答案】130°；90°+12n°；60°+23n°
解：(二)②(2)∠BOC=12∠A，理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠BOC+∠OBC，∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，∴∠A+∠ABC=2(∠BOC+∠OBC)，∴∠A=2∠BOC，∴∠BOC=12∠A．
【解析】【分析】
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．(一)(1)根据角平分线的意义和三角形的内角和解答即可；(2)根据角平分线的意义和三角形的内角和解答即可；(二)(1)根据三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°−n°，再由线段BD、BE把∠ABC三等分，线段CD、CE把∠ACB三等分，得到∠EBC=23∠ABC，∠ECB=23∠ACB，于是∠EBC+∠ECB=23(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和定理得到∠BEC的大小；(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，结合三角形的内角和，然后整理即可得到∠BOC和∠A的关系．
【解答】
解：(一)(1)∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB(角平分线的定义)
∴∠BEC=180°−(∠EBC+∠ECB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12(180°−∠A)
=90°+12∠A；
若∠A=80°，则∠BEC=130°；
(2)同理可得，若∠A=n°，则∠BEC=90°+12n°．
故答案为：(1)130°；(2)90°+12n°，
(二)(1)如图2，∵线段BP、BE把∠ABC三等分，
∴∠EBC=23∠ABC，并且BE平分∠PBC；
又∵线段CD、CE把∠ACB三等分，
∴∠ECB=23∠ACB，并且EC平分∠PCB；
∴∠EBC+∠ECB=23(∠ABC+∠ACB)=23(180°−∠A)
∴∠BEC=180°−23(180°−∠A)=60°+∠A，
若∠A=n°，则∠BEC=60°+23n°；
故答案为：60°+23n°；
②见答案．
28.【答案】解：(1)①等角的余角相等；②三角形的内角和为180°；
(2)③∠β=180∘−2∠α，理由如下：
由项目背景知，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠α+∠2+∠3=180∘，180∘−2∠2+180∘−2∠3+∠β=180∘，
∴∠2+∠3=180∘−∠α，2∠2+2∠3=∠β+180∘，
则2(180∘−∠α)=∠β+180∘，
整理得，∠β=180∘−2∠α；
(3)150∘或90∘+m∘．
解法如下：
设∠BCD=∠γ，∠ABC=∠α=120°，
(i)当n=3时，如图所示：
∵∠BEG=∠1=m∘，
∵∠ABC=120°，则∠BEG+∠BGE=180°−120°=60°，即m∘+∠BGE=60°，
∴∠BGE=∠CGH=60∘−m∘，
∴∠FEG=180∘−2∠1=180∘−2m∘，∠EGH=180∘−2∠BGE=180∘−2(60∘−m∘).
过点G作GP//EF，
∵EF//HK，∴GP//EF//HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK=360∘，
即180∘−2m∘+180∘−2(60∘−m∘)+∠GHK=360∘，
则∠GHK=120∘，可得∠GHC=180°−120°2=30∘．
∠γ=180∘−∠CGH−∠GHC=180°−(60∘−m∘)−30°=90∘+m∘，
即∠BCD=90∘+m∘；
(ii)当n=2时，如果在BC边反射后与EF平行，如图，
则∠FEL+∠ELQ=180°，可得∠1+∠BEL+∠BLE+∠QLC=180°，
又根据光线的反射定律可知，∠1=∠BEL，∠BLE=∠CLQ，
∴∠BEL+∠BLE=90°，
则∠ABC=180°−90°=90∘，与题意∠ABC=120°不符;
则只能在CD边反射后与EF平行，如下图所示：
∵∠γ=∠GBC+∠G，∠GBC=180∘−∠α=180°−120°=60∘，
∴∠G=∠γ−60∘，
由EF//HK，且由(ii)当n=2时，如果在BC边反射后与EF平行时情况的结论可得，∠G=∠γ−60∘=90∘，
则∠γ=60°+90°=150∘，即∠BCD=150°．
综上所述，∠BCD的度数为90∘+m∘或150∘．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
29.【答案】65 120°−α3 180°−180°+αn 180°−n−1n(α+β)
【解析】解：(1)∵BF平分∠PBC，CF平分∠QCB，
∴∠CBF=12∠PBC=12(∠A+∠ACB)，
∠BCF=12∠QCB=12(∠A+∠ABC)，
∴∠BFC=180°−(∠CBF+∠BCF)
=180°−[12(∠A+∠ACB)+12(∠A+∠ABC)]
=180°−[∠A+12(∠ABC+∠ACB)
=180°−[∠A+12(180°−∠A)]
=180°−(∠A+90°−12∠A)
=180°−(90°+12∠A)
=90°−12∠A
=90°−12×50°
=65°，
故答案为：65；
(2)∵∠CBF=13∠PBC=13(∠A+∠ACB)，
∠BCF=13∠BCQ=13(∠A+∠ABC)，
∴∠BFC=18°=(∠CBF+∠BCF)
=180°−[13(∠A+∠ACB)+13(∠A+∠ABC)]
=180°−[23∠A+13(∠ABC+∠ACB)]
=180°−[23∠A+13(180°−∠A)]
=180°−(23∠A+60°−13∠A)
=180°−(60°+13∠A)
=120°−13∠A
=120°−13α；
故答案为：120°−13α；
(3)∵∠CBF=1n∠PBC=1n(∠A+∠ACB)，
∠BCF=1n∠BCQ=1n(∠A+∠ABC)，
∴∠BFC=180°−(∠CBF+∠BCF)
=180°−[1n(∠A+∠ACB)+1n(∠A+∠ABC)]
=180°−[2n∠A+1n(∠ABC+∠ACB)]
=180°−[2n∠A+1n(180°−∠A)
=180°−(2n∠A+180°n−1n∠A)
=180°−180°+∠An
=180°−180°+αn，
故答案为：180°−180°+αn；
(4)∵∠PCF=1n∠PCD，∠QDF=1n∠QDC，
∴∠DCF=∠PCD−∠PCF=∠PCD−1n∠PCD=n−1n∠PCD，
∠CDF=∠QDC−∠QDF=∠QDC−1n∠QDC=n−1n∠QDC，
∴∠DFC=180°−(∠CDF+∠DCF)
=180°−(n−1n∠QDC+n−1n∠PCD)
=180°−n−1n(∠QDC+∠PCD)
=180°−n−1n(180°−∠BDC+180°−∠ACD)
=180°−n−1n[360°−(∠BDC+∠ACD)]
=180°−n−1n(∠A+∠B)
=180°−n−1n(α+β)，
故答案为：180°−n−1n(α+β)．
(1)由角平分线的定义结合三角形内角和即可求解；
(2)参照(1)中思路和步骤求解；
(3)参照(1)中思路和步骤求解；
(4)由题可知∠PCF=1n∠PCD，∠QDF=1n∠QDC，进而表示出∠CDF和∠DCF，然后结合三角形内角和和四边形内角和求解即可．
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，多边形内角和问题，角平分线的有关计算，列代数式等知识点，熟练掌握三角形的内角和外角及多边形的内角和问题是解题的关键．探究“进入光线和离开光线夹角与镜子夹角的关系”项目活动记录
项目背景
如图1，两个互相垂直的平面镜(∠α=90°)，根据光的反射定律，入射角等于反射角，即∠5=∠6，∠7=∠8，
∵∠1+∠5=90°，∠2+∠6=90°，
∠3+∠7=90°，∠4+∠8=90°，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，(①).
∵∠α=90°，∠α+∠2+∠3=180°(②)，
∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°．
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，
∴∠5+∠6+∠7+∠8=180°．
∴m//n．
图1
实验探究
如图2，在同一平面内，两块平面镜AB，BC的夹角为∠α(0°