人教版2026届中考数学二轮复习讲义：第 5 讲 三角形全等模型综合

这是一份人教版2026届中考数学二轮复习讲义：第 5 讲 三角形全等模型综合，共13页。学案主要包含了2026 届习题 1，思路点拨，规范解答，考点评析，2026 届习题 2，2026 届习题 3，2026 届习题 4，2026 届习题 5等内容，欢迎下载使用。
第 5 讲 三角形全等模型综合
【2026 届习题 1】如图，已知：AB = AC ，BD = CD ，上A = 60。，上D = 140。，则 上B = ( )
A ．50 B ．40 C ．40 或70: D ．30C
【答案】B
【思路点拨】连接AD ，可证△ABD≌ ACD ，根据全等三角形对应角相等可以得到上BAD = 上CAD 上BAC ，上ADB = 上ADC ，代入角度即可求出 上BAD 和上ADB 的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【规范解答】连接AD，如图，
在△ABD 与ACD 中
: △ABD ≌ ACD (SSS )，
: 上BAD = 上CAD = 30 ， 上D = 140。，
上BAD + 上ADB + 上B = 180。，
: 上B = 40 ．故选：B．
【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．
【2026 届习题 2】已知点 P 是线段 MN 上一动点，分别以 PM，PN 为一边，在 MN 的同侧作△APM，△BPN，并连接 BM，AN．
(Ⅰ) 如图 1，当 PM＝AP，PN＝BP 且∠APM= ∠BPN＝90°时，试猜想 BM，AN 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
(Ⅱ)如图 2，当△APM，△BPN 都是等边三角形时， (Ⅰ)中 BM，AN 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，连接AB 得到图3，当 PN＝2PM 时，求∠PAB 度数．
【答案】（1）BM＝AN，BM丄AN．（2）结论成立.（3）90° .
【思路点拨】(1)根据已知条件可证△MBP纟△ANP，得出 MB ＝AN，∠PAN = ∠PMB，再延长 MB 交 AN 于点 C，得出 上MCN = 90。, 因此有 BM丄AN；
(2)根据所给条件可证△MPB纟△APN，得出结论 BM ＝AN；
(3) 取 PB 的中点 C，连接 AC ，AB，通过已知条件推出△APC 为等边三角形，∠PAC = ∠PCA ＝60°, 再由 CA = CB，进一步得出∠PAB 的度数.
【规范解答】解：(Ⅰ)结论：BM＝AN，BM丄AN．理由：如图 1 中，
“MP＝AP ， ∠APM= ∠BPN＝90° , PB＝PN，
:△MBP纟△ANP（SAS）， :MB＝AN．
延长 MB 交 AN 于点 C． “△MBP纟△ANP，
:∠PAN= ∠PMB，
“∠PAN+∠PNA ＝90° ,
:∠PMB+∠PNA ＝90° ,
:∠MCN＝180° - ∠PMB - ∠PNA ＝90° , :BM丄AN．
(Ⅱ) 结论成立
理由：如图 2 中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形∴∠APM= ∠BPN＝60°
∴∠MPB = ∠APN＝120° ,
又∵PM＝PA ，PB＝PN， ∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
(Ⅲ) 如图 3 中，取 PB 的中点 C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN 都是等边三角形∴∠APM= ∠BPN＝60° , PB＝PN ∵点 C 是 PB 的中点，且 PN＝2PM， ∴2PC ＝2PA ＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC ＝60° ,
∴△APC 为等边三角形， ∴∠PAC = ∠PCA ＝60° ,
又∵CA ＝CB，
∴∠CAB = ∠ABC＝30° ,
∴∠PAB = ∠PAC+∠CAB ＝90° .
【考点评析】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.
【2026 届习题 3】如图，已知AD 是 ABC 的中线，且AC> AB ．求证：AD
【答案】见解析
【思路点拨】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长AD 至点 E，使DE = DA，连接CE ，证明ABD≌ ECD ，得出 AB = EC ，进而根据三角形的三边关系，即可得证．
【规范解答】证明：如图，延长 AD 至点 E，使DE = DA，连接CE ，在△ABD, △ECD 中，
: ABD≌ ECD ， :AB = EC ．
在 △AEC 中，AC + EC > AE ， :AB + AC > 2AD ，
1
即AD < (AC + AB) ．
2
【2026 届习题 4】如图，点 是 ABC 的边BC 上的中线，AB = 6 ，AD = 4 ，则 AC 的取值范围为( )
A ．2 < AC < 14 B ．2 < AC < 12
C ．1 < AC < 4 D ．1 < AC < 8
【答案】A
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
延长 至E ，使DE = AD，连接CE ．由SAS 证明 ABD≌ ECD ，得CE = AB = 6 ，再根据三角形的三边关系即可求解．
【规范解答】解：延长 至E ，使DE = AD，连接CE ．
则AE = 2AD = 8 ，
∵ 是边BC 上的中线， :CD = BD ，
在 和 ECD 中，
〔AD = ED
{上ADB = 上EDC ， l BD = CD
∴ ABD≌ ECD (SAS ) ，
∴ CE = AB = 6 ，
在△ACE 中，AE − EC < AC < AE + EC ，即8 − 6 < AC < 8 + 6 ，
:2 < AC < 14 ，故选：A．
【2026 届习题 5】在Rt△ABC 中，上ACB = 90。，AC = BC，点 E 为AC 上一动点，过点A 作AD 丄 BE 于 D，连接CD ．
(1)【观察发现】
如图① , 上DAC 与上DBC 的数量关系是 ；
(2)【尝试探究】
点 E 在运动过程中， 上CDB 的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求上CDB 的度数；
(3)【深入思考】
如图②,若 E 为AC 中点，探索BE 与DE 的数量关系． 【答案】(1) 上DAC = 上DBC
(2) 上CDB 的大小不变，上CDB = 45。
(3) BE = 5DE
【思路点拨】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．
（1）由上ACB = 上ADB = 90。，得上DAC + 上AED = 90。，上DBC + 上BEC = 90。，而上AED = 上BEC ，所以
上DAC = 上DBC ，于是得到问题的答案；
（2）作CF 丄 CD 交BD于点 F，则 上ACD = 上BCF = 90。− 上ACF ，而上DAC = 上FBC，AC = BC ，即可证明DAC ≌ FBC，得CD = CF ，则上CDB = 上CFD = 45。，所以上CDB 的大小不改变，上CDB = 45。；
（3）作CG 丄 CD 交BD于点 G，作CH 丄 BD 于点 H，可证明 CHE ≌ ADE ，得HE = DE，CH = AD ，由
DAC ≌ GBC ，得AD = BG ，则 CH = BG ，由 CG = CD，CH 丄 DG，得DH = GH ，则 CH = DH = GH ，所以BG = DH = GH = 2DE ，即可推导出BE = 5DE ．
【规范解答】（1） ∵ 上ACB = 90。，AD 丄 BE ∴ 上ACB = 上ADB = 90。，
∴ 上DAC + 上AED = 90。，上DBC + 上BEC = 90。， ∵ 上AED = 上BEC ，
∴ 上DAC = 上DBC ，
故答案为：上DAC = 上DBC ．
（2） 上CDB 的大小不改变，
如图①,作CF 丄 CD 交BD于点 F，则 上DCF = 90。，
:上ACD = 上BCF = 90O − 上ACF ，由（1）得上DAC = 上FBC ，
∵ AC＝BC
: DAC≌ FBC (ASA)，
:CD = CF ，
:上CDB = 上CFD = 45O，
: 上CDB 的大小不改变，上CDB = 45O ．
（3）BE = 5DEE，
理由：如图②,作CG 丄 CD 交BD于点 G，作CH 丄 BD 于点 H，则 上CHE = 90O，
:上CHE = 上ADE ， ∵E 为AC 中点，
:CE = AE ，
∵ 上CEH = 上AED ，
: CHE≌ ADE (AAS)，
:HE = DE，CH = AD ，
由（2）得 DAC ≌ GBC ， :AD = BG ，
:CH = BG ，
∵ CG = CD，CH 丄 DG， :DH = GH ，
1
:CH = DH = GH = DG ，
2
:BG = DH = GH = 2DE ，
:BE = BG + GH + HE = 2DE + 2DE + DE = 5DE ．
【2026 届习题 6】
如图，ABCD 是正方形，上EAF = 45O ，当 E 在BC 边上，F 在CD 边上时，如图 1，BE 、DF 与EF 之间的数量关
系为__________．
【模型运用】当 E 点在BC 的延长线上，F 在CD 的延长线上时，如图2，请你探究BE 、DF 与EF 之间的数量关
系，并证明你的结论： ．
__________
, , 2
【拓展延伸】如图 3，已知AB = AD 上B + 上D = 180O E 在线段BC 上，F 在线段CD 上，上EAF = 1 上BAD ，请
你直接写出BE 、DF 与EF 之间的数量关系．
【答案】【基本模型】；EF = BE + DF【模型运用】：EF = BE − DF ，证明见解析；【拓展延伸】：EF = BE + DF ． 【思路点拨】（1）结论：EF = BE + DF ．将△ADF 绕点A 顺时针旋转，使 与AB 重合，得到ABF’，然后求出上EAF’= 上EAF = 45O，利用“边角边”证明△AEF 和△AEF’全等，根据全等三角形对应边相等可得EF = EF’，从而得解；
（2）结论：EF = BE − DF ，证明方法同法（1）；
（3）结论：EF = BE + DF ．将△ADF 绕点A 顺时针旋转，使 与AB 重合，得到ABF’，根据旋转变换的性质可得△ADF 和ABF’全等，根据全等三角形对应角相等可得上BAF’= 上DAF ，对应边相等可得AF’= AF ，
BF’= DF，对应角相等可得上ABF’= 上D ，再根据上EAF = 上BAD 证明上EAF’= 上EAF ，并证明E 、B 、F’三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF 和△AEF’全等，根据全等三角形对应边相等可得EF’= EF ，从而得解．
【规范解答】解：（1）结论：EF = BE + DF ．
理由：如图 1，将△ADF 绕点A 顺时针旋转，使 与AB 重合，得到ABF’，
则：上F’AB = 上DAF, 上ABF’= 上D = 90O ，AF = AF’，BF’= DF ， :上ABF’+ 上ABC = 180O，即： F’, B, E 三点共线，
上EAF = 45O，
:上DAF + 上BAE = 90O − 上EAF = 45O ， :上BAF’+ 上BAE = 45O ，
:上EAF’= 上EAF = 45O ，在△AEF 和△AEF’中，
〔 AF = AF’
’
l AE = AE
{上EAF = 上EAF ，
:△AEF≌△EAF(SAS) ， :EF = EF’，
又EF’= BE + BF’， :EF = BE + DF ．
故答案为：EF = BE + DF ；
（2）结论：EF = BE − DF ．
理由：如图 2，将△ADF 绕点A 顺时针旋转，使 与AB 重合，得到ABF’，
则：BF’= DF, AF’= AF ，
同法（1）可得： △AEF≌△AEF’(SAS) ，
:EF = EF’，
又EF’= BE − BF’= BE − DF ，
:EF = BE − DF ．
故答案为：EF = BE − DF ；
（3）结论：EF = BE + DF ．
理由：如图 3，将△ADF 绕点A 顺时针旋转，使 与AB 重合，得到ABF, ，
则 ADF≌ ABF,，
:上BAF, = 上DAF ，AF, = AF ，BF, = DF ，上ABF, = 上D ，
1
,
又 上EAF = 上BAD
2
,
:上EAF = 上DAF + 上BAE = 上BAE + 上BAF,
:上EAF = 上EAF,，
又 上ABC + 上D = 180O ， :上ABF, + 上ABE = 180O ， :F, 、B 、E 三点共线，
在△AEF 和△AEF, 中， EAF, ，
:△AEF≌△AEF,(SAS) ， :EF = EF, ，
又 EF, = BE + BF, ，
:EF = BE + DF ．
【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。
【2026 届习题 7】如图所示，在 ABC 中，AC = BC ，AE = CD ，AE 丄 CE 于点E ，BD 丄 CD 于点 ，AE = 7 ， BD = 2 ，则 DE 的长是 ( )
A ． 7 B ． 5 C ． 3 D ． 2
【答案】B
【思路点拨】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明Rt AEC≌Rt CDB ，又由 AE = 7 ，BD = 2 ，得出CE = BD = 2 ，AE = CD = 7 ，进而得出答案．
【规范解答】解： ∵ AC = BC ，AE = CD ，AE 丄 CE ，BD 丄 CD ，
:上AEC = 上CDB = 90O ， :Rt AEC≌Rt CDB
又∵AE = 7 ，BD = 2 ，
:CE = BD = 2 ，AE = CD = 7 ， :DE = CD − CE = 7 − 2 = 5 ．
故选 B
【2026 届习题 8】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图 1，点 A 在直线 l 上，上BAD = 90, AB = AD，过点 B 作BC 丄 l 于点 C，过点 D 作DE 丄 l 交于点 E ．得
上1 = 上D ．又上BCA = 上AED = 90 ，可以推理得到 ABC≌ DAE(AAS) ．进而得到结论：AC = _____，BC = _____ ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图 2， ∠上BAD = 上MAN = 90, AB = AD, AM = AN,BM 丄 l 于点 C，DE 丄 l 于点 E，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP = DP ．
【答案】(1) DE ，AE
(2)见解析
【思路点拨】本题考查一线三直角全等问题，
（1）由 上CBA = 上AED = 上BAD = 90 ，得上1+ 上2 = 上2 + 上D = 90 ，则 上1 = 上D ，而 AB = DA ，即可证明
ABC≌ DAE ，得AC = DE ，BC = AE ，于是得到问题的答案；
（2）作 NF 丄 l 于点F ，因为 BM 丄 l 于点C ，DE 丄 l 于点E ，所以 上ACM = 上NFA = 上NFP = 上DEP = 90 ，由
（1）得 AC = DE ，因为 上MAN = 90 ，所以上CAM + 上FAN = 上FNA + 上FAN = 90，则 上CAM = 上FNA，而
AM = NA ，即可证明 CAM≌ FNA ，得AC = NF ，所以NF = DE ，再证明 PFN≌ PED ，则 NP = DP ．
【规范解答】（1））解：BC 丄 l 于点C ，DE 丄 l 于点E ， ∴ 上CBA = 上AED = 90，
∵ 上BAD = 90 ，
∴ 上1+ 上2 = 上8 + 上D = 90 ，
∴ 上1 = 上D ，
在 ABC 和DAE 中，
〔上1= 上D
{上BCA= 上AED ， l AB = DA
∴ ABC≌ DAE（AAS）， ∴ AC = DE ，BC = AE ，故答案为：DE ，AE ．
（2）证明：如图 2，作 NF 丄 l 于点F ， ∵ BM 丄 l 于点C ，DE 丄 l 于点 E，
,
∴ 上ACM = 上NFA = 上NFP = 上DEP = 90由（1）得AC = DE ，
同理（1）得AC = NF ， ∴ NF = DE ，
在 PFN 和PED 中，
〔上MFP = 上DEF
{上FPN = 上EPD
l MF = DE
∴ PFN≌ PED（AAS）， ∴ NP = DP ．
【2026 届习题 9】如图①,在△ ABC 中， ，上BAC = 90°, 直线 是过A 点的任意一条直线，BD 丄 PQ 于
点 ，CE 丄 PQ 于点E ．
(1)求证：△ ABD 三 △CAE ．
(2)猜想BD ，DE ，CE 三条线段之间的数量关系．（不写证明）
(3)在图②中，将图①中的直线 绕点A 逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与AB ，AC 重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形．
【答案】(1)见解析
(2) DE = BD + CE
(3)图见解析，DE = BD − CE 或DE = CE − BD ，理由见解析
【思路点拨】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA、HL ．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
（1）利用AAS 判定 ABD ≌ CAE ；
（2）根据全等三角形的对应边相等可以求得BD = AE，AD = CE ，进而即可得到结论；
（3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则DE = BD − CE 或DE = CE − BD ，即可作答．
【规范解答】（1）证明： BD 丄 PQ 于点 ，CE 丄 PQ 于点E ，上BCA = 90O ，
:上BDA = 上AEC = 90O ，上DBA + 上BAD = 90O ，上BAD + 上EAC = 90O ，
:上DBA = 上EAC ．
在 和 ΔCAE 中
: ABD≌ CAE (AAS) ．
（2）解：DE = BD + CE ．理由如下：
由（1）知， ABD ≌ CAE ，则 BD = AE，AD = CE ∴ DE = AD + AE = CE + DB
∴ DE = BD + CE；
（3）解：结论：DE = BD − CE 或DE = CE − BD ．
理由：设 与BC 的交点为M ，
当M 离C 点近时，结论为DE = BD − CE ；
当M 离B 点近时，结论为DE = CE − BD （注：当 M 为BC 中点时， ，E 两点重合，线段DE 不存在）．当M 离C 点近时，如图：
同（1）可证明 ABD≌ CAE (AAS)，
:BD = AE ，AD = CE ．
DE = AE − AD，
:DE = BD − CE ．
当M 离B 点近时，如图：
同理，得DE = CE − BD ．
【2026届习题 10】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图 1．已知：在 ABC 中，上BAC = 90O ， ，直线 l 经过点A ，BD 丄直线 l，CE 丄 直线 l，垂足分别为点 D 、E ．证明：DE = BD + CE ．
(2)组员小明对图2 进行了探究，若上BAC = 90O ， ，直线 l 经过点A ．BD 丄直线 l，CE 丄 直线l，垂足分别为点 D、E．他发现线段DE 、BD 、CE 之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段DE 、BD 、CE 之间的数量关系，
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图 3，过 ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG（正方形的 4 条边都相等，4 个角都是直角）， AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，若 BH = 3 ，CH = 7 ，求AI 的长．
【答案】(1)见解析
(2) DE = BD −CE
(3) AI = 5
【思路点拨】（1）根据BD 丄直线 l，CE 丄 直线 l，上BAC = 90O，可得上CAE = 上ABD ，利用AAS 可证明 ADB≌ CEA ，根据DE = AE + AD 即可得到DE = BD + CE ；
（2）同（1）利用AAS 可证明 ADB≌ CEA ，根据DE = AE − AD 即可得到DE = BD −CE ；
（3）过E 作EM丄 HI 于M ，GN 丄 HI 的延长线于N ，可构造两组一线三直角全等模型，即：△ABH≌△EAM ， △AHC≌△GNA，从而可以得到EM GN ，MN = 4 ，再根据△EMI≌△CNI可得MI = NI = 2 ，即可确定AI 的长度； 【规范解答】（1）证明： ∵ BD 丄直线 l，CE 丄 直线 l，
∴ 上BDA = 上CEA = 90O ， ∵ 上BAC = 90O，
∴ 上BAD + 上CAE = 90O ， ∵ 上BAD + 上ABD = 90O ， ∴ 上CAE = 上ABD ，
在 ADB 和CEA 中，
〔上ABD = 上CAE
{上BDA = 上CEA ， l AB = AC
∴△ADB ≌△CEA( AAS )
∴ BD = AE ，AD = CE ，
∴ DE = AE + AD = BD + CE ；
（2） ∵ BD 丄直线 l，CE 丄 直线 l，
∴ 上BDA = 上CEA = 90O ， ∵ 上BAC = 90O，
∴ 上BAD + 上CAE = 90O ， ∵ 上BAD + 上ABD = 90O ， ∴ 上CAE = 上ABD ，
在 ADB 和CEA 中，
〔上ABD = 上CAE
lAB = AC
{上BDA = 上CEA ，
∴△ADB ≌△CEA( AAS )
∴ BD = AE ，AD = CE ，
∴ DE = AE − AD = BD − CE ；
（3）如图，过E 作EM丄 HI 于M ，GN 丄 HI 的延长线于N ，
∴ 上EMI = 上GNI = 90O
∵ 上BAH+ 上EAM = 90O ，上BAH + 上ABH = 90O ， ∴ ∠EAM = ∠ABH
在 ABH 和△EAM 中，
〔上AHB = 上EMA
lAB = AE
{上ABH = 上EAM ，
∴ △ABH≌△EAM (AAS)
∴ BH = AM = 3 ，AH = EM ，同理可得： △AHC≌△GNA ∴ CH = AN = 7 ，AH = GN ，
即：EM GN ，MN = AN − AM = 7 − 3 = 4 ，在△EMI 和△CNI 中，
〔上EMI = 上CNI
lEM = CN
{上EIM = 上CIN ，
∴ △EMI≌△CNI(AAS) ， ∴ MI = NI = MN = 2 ，
:AI = AM + MI = 3 + 2 = 5；
【考点评析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键．