人教版 初三数学 2025 中考二轮冲刺之相似三角形模型综合压轴专练（17类题型）

这是一份人教版 初三数学 2025 中考二轮冲刺之相似三角形模型综合压轴专练（17类题型），共40页。

TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc186847671" 模型梳理 PAGEREF _Tc186847671 \h 2
\l "_Tc186847672" 【题型1】A字模型 PAGEREF _Tc186847672 \h 9
\l "_Tc186847673" 【题型2】“8”字型 PAGEREF _Tc186847673 \h 12
\l "_Tc186847674" 【题型3】三角形内接矩形 PAGEREF _Tc186847674 \h 14
\l "_Tc186847675" 【题型4】倒数型（三平行结构） PAGEREF _Tc186847675 \h 16
\l "_Tc186847676" 【题型5】A字型与8字型相综合（用2次相似） PAGEREF _Tc186847676 \h 17
\l "_Tc186847677" 【题型6】射影定理 PAGEREF _Tc186847677 \h 19
\l "_Tc186847678" 【题型7】子母相似模型（公共边公共角） PAGEREF _Tc186847678 \h 20
\l "_Tc186847679" 【题型8】一线三等角模型 PAGEREF _Tc186847679 \h 24
\l "_Tc186847680" 【题型9】旋转相似模型（手拉手） PAGEREF _Tc186847680 \h 27
\l "_Tc186847681" 【题型10】作辅助线构造A字和8字型相似 PAGEREF _Tc186847681 \h 31
\l "_Tc186847682" 【题型11】反“8”字型相似（两组相似，四点共圆） PAGEREF _Tc186847682 \h 34
\l "_Tc186847683" 【题型12】十字架模型 PAGEREF _Tc186847683 \h 35
\l "_Tc186847684" 【题型13】对角互补模型 PAGEREF _Tc186847684 \h 38
\l "_Tc186847685" 【题型14】双高模型 PAGEREF _Tc186847685 \h 39
\l "_Tc186847686" 【题型15】折叠与相似综合 PAGEREF _Tc186847686 \h 40
\l "_Tc186847687" 【题型16】结合已知条件作辅助线构造相似 PAGEREF _Tc186847687 \h 44
\l "_Tc186847688" 【题型17】相似三角形探究性问题 PAGEREF _Tc186847688 \h 46
题型汇编
知识梳理与常考题型
模型梳理
一、A字模型
已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．
结论：△ADE∽△ABC，＝＝．（共线的边之比相等）
反A字型
结论：＝＝．（共线的边之积相等）
构造A字模型：遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造A字模型
A
B
C
D
E
二、8字模型
已知：AC与BD相交于点O，AB∥CD．
A
B
D
C
O
结论：△OAB∽△OCD，＝＝（共线的边之比相等）．
构造8字模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造8字模型
A
D
B
C
O
三、反8字模型（两组相似，四点共圆）
性质一：如左图，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．
性质二：如右图，△AOD∽△BOC (由第一组相似推出第二组相似)
性质三：四点共圆 (圆周角定理)

四、三角形内接矩形型
三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形．
若四边形DEFG为矩形，则：
特别地，
(1)当四边形DEFG为正方形时，若假设其边长为a，则：
(2)当EF为三角形的中位线时，矩形DEFG的面积最大，最大值为
(3)
证明：把△FGC向左平移至△，则，∴
五、倒数模型（三平行结构）
六、射影定理模型（直角三角形和斜边上的高）
如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB（均满足：(公共边)²＝共线的边之积）
补充：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A，B，E，G四点组成射影定理模型．
（2）在圆中也会出现射影定理模型．

七、母子相似模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论：△ACD∽△ABC，＝＝，AC 2＝AD·AB．
证明：∵∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC 2＝AD·AB．
母子相似模型也叫共边共角相似模型．
（三）解题技巧
如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段的乘积．
八、一线三等角模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：△CAP∽△PBD．
证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．
∵∠1＝∠3，∴△CAP∽△PBD．
结论2：△APC∽△BDP．
证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D，∴△APC∽△BDP．
（三）解题技巧
在一条线段上出现三个相等的角时，则考虑使用一线三等角相似模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和证三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题．一线三等角模型常以一线三垂直（即∠1=∠2=∠3=90°，也称为K型）的形式出现在矩形或正方形中，在几何综合题中考查
九、旋转相似模型(手拉手)
（一）基本模型
（二）结论推导
结论：△ABD∽△ACE．
证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，∴＝．
∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．
（三）解题技巧
如果图形中出现共顶点、顶角相等、有旋转时，可以考虑用旋转相似模型；如果图形中没有出现共顶点、顶角相等，也没有旋转时，可以通过作辅助线构造旋转相似．在旋转相似模型中，有一对三角形相似，可以推出另一对三角形相似，再结合已知条件求解．
十、十字架模型
【正方形内的十字架结构】垂直相等，相等垂直
【十字结构在矩形中】
如图，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则，即CE和BD之比等于矩形邻边之比
一般情况时，也满足（注意E，F，G，H四点的位置不能在同一条边上）
【十字结构在直角三角形中】
我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G
【十字结构在其他四边形中】：补成长方形即可
如图，把边长为AB＝，BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长
如图，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值
十一、对角互补模型
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。
十二、双高模型
双高模型：可谓“相似成灾”
共有8组相似！
①Rt△BOM∽Rt△BFN∽Rt△CFM∽Rt△CON;
②△BCM∽△OFM (蝴蝶相似必成队）
③△NOF∽△NCB（反A型）
【题型1】A字模型
【例题1】小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度m，窗高m，某一时刻，m，m，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．
【例题2】如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若，求线段AD的长．
（2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【例题3】如图，中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为 ．

【巩固练习1】如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为 ．

【巩固练习2】如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．

(1)求证：，(2)当，时，求的长．
【巩固练习3】如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是 ．
【巩固练习4】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
【题型2】“8”字型
【例题1】如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．

【例题2】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例题3】如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．

【巩固练习1】（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ．
【巩固练习2】如图，在中，为边上的点，，连接交于点，的面积为，则的面积为 ．
【巩固练习3】（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交CD的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
【巩固练习4】（广东省深圳市福田区一模）如图，点为正方形的边的中点，连接交对角线于点，连接交于点，如果，那么的长为 ．
【巩固练习5】如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交AB于点N，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【题型3】三角形内接矩形
【例题1】如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
【巩固练习1】如图，是的高，点E、F在边上，点G在边上，点H在边上，，高，四边形是内接正方形，

(1)与相似吗？为什么？
求内接正方形边长．
【巩固练习2】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？
【巩固练习3】如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．
【题型4】倒数型（三平行结构）
【例题1】如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）

A．1B．C．2D．3
【巩固练习1】如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A．B．C．D．
【巩固练习2】如图，在中，点、为边三等分点，点、在边上，，点为与的交点．若，则的长为 ．

【题型5】A字型与8字型相综合（用2次相似）
【例题1】如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A．B．7C．D．8
【例题2】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．
【例题2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F，连接交于点G．若，，则的长为 ．
【巩固练习1】如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
【巩固练习3】如图，菱形中，，垂足为点，分别交及的延长线于点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型6】射影定理
【例题1】（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ）
A．B．C．D．
【例题2】在中，是斜边上的高．

证明：；
若，求的长．
【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B，C分别作l的垂线，垂足分别为点D，E，延长BD交AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求△BFC的面积．
A
B
C
F
D
E
l
【巩固练习2】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，＝，＝，则＝_________．
A
D
O
B
C
【巩固练习3】如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.
（1）求证：△AGE≌△AGD
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2，求BE的长.
【题型7】子母相似模型（公共边公共角）
【例题1】如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．
【例题2】如图，在中，，，，为中点，为上一点，连接、交于点，若，则的长为
【例题3】如图1，在△ABC中，AD为中线，点E在AC的延长线上，∠E＝∠ABC，AD的延长线交BE于点F．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）若AC＝CE，BC＝6，求EF的长；
（3）如图2，若BF＝，BC＝4，求EF的长．
A
C
B
E
F
A
C
B
D
D
F
E
图1
图2
【巩固练习1】如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．

求证：；(2)若，，求的长．
【巩固练习2】如图，和是等腰直角三角形，，的边，交边于点，．若，，则的值是 ．
【巩固练习3】如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BAC的平分线交CD于点E，交BC于点F，已知AD＝9，BD＝7，AC＝12．
（1）求证：AC 2＝AD·AB；（2）若AE＝8，求EF的长．
A
F
B
C
D
E
【巩固练习4】如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E为AB上一点，将△ADE沿DE翻折，点A落在A' 处，连接CA' 并延长交DE于点F，若A'C＝2，A'F＝3，求EF的长．
A
D
F
E
A′
B
C
【巩固练习5】 如图，等边△ABC 中，点D，E分别在边CA，CB上，且CD = AE，BD交CE于P，PF平分∠BPC交BC于点F,若AB 23，PF = 1,则 CE = 。
【巩固练习6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°，过点B作BF⊥BC，交AD的延长线于点F，连接EF．
（1）求证：AE 2＝BE·DE；
（2）求证：△AFE∽△CAE；
（3）若tan∠BEF＝，CE＝2，求AF的长．
A
D
C
B
E
F
【巩固练习7】在中，点，分别在边，上，连接，交于点，且，
（1）求证：：
（2）当为边的中点时，且，
①若，求；
②若为等腰直角三角形，且，求四边形的面积．
【题型8】一线三等角模型
【例题1】如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是边AB上一点，BD＝2，点F是边AC上一点，若在边BC上只有一点E，使∠DEF＝60°，则CF的长为_________．
A
B
C
E
D
F
【例题2】如图，将等边△ABC折叠，使点B落在AC边上的点F处，折痕为DE，若AF＝4，CF＝8，则CE的长为_________．
A
B
C
E
D
F
【例题3】如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A．B．C．2D．1
【巩固练习1】如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【巩固练习2】如图，在矩形中，E、F分别是边的中点，与相交于点O，过点O作交AD于点M，若，则的长为 ．
【巩固练习3】如图，菱形ABCD与菱形AEFG相似，AEFG的顶点G在ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H， ．若，，则菱形ABCD的边长为 ．
【巩固练习4】如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF．
如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF．
如图2，求证：CE•CF＝2AB2．
【巩固练习5】如图，点E是正方形 的对角线延长线上一点，连接，将绕点B顺时针旋转至，连接，交于点G．
求证：；
若正方形的边长为4，点G为的中点，求的长．
【巩固练习6】如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转60°，分别交边于点，交对角线于点.
试判断的形状，并说明理由；
若，，求及的长；
若，求的值.
【题型9】旋转相似模型（手拉手）
【例题1】如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．

【例题2】已知：如图，在四边形中，，，，连接、，若，，则的长为 ．
【例题3】（2024·山东东营·中考真题）在中，，，．
(1)问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
【巩固练习1】如图，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝，连接BD，CE，并延长CE交BD于点F，交AB于点G，求sin∠BFC的值为_________．
A
B
C
E
D
F
G
【巩固练习2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D为平面内一点，AD＝1，连接DC，将线段DC绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，若BE∥AC，则DC的长为_________．
A
B
C
E
D
【巩固练习3】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ADC＝∠ACB＝60°，BD＝5，CD＝，则AD的长为_________．
A
D
C
B
【巩固练习4】问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
【巩固练习5】综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动．
【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？
【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题．
（1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值．
【拓展应用】
（2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值．
（3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，也可求得的最小值．请你直接写出最小值为______．
【巩固练习4】如图1，已知点为正方形内的一点，连接．将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
(1)如图1，直接写出线段与的关系；
(2)如图2，点为正方形外的一点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接，，，若，，求的面积．
【题型10】作辅助线构造A字和8字型相似
【例题1】（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
【例题2】如图，在平行四边形中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果点为边的中点，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【例题3】（2024·广东深圳·模拟）如图，垂直外角角平分线于D点，过D作的垂线，交延长线于点E，连接交于点F，，那么的长为 ．
【巩固练习1】（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A．B．3C．D．4
【巩固练习2】如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（ ）

A．15B．18C．24D．36
【巩固练习3】（2024·湖北·中考真题）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ．
【巩固练习4】如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是 ．
【巩固练习5】如图，在平行四边形中为的中点，为上一点，与交于点，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习6】如图，等腰中，，点在上，且，连接，过点作于点，连接，则的值是 ．
【题型11】反“8”字型相似（两组相似，四点共圆）
【例题1】如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A．B．C．2D．1
【巩固练习1】如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将绕点D顺时针旋转与恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若，则 ．
【巩固练习2】如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若，则线段的长是 ．

【巩固练习3】如图，以的斜边为一边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为O，连接．若，，则的长为 ．
【题型12】十字架模型
【例题1】如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
【例题2】如图，在正方形中，点E是边上一点，其中．线段的垂直平分线分别交于点F，G，H，则的值为 ．
【巩固练习1】【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．

请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】
如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．
【灵活运用】
如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．
【巩固练习2】（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．

【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【巩固练习3】我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思，优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】
对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
【图特殊化】
（1）如图1，在正方形中，，交于点，则 （填比值）；
【探究证明】
（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点作交于点，过点作交于点；
乙方案：过点作交于点，过点作交于点．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
【结论应用】
（3）如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；
【拓展运用】
（4）如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值．
【题型13】对角互补模型
【例题1】已知在中，，，，为边上的一点．过点D作射线，分别交边、于点、．
问题发现

（1）如图1，当为的中点，且，时，______；
（2）若为的中点，将绕点D旋转到图2位置时，______；
类比探究
（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程；
问题解决
（4）如图3，连接，当______时，与相似．
【巩固练习1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB与点E，PN交BC与点F，当PE=2PF时，AP=
【题型14】双高模型
【例题1】如图，锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE＝2，则AC边上的高为 ．
【巩固练习1】如图．已知锐角，AD、CE分别是BC、AB边上的高，和的面积分别是27和3，DE＝6．
（1）证明：；
（2）求点B到直线AC的距离．
【巩固练习2】如图，是边上的高，点E在边上，联接交于点O，．
（1）求证：；
（2）联接，作平分，交于点F，交于点G．求证：．
【题型15】折叠与相似综合
【例题1】（广东省深圳市龙岗区统考）如图，在正方形中，E是边上一点且满足，将沿折叠得到，与对角线交于点F，则的值为 ．
【例题2】如图，在中，，，，点分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为 ．
【例题3】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ．
【例题4】（广东深圳·中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
【巩固练习1】（2024·广东深圳·模拟）如图，在中，，，点、分别是AB、边上的点，将沿翻折，点的对应点恰好落在 的延长线上，且DE平分，若，则BD长为 ．

【巩固练习2】在矩形中，，是上一点，连接，将矩形沿折叠，使点的对应点落在矩形内部，连接并延长，交边于点，的延长线交于点，若，，则的长为 ．
【巩固练习3】已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则 ．
【巩固练习4】如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 ．
【巩固练习5】如图，在中，，，，点为边CD上的一个点，连接，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在边上，过点作，交于点，连接，则的长为 ．
【巩固练习6】（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边AD，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为CD的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为CD，的中点时，探究与AB的数量关系，并说明理由．
【题型16】结合已知条件作辅助线构造相似
【例题1】如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【例题2】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．

【巩固练习1】如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，若，则 ．
【巩固练习2】如图，点E为中点，连接，若，，，求的长为 ．
【巩固练习3】（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；
(2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．
【题型17】相似三角形探究性问题
【例题1】（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
(1)初步探究
如图2，若，求证：；
(2)尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
(3)创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
【例题2】问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系．
问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数；
（2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系；
问题拓展：
将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值．
【例题3】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
【例题4】【探究发现】
（1）如图（a），正方形的边长为6，E为边的中点，F是边上的一点，将沿对折，点B的对应点为点G，当点G恰好落在上时，求的长．
【能力提升】
（2）如图（b），E，F分别是矩形的边，上的点，，，F为的中点，将沿对折，点B的对应点为点G．连接，当时，求四边形的面积．
【拓展应用】
（3）菱形的边长为6，，E是边上一点，F是边上一点，将沿对折，点B的对应点为点G．当点G落在菱形的一条边或一条对角线上，且时，直接写出BF的长度．
【巩固练习1】【综合与实践】在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：将边沿翻折到的位置；
第3步：延长交于点，则点为边的三等分点．
“破浪”小组是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点；
第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是①： ，②： ，③： ；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，，，是上的一个三等分点且，连接，作点关于的对称点为，连接并延长与菱形的边交于点，请依照上述描述在图3中将图补全，并直接写出的长___________．
【巩固练习2】（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：．
问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．

【巩固练习3】如图1，在中，，点是边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．
(1)先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系．
(3)将图1特殊化，如图3，当时，若，求的值.
【巩固练习4】【问题探究】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：；
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形中，，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求的值；
【拓展应用】
（3）如图3，在矩形中，，点E为边上一点，点F为CD边上一点，若平分，且，求CF的长．
【巩固练习5】【问题发现】
（1）如图1，正方形的边长为4，点为中点．连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点作，交于点沿着小明的思路思考下去，则的面积_____________；
【变式应用】
（2）如图2，菱形的边长为3，且，连接，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，若，求的面积：
【问题拓展】
（3）如图3，在四边形中，，且，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，直接写出的长．
【巩固练习6】问题提出
如图（1），是边上一点，将沿翻折至，延长交斜边于点，若，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图（2），当点E与点F重合时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
（3）将图（1）特殊化，如图（3），当平分时，若，直接写出的长．
倒数型相似
AB∥EF∥CD
示意图
结论
A
D
B
C
已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB．
结论：△ACD∽△ABC，
＝＝，AC 2＝AD·AB．(公共边)²＝共线的边之积
1
2
3
A
B
D
P
C
已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3．
结论1：△CAP∽△PBD．
D
2
A
1
3
C
B
P
已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3．
结论2：△APC∽△BDP．
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A旋转．
结论：△ABD∽△ACE．
证明过程如下：连接，
正方形沿折叠，
，① ，
又，
，
．
由题意可知是的中点，设（个单位），，则，
在中，可列方程：② ，（方程不要求化简）
解得：③ ，即是边的三等分点．