广东省深圳市罗湖中学九年级数学中考模拟试题（解析版）-A4

这是一份广东省深圳市罗湖中学九年级数学中考模拟试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了 下列各式计算正确的是， 一元二次方程根的情况是，860；， 《几何原本》卷2的几何代数法， 因式分解等内容，欢迎下载使用。
1. 剪纸是我国古老的民间艺术．下列四个剪纸图案为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．
【详解】解：A、a2和2a3不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B、a•a2=a3，故该选项正确；
C、a6÷a2=a4，故该选项错误；
D、（a2）3=a6，故该选项错误；
故选：B．
【点睛】此题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是掌握计算法则．
3. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，再根据结果判断一元二次方程根的情况即可．
【详解】根据题意，得，
所以一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握与根的关系是解题的关键．当，一元二次方程有两个不相等的实数根；当，一元二次方程有两个相等的实数根；当，一元二次方程没有实数根．
4. 下图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．

下面有四个推断：
①当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的概率是0.860；
②随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852；
③与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵；
④在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确
其中合理的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据频率与概率的关系逐项判断即可得出答案．
【详解】解：当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的频率是0.860，但概率不一定是0.860，故①错误；
随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852，故②正确；
试验条件下“移植成活”的概率是0.852，因此与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵，故③正确；
在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852不一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确，故④错误；
其中合理的是②③，
故选C．
【点睛】本题考查用频率估计概率，一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某一个常数p的附近，那么事件A发生的概率，掌握上述内容是解题的关键．
5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
由黄金分割定义分别进行判断．
【详解】解：∵为的黄金分割点，
∴， ，
①、②、③错误，④正确，不符合题意，
故选：A．
6. 如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用．
【详解】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点，
∴，
∴是等腰三角形，不合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴和不一定等腰三角形，符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴是等腰三角形，不符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴和是等腰三角形，不符合题意；
故选：．
7. 科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设技术升级前每天装配辆汽车，根据工作时间工作总量工作效率结合“现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同”，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：设技术升级前每天装配辆汽车，则现在平均每天装配辆汽车，
依题意，得．
故选：A．
8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点有半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理，熟练掌握基本性质是解题关键．
先求出半径，再利用勾股定理求出的长度，再根据，代入式子即可得到答案．
【详解】解：设，，可得圆的半径，
∴，
在直角三角形中，，
∵，
∴，
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9. 因式分解：a3－a=______．
【答案】a（a－1）（a + 1）
【解析】
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键．
10. 若一个扇形的弧长为，半径为6，则此扇形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积公式．熟记扇形的面积公式是解题的关键．
根据扇形的面积公式即可得出求解．
【详解】解：扇形的面积为：．
故答案为：．
11. 如图，这是用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器，其底部是圆球形． 球的半径为， 瓶内液体的最大深度， 则截面圆中弦的长为_____________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键．根据勾股定理、垂径定理进行计算即可．
【详解】解：在中，设，则，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：16．
12. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志，如图，是某高铁线路在转弯处所设计的圆曲线（即圆弧），设高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中的转角为，若该圆曲线的半径千米，则这段圆曲线的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质、弧长公式；由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理求出，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵转角为，
∴，
∵过点A，B的两条切线相交于点C，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
13. 已知抛物线与轴交于两个不同的点，设，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴交于两个不同的点，得到，，，进而求出m的取值范围，通过完全平方公式用m表示出w的值，进而确定w的取值范围．
【详解】解：令得，，
∵抛物线与x轴交于两个不同的点，
∴，，，
∴，
∴
，
∵，当时，w随m的增大而减小，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题，关键根据二次函数与x轴有两个交点，求出m的取值范围．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14. 计算：
（1）计算：．
（2）下面是某同学计算的解题过程：
解：……①
……②
……③
上述解题过程从第 步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
【答案】（1）
（2）从第②步开始出现错误，正确的解题过程见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算和分式的加减运算．
（1）先计算零指数幂，化简绝对值和二次根式，特殊角的三角形函数值，然后再计算加减即可；
（2）先观察已知条件中的解题过程，根据同分母分式相加减法则判断错误的步骤，然后写出正确的解题过程即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：从第②步开始出现错误，∵同分母分式相加减，分母不变，分子相加减即可.
正确的解题过程如下：
．
15. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．
（1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果交绿色是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
（2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率（可用A，B，C，D表示）．
【答案】（1）不可能 （2）
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，用列表或画树状图的方法求概率，熟练掌握用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可．
小问1详解】
解：根据题意“通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色” 可得结果变绿色是不可能事件，
故答案为：不可能；
【小问2详解】
解：列表如下；
由表知，共有12种等可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色有，共2种结果，所以两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
16. 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程．
解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得．，．
我们称小明这种解法为“平均数法”
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．，∴．直接开平方并整理，得．，．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______．
（2）请用“平均数法”解方程：．
【答案】（1）7，2，，．
（2），．
【解析】
【分析】（1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
（2）仿照平均数法可把原方程化，可得，再解方程即可；
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
∴上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为7，2，，．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
17. 抖音直播购物逐渐走进了人们生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元.
（1）涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）；
（2）当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）
（2）当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数最值，解题的关键是利用代数式表示其中的量，并会通过二次函数顶点解析式求出最值．
（1）根据题意用含的代数式表示出每日销售量减少的件数即可；
（2）根据题意列出关于的二次函数，并利用顶点解析式求出最值即可．
【小问1详解】
解：设涨价后的售价为元，则每日销量减少：件，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设每日获的利润为元，
由题意可得：
，
整理得：，
，
当时，最大，最大值为720，
当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元．
18. 如图，已知劣弧和其所在圆的圆心O，若要等分，请按以下要求作图：
（1）利用直尺和圆规完成作图，不写作法，保留作图痕迹：
（2）用两种不同的方法作图．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线作法和性质，垂径定理，角平分线作法和性质，垂线作法和切线性质，全等三角形性质是解题的关键．
（1）连接，作的垂直平分线交于点C，则；
（2）如图2，作的平分线交于点，则；如图3，作切线，，交于点，连接交于点，则，，，得，
得，得．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
19. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如：线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆；不共线三点A、B、C的最小覆盖圆就是的外接圆．
【操作探究】现有三个边长为的正方形．
①小芳按图1方式摆放，则最小覆盖圆的直径为________；
②小玲按图2方式摆放，则最小覆盖圆的直径为________；
③小慧发现另一种摆放方式，其最小覆盖圆的直径比他俩都小，请你也设计一种比小芳和小玲都小的摆放方式，并求出最小覆盖圆的直径．
【延伸运用】某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图3所示），现拟建一个广播信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到广播信号，且使中转站所需发射广播功率最小（距离越小，所需功率越小），请在图中画出中转站所建位置．
【答案】（1）①；②；③
（2）此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线的交点），见详解．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形外接圆的性质作图，关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．
（1）运用勾股定理即可求解外接圆半径或直径；
（2）本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答．中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）．根据是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为的外接圆，所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求．
【详解】解：（1）①以矩形对角线的中点为圆心，对角线长的一半为半径的圆为最小覆盖圆，
则，
故答案为：．
②以三个小正方形的共顶点为圆心，小正方形的对角线为半径的圆为最小覆盖圆，
则，∴，
故答案为：．
③将2个小正方形一边重合，另1个小正方形的两个顶点分别位于前2个小正方形上边的中点处，连接，延长交上方小正方形上边于点A，设，则，在和中，由勾股定理得： ，解得
∴，
∴最小覆盖圆的直径为．
（2）此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线的交点），
∵，，
∴为钝角三角形，此时不是最小覆盖圆，
对于而言，，
故为锐角三角形，
∴其最小覆盖圆为的外接圆，设圆心为点O，直线与交于点M，连接，
∵,
∴，
同理，为锐角三角形，但是此时点F在外接圆外部，不符合题意，
∴点G在内，从而是四边形的最小覆盖圆，因此中转站建在的外接圆圆心处．
20. 深圳市将建全球规模最大的室内滑雪综合体，预计2025年开始正式营业．目前已经修建了如图①所示的室内雪道．根据雪道示意图建立如图②所示的平面直角坐标系．该雪道可近似看成线段，全长410米，且C，D两点水平距离为400米，点D在y轴上，点C在x轴上．
（1）则线段的表达式为______．
（2）如图③，在试营业期间，邀请了一些滑雪运动员来进行滑雪训练．若小恒在训练过程中，不借助任何外力，从起滑台A处起滑，在助滑道上加速至B处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道上继续向C点滑行．其中空中轨迹段可近似看作抛物线．已知当他从B处跃出水平距离为5米时，会达到离水平地面的最大高度95米．已知段轴，长度为2米．求抛物线的表达式．
（3）如图③，在雪道两旁每间隔一定的距离安装高度为1.8米的旗杆，两根旗杆之间的水平距离为1.5米．在（2）的条件下，若此次滑雪训练评分细则规定：运动员从B处腾空跃起后经过第6根旗杆时，运动员此时的位置（身高忽略不计）在旗杆上方就能得到满分．请你通过计算判断小恒在该项训练中是否能得到满分．
【答案】（1）
（2）
（3）小恒在该项训练中不能得到满分，见解析
【解析】
【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）求出点，利用待定系数法即可求出答案；
（2）由题意得，抛物线BEF的顶点E为，与y轴的交点B为，设抛物线的解析式为，求出，即可求出答案；
（3）求出第六根杆的水平距离，将代入得，即可得到结论．
【小问1详解】
解：由题意可得，在中，，
∴，
∴点
设直线的表达式为，则
，
解得，
∴直线的表达式为；
【小问2详解】
解：由题意得，抛物线的顶点E为，与y轴的交点B为，
设抛物线的解析式为，
将代入上述抛物线解析式，得，
∴抛物线的解析式为，
化为一般式为；
【小问3详解】
解：第六根杆的水平距离，
令，
将代入，得，
∴小恒在该项训练中不能得到满分
第2瓶
第1瓶
A
B
C
D
A



B



C



D