2022-2023学年广东省深圳市罗湖外语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市罗湖外语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图所示的几何体，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  新型冠状病毒是依靠飞沫和直接接触传播，有效的防护措施是佩戴口罩和及时清洗，它的直径平均为纳米，也就是米，将数据“”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点是点，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用元购买甲种水杯的数量和用元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下面命题中，为真命题的是(    )

A. 三角形的一个外角大于它的任意一个内角
B. 内错角相等
C. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
D. 弧长相等的弧是等弧

8.  如图，太阳光线与地面成角，窗子米，要在窗子外面上方米的点处安装水平遮阳板，使光线不能直接射入室内，则遮阳板的长度至少是(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

9.  二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若点、点、点在该函数图象上，则其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  在矩形中，连接，过点作于点交于点，平分分别交、于点、，平分分别交、于点、，已知，，在下列说法中，≌；四边形的面积是；；连接，则，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  如图，在水平地面上的甲、乙两个区域分别由若干个大小完全相同的正三角形瓷砖组成，琪琪在甲、乙两个区域内分别随意抛一个小球，甲表示小球停留在甲区域中灰色部分的概率，乙表示小球停留在乙区域中灰色部分的概率，则甲        乙选镇“”“”或“”

13.  如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是______．
 

14.  如图，直线经过点，点在双曲线的图象上，连结、，若，，则的值为        ．

15.  如图所示，，半径为的圆内切于为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，从，，中取一个合适的数作为的值代入求值．

18.  本小题分
新冠疫情防控期间，银川市某中学积极开展“停课不停学”网络教学活动．为了了解初中生每日线上学习时长单位：小时的情况，在全校范围内随机抽取了部分初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
在这次调查活动中，一共抽取了多少名初中生？
若该校有名初中生，请你估计该校每日线上学习时长在“”范围的初中生共有多少名？
每日线上学习时长恰好在“”范围的初中生中有甲、乙、丙、丁人表现特别突出，现从人中随机选出人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．

19.  本小题分
如图，已知等边，以为直径的圆与边交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连结．
求证：是的切线；
若，求的长．

20.  本小题分
某商场试销一款玩具，进价为元件，商场与供货商约定，试销期间利润不高于，且同一周内售价不变从试销记录看到，当售价为元时，一周销售了件该玩具；当售价为元时，一周销售了件该玩具每周销量件与售价元符合一次函数关系．
求每周销量件与售价元之间的关系式；
若商场一周内销售该玩具获得的利润为元，则该玩具的售价为多少元？
商场将该玩具的售价定为多少时，一周内销售该玩具获得利润最大？最大利润为多少元？

21.  本小题分
已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点．
问题发现：
如图，若四边形是正方形，且于，则______；
如图，当四边形是矩形时，且于，，，则______；
拓展研究：
如图，若四边形是平行四边形，且时，求证：；
解决问题：
如图，若，，，于，请直接写出的值．
 

22.  本小题分
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上位于直线上方的一个动点．
求抛物线的解析式；
连接，，若，求点的坐标；
在的条件下，将抛物线沿着射线平移个单位，平移后、的对应点分别为、，在轴上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：这个几何体的左视图为，

故选：．
根据几何体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
故选：．
首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确确定两个不等式的解集．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称的性质，余角和三角形外角的性质，掌握轴对称的性质是本题的关键．
由余角的性质可求，由轴对称的性质可得，由外角性质可求解．
【解答】
解：，，
．
与关于直线对称，点的对称点是点，
，
．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元，
依题意得：．
故选：．
设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元，利用数量总价单价，结合用元购买甲种水杯的数量和用元购买乙种水杯的数量相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角，故A选项不符合题意；
两直线平行，内错角相等，故B不符合题意；
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故C符合题意；
在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，故D不符合题意；
故选：．
根据三角形外角性质、平行线的性质、正方形的判定定理、等弧的定义判断求解即可．
此题考查了命题与定理，熟记三角形外角性质、平行线的性质、正方形的判定定理、等弧的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系是解题关键．
由已知条件易求的长，在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，角的正切值窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答．
【解答】
解：米，米，
米，
光线与地面成角，．
又，
米．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：，
，故结论正确．
由函数图象可知：函数图象与轴有两个交点，
，故结论错误．
抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，
另一个交点为，
当时，，
，
，
故结论正确；
抛物线的对称轴为，，

，在对称轴的左侧，
随的增大而增大，
，故结论错误．
综上所述，正确的结论有个．
故选：．
根据抛物线的对称轴为直线，则有；观察函数图象得到当时，函数值大于，则，即；利用抛物线的对称性得到，然后利用二次函数的增减性求解即可．
本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的性质以及数学结合是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设与交于点，如图：

四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
≌，
故正确；
，，
是的垂直平分线，
，，
，，，
≌，
，
，
四边形是菱形，
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
设，，
，
，
或舍去，
，，
四边形的面积，
故正确；
四边形是菱形，
，
，

过点作，垂足为，
菱形的面积是，
，
，
在中，，
，
故正确；
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故正确；
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
与不平行，
与不平行，
故错误；
正确的是．
故选：．
根据已知可得，然后利用角平分线的性质可得，从而得，从而可证明≌，得到，最后再证明≌；
由可得是的垂直平分线，然后证明四边形是菱形，求出两条对角线的长即可解答；
过点作，垂足为，利用菱形的面积求出，然后在中求出的值即可解答；
先利用勾股定理求出的长，然后求出的值，从而求出的值，最后证明∽，即可解答；
通过计算求出的值，然后与的值进行比较即可判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其它方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：观察两个图可知：灰色三角形面积都占总面积的，所以其概率相等，即甲乙．
故答案为：．
小球停在灰色三角形上的概率就是灰色三角形面积与总面积的比值，比较即可．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用灰色区域表示所求事件；然后计算灰色区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题的应用，线段垂直平分线的性质，解此题的关键是找出的位置．
根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，值的最小，即可得到结论．
【解答】
解：直线垂直平分，
、关于直线对称，
设直线交于，

当和重合时，的值最小，最小值等于的长，
周长的最小值是．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：作轴于，于，则，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
设的坐标为，则，，
点，
，解得，
的坐标为，
点在双曲线的图象上，
，
故答案为：．
作轴于，于，易证得≌，得出，，设的坐标为，则，，根据线段相等的关系得到，解得，求得的坐标，然后代入即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，得出相等线段列出关于、的方程组是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】
解：作于，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
当与相切时，取得最大和最小，
如图，

连接，，，
可得：四边形是正方形，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
如图，

由上知：，，
，
，
，
．
，作，，确定的最大值和最小值．
本题考查的是解直角三角形等知识，解决问题的关键是构造．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】先算零指数幂、负整数指数幂，将特殊角三角函数值代入，化最简二次根式，再合并即可．
本题考查实数运算，解题的关键是掌握零指数幂、负整数指数幂，特殊角三角函数值，化最简二次根式等相关知识．
 

17.【答案】解：


，
，，，
取，
当时，原式． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

18.【答案】解：由题意得：名，
答：在这次调查活动中，一共抽取了名初中生；
条形统计图中，的人数为：名，
则估计该校每日线上学习时长在“”范围的初中生共有：名，
答：估计该校每日线上学习时长在“”范围的初中生共有名；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有种，
恰好选中甲和乙的概率为． 

【解析】由的人数除以所占百分比即可；
由该校共有初中生人数乘以每日线上学习时长在“”范围的初中生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率、频数分布直方图以及扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回试验还是不放回试验；概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】证明：连接，则，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，垂足为，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：，
，
，
，，
，
，
，
，垂足为，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，可证明是等边三角形，则，所以，则，即可证明是的切线；
因为，所以，则，可求得，则，所以，因为，，所以．
此题重点考查等边三角形的性质、切线的判定、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：设每周销量件与销售单价元之间的关系式为，
则，
解得：，
件与销售单价元之间的关系式为：．
故答案为：；
解：根据题意可得，
整理得：，
解得：，，
利润不高于，
，
舍去，
．
答：该玩具的售价为元．
故答案为：元．
根据题意得：，
，
随着的减小而增大，
当时，取最大值且元．
答：最大利润为元．
故答案为：元． 

【解析】设件与销售单价元之间的关系式为，列方程组即可得到结论；
利润售价进价件数，即，解方程即可；
设商店将童装售价定为元时，获得利润为，求出的取值范围，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题主要考查的是二次函数的图像和性质、解一元二次方程、解二元一次方程以及待定系数法求一次函数．解题过程中需要注意通过因式分解实现降次求得的取值是否符合题意以及是否能熟练掌握顶点式二次函数的解析式．
 

21.【答案】  

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
故答案为：；
解：四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
∽，
，
故答案为：；
证明：如图所示，，，
，
在的延长线上取点，使，则，

，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即；
解：过作于，交延长线于，连接，设，

，即，
，
四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
在中，，，由勾股定理得：，
，
解得：舍去，，
，
，
，
，
，
，
∽，
．
由“”可证≌，可得，可求解；
通过证明∽，可得；
通过证明∽，可得，可得结论；
设，≌，推出，证∽，求出，在中，由勾股定理得出，代入得出方程，求出，证出∽，即可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

22.【答案】解：抛物线交轴于，两点，
抛物线的解析式为：．
当时，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
设点的坐标为，
如图，过点作轴于点，则，，

，
解得．
．
设直线的解析式为：，把点，的坐标代入得，
，
解得．
直线的解析式为：．
，
．
如图，若，则，

．
，即．
如图，若，则，

．
，
即．
如图，若，则，

过点作于点，则，
．
，
即．
综上所述，，，时，是等腰直角三角形． 

【解析】由抛物线交轴于，两点，可得抛物线的解析式为：，化简可得抛物线解析式；
求得点的坐标为，，得到，设点的坐标为，列出方程，求出的值即可得出点的坐标；
先求出直线的计算，得到，然后分三种情况求解即可．
本题考查了二次函数的图象和性质，锐角三角形函数，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，正确画出图形，进行分类讨论是解题的关键．